初中二次根式

1、教育学科教师讲义讲义编号：副校长/组长签字： 签字日期:学员编号：年级：八课时数：3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课 题二次根式授课日期及时段教学目的了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.重难点会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【考纲说明】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【趣味链接】【知识梳理】一.平方根部分要点一、平方根和算术平方根的概念1 .算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a,即X2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定

2、0的算术平方根还是 0）； a 的算术平方根记作 坛,读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子 志有意义时，a一定表示一个非负数，即 Ta >0, a >0.2 .平方根的定义2如果X a ,那么X叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方 .平方与开平方互为逆运算.a （ a >0）的平方根的符号表达为ja（a 0）,其中，a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系i.区别：(i)定义不同；(2)结果不同：ja和ja2.联系：(1)(2)(3)要点诠释:平方根包含算术平方根；被开方数都是非负数；0的平方根和算术平方根均为 0.(1

3、)正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.因止匕，我们(2)正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根可以利用算术平方根来研究平方根.1.,a 0(a 0)2.0)；3.(a a (a0)0)4.积的算术平方根的性质:一 ab4a 而(a 0, b 0)；5.商的算术平方根的性质:b 0).要点三、平方根的性质14 / 106.若a b 0,则正要点四、平方根小数点位数移动规律2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:2.5, 40.0625 0.25.被开方数的小数点向右或者向左移动762500

4、250, 7625 25, 76.25.立方根部分要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3 a,那么x叫做a的立方 根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a的立方根，用 呜表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质3/a要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根

5、的问题转化为求正数的立方根的问题要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如,3/0.000 216= 0.06, 3/0. 216= 0.6, 3216>=6, 3f216000 = 60.【经典例题】V 1.已知2a- 1的平方根是土 3, 3a+b-9的立方根是2, c是的整数部分，求 a+b+c的平方根.【思路点拨】 首先根据平方根与立方根的概念可得2a - 1与3a+b - 9的值，进而可得a、b的值；接着估计 点的大小,可彳导c的值；进而可得a+b+c,根据平方根的求法可得答案.【答案与解析】解：根

6、据题意，可得 2a- 1=9, 3a+b-9=8;故 a=5, b=2;又 2v 3,1 .c=2, a+b+c=5+2+2=92 .9的平方根为土 3. 2. x为何值时，下列各式有意义？2X 1(1) Vx ; (2) Jx 4 ; (3) Vx1 V1 X; (4) .x 3【答案与解析】解：(1)因为x20,所以当x取任何值时， 42都有意义.(2)由题意可知：x 4 0,所以x 4时，«_4有意义.x 1 0(3)由题息可知：解得：1 x 1.所以1 x 1时Jx 1 V1 x有息乂.1 x 0 x 1（4）由题意可知：x 3所以当x 1且x 3时，巫二有意义.x 3田13

7、.求下列各式的值.（1） J252 242 gj32 42 ; （2） ,20； （疝36 ：痴0.【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序【答案与解析】解：（1）卜5 242 g,32 42749 gV25 7 5 35 ；(2) . 20 .10.36 - . 9004 35130.619300.2 6521.7.酬 4.求下列各式中的x.2(1) x 361 0;2(3) 9 3x 264 0【答案与解析】解：(1) x2 361 02 x2 361. x 、36i19(2) x 1 2 289x 1,2892(2) x 1289 ；. x + 1= 

8、7; 17x = 16 或 x = 18.(3) 9 3x 2 2 64 023x 2649 3x 2832T14x 或*9955.已知a、b是实数，且J2L6 |b J2| 0,解关于x的方程(a 2)x b2【答案与解析】解：. a、b是实数，J26 |b J2| 0, J2a 6 0, |b J21 0,2a 6 0, b & 0.a -3, b V2 -把a -3, b 应代入(a 2)x b2 a 1 ,得x + 2 = 4,，x = 6.22 6.小丽想用一块面积为400cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长万形纸片，使它长宽之比为3:2,请你说明小丽

9、能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x ( x >0) cm ,则宽为2x cm ,依题意得3x 2x 300.6x2 300.x2 50 .x >0,x . 50 .长方形纸片的长为 3J50 cm.50 > 49,50 7. 3回 21,即长方形纸片的长大于 20 cm.由正方形纸片的面积为 400 cm2,可知其边长为20cm,长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【课堂练习】1.已知2a 1与一a + 2是m的两个不同的平方根，求 m的值.【答案】2a 1与a+2是m的平方根，所以2a

10、 1与a + 2互为相反数 解：当 2 a1+ ( a+2) =0 时，a = - 1,22所以 m= 2a 12 ( 1) 12392.已知b 413a 2 2J2 3a 2 ,求1 1的算术平方根.a b【答案】3a 2 0.2113 1解：根据题意，得,则a 2,所以b=2,1 11 2,2 3a 0.3a b 2 211.11的算术平方根为,a b. a b3.求下列等式中的x：(1)若 x2 1.21 ,则 x=(3)若 X2,则 x =；4【答案】(1) ±1.1 ; (2) ±13; (3)2(2) x 169 ,贝U x =；22(4)若 x 2 ,则 x=

11、32； (4) 土 2.4.若 Jx2 1Vy7 0,求 x2011y2012 的值.【答案】解：由 7x2161 0,得 x2 1 0 , y 1 0 ,即 x 1 , y 1 .20112012,2011,、2012-当 x = 1,y = 1 时，x y 1( 1)2 .当 x = - 1, y =-1 时，x20112012/,、2011y ( 1),、2012人1)0.5.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为2积为420m,其中长是宽的普，篮球场的四周必须留出2 .1000m的正万形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上

12、建一个篮球场?【答案】解：设篮球场的宽为 xm,那么长为28-xra15由题意知工二42Q，所以 x2=225,因为x为正数，所以x=下15,又因为 高之二濯x岛" 上二900 v 1000, 1515 -' "所以按规定在这块空地上建一个篮球场.【课后作业】4.能使x 3的平方根有意义的x值是（）A. x >0 B. x >3 C. x >0 D.5. （2015?可南模拟）若 Va=a,则a的值为（）A. 1 B . - 15 0或1 D .±1）.2是4的平方根.（6）2的平方根是 6.C . 3 个 Dm的值所在的范围是（<

13、 m < 3 C. 3B.16 的平方根是4D. - a没有平方根一.选择题1 .下列说法中正确的有（只有正数才有平方根.a2的算术平方根是a .A. 1个 B . 2个2 .若m =屈一4,则估计A. 1 v m V 2 B. 23 .试题下列说法中正确的是（A.4是8的算术平方根C. J6是6的平方根屈的平方根是4.庭 3 .4个）< m < 4 D. 4< m < 5x >320136 .若x, y为实数，且| x + 1| + Jy 1 =0,则- 的值是（）yA.0B.1 C.- 1 D. 2011二.填空题7 .若 J10404 102,则 J1

14、.0404 =.8 .如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和5 cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 9 .下列各数：81, 1|, 1.44, 21,标的平方根分别是;算术平方根分别是 .10 . （1） 52的平方根是;，一2（2） 5的平方根是 ,算术平方根是 ;（3） x2的平方根是 ,算术平方根是 ;,、2（4） X 2 的平方根是 ,算术平方根是 .11. （2015%召安县校级模拟）已知 ）获+（b-5）2二。，求a-b=12. 若0 + 1厂=2,则方=.三.解答题13. X为何值时，下列各式有意义？（1）房；（2）（3） 必；（4） Jx 1.14. （201

15、4春?富顺县校级月考）已知:|x - 1|+ (y-2) 2+Jt_1=0,求x+y+z值的平方根.15.如图，实数a, b对应数轴上的点 A和B,化简Va2AB-a0b【答案与解析】一.选择题1 .【答案】A；【解析】只有是正确的.2 .【答案】B;【解析】6 历 7,所以2v J40 4<3 .3 .【答案】C;b2. (a b)2, (a b)2【解析】A. 4是16的算术平方根，故选项 A错误;平方根，故选项 C正确；D.当aw。时，a也有平方根，故选项4 .【答案】D;【解析】要使x3的平方根有意义， x-3>0,即x>3.5 .【答案】C;【解析】解：: .广a,

16、 a > 0.当 a=0 时，|V=a;当 0vav 1 时，kfa> a；B. 16的平方根是土 4,故选项B错误；C. J6是6的一个D错误.当 a=1 时，|Va=a;当 a > 时，v a;综上可知，若 J£=a,则a的值为0或1.故选C.6 .【答案】C;2013【解析】x +1 = 0, y 1= 0,解得 x=-1; y = 1. = 1.y二.填空题7 .【答案】1.02;【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位8 .【答案】734 cm ；【解析】这个正方形的边长为,32 52. 34 .9 .【答案】± 9; ± 4; ± 1.2 ; ± 3 ; ± 3; 9; 4 ； 1.2 ; 3 ; 3.525210 .【答案】(1) ±5; (2) ±5; 5; (3) 土 x, | x| ; (4) 土( X+2) ,| X + 2| ;【解析】a2 |a|.11 .【答案】一8;【解析】解：根据题意得，a+3=0, b - 5=0,解得 a=- 3, b=5, 所1 以，a - b= - 3 - 5= - 8.故答案为：-8.12 .【答案】-1土虎；【解析】x 1 版,x=l土啦.三.解答题13 .【解析】解：(1) 2x >