2021年北京市中考数学真题含详解

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共8题）1、 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A 长方体 B 圆柱 C 圆锥 D 三棱柱 2、 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务 年，中央财政累计投入 “ 全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件 ” 专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（    ） A B C D 3、 如图，点 在直线 上， 若 ，则 的大小为（ ） A B C D 4、 下列多边形中，内角和最大的是（ ） A B C D 5、 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下

2、列结论中正确的是（ ） A B C D 6、 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是（ ） A B C D 7、 已知 若 为整数且 ，则 的值为（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 8、 如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ） A 一次函数关系，二次函数关系 B 反比例函数关系，二次函数关系 C 一次函数关系，反比例函数关系 D 反比例函数关系，一次函数关系 二、解答题（共12题）1、 计算： 2、 解不等式组： 3、

3、已知 ，求代数式 的值 4、 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10 步，在点 处立一根杆取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向 （ 1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）； （ 2 ）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南

4、北方向，完成如下证明 证明：在 中， _ ， 是 的中点， （ _ ）（填推理的依据） 直线 表示的方向为东西方向， 直线 表示的方向为南北方向 5、 已知关于 的一元二次方程 （ 1 ）求证：该方程总有两个实数根； （ 2 ）若 ，且该方程的两个实数根的差为 2 ，求 的值 6、 如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 （ 1 ）求证：四边形 是平行四边形； （ 2 ）若 平分 ，求 和 的长 7、 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移 1 个单位长度得到 （ 1 ）求这个一次函数的解析式； （ 2 ）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直

5、接写出 的取值范围 8、 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 （ 1 ）求证： ； （ 2 ）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 若 的半径为 5 ， ，求 和 的长 9、 为了解甲乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理描述和分析下面给出了部分信息 甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组： ）： 甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 这一组的是： 10.0 ， 10.0 ， 10.1 ， 10.9 ， 11.4 ， 11

6、.5 ， 11.6 ， 11.8 甲乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （ 1 ）写出表中 的值； （ 2 ）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 比较 的大小，并说明理由； （ 3 ）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果） 10、 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上 （ 1 ）若 ，求该抛物线的对称

7、轴； （ 2 ）已知点 在该抛物线上若 ，比较 的大小，并说明理由 11、 如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 （ 1 ）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明； （ 2 ）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明 12、 在平面直角坐标系 中， 的半径为 1 ，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” （ 1 ）如图，点 的横纵坐标都是整数在线段 中， 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” 是

8、_ ； （ 2 ） 是边长为 1 的等边三角形，点 ，其中 若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，求 的值； （ 3 ）在 中， 若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长 三、填空题（共8题）1、 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 _ 2、 分解因式： _ 3、 方程 的解为 _ 4、 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 _ 5、 如图， 是 的切线， 是切点若 ，则 _ 6、 如图，在矩形 中，点 分别在 上， 只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 _ （写出一个即可） 7

9、、 有甲乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲乙两组数据的方差分别为 ，则 _ （填 “ ” ， “ ” 或 “ ” ） 8、 某企业有 两条加工相同原材料的生产线在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为 _ 第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料若

10、两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 _ =参考答案=一、选择题1、 B 【分析】 根据几何体的展开图可直接进行排除选项 【详解】 解：由图形可得该几何体是圆柱； 故选 B 【点睛】 本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键 2、 C 【分析】 根据科学记数法可直接进行求解 【详解】 解：由题意得：将 169200000000 用科学记数法表示应为 ； 故选 C 【点睛】 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键 3、 A 【分析】 由题意易得 ， ，进而问题可求解 【详解】 解： 点 在直线 上， ， ，

11、 ， ， ， ； 故选 A 【点睛】 本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键 4、 D 【分析】 根据多边形内角和公式可直接进行排除选项 【详解】 解： A 、是一个三角形，其内角和为 180° ； B 、是一个四边形，其内角和为 360° ； C 、是一个五边形，其内角和为 540° ； D 、是一个六边形，其内角和为 720° ； 内角和最大的是六边形； 故选 D 【点睛】 本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键 5、 B 【分析】 由数轴及题意可得 ，依此可排除选项 【详解】 解：

12、由数轴及题意可得： ， ， 只有 B 选项正确， 故选 B 【点睛】 本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键 6、 C 【分析】 根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项 【详解】 解：由题意得： 一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是 ； 故选 C 【点睛】 本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键 7、 B 【分析】 由题意可直接进行求解 【详解】 解： ， ， ， ； 故选 B 【点睛】 本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键 8、 A 【分析】 由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直

13、接进行排除选项 【详解】 解：由题意得： ，整理得： ， ， y 与 x 成一次函数的关系， S 与 x 成二次函数的关系； 故选 A 【点睛】 本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键 二、解答题1、 【分析】 根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解 【详解】 解：原式 = 【点睛】 本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键 2、 【分析】 根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解 【详解】 解： 由 可得： ， 由 可得： ， 原不等式组的解集为 【点睛】 本题

14、主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键 3、 1 【分析】 先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可 【详解】 解： = = ， ， ， 代入原式得：原式 = 【点睛】 本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键 4、 （ 1 ）图见详解；（ 2 ） ，等腰三角形的三线合一 【分析】 （ 1 ）分别以点 A 、 C 为圆心，大于 AC 长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与 AC 的交点即为所求点 D ； （ 2 ）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答 【详解】 解：（ 1 ）如图所示：

15、 （ 2 ）证明：在 中， ， 是 的中点， （等腰三角形的三线合一）（填推理的依据） 直线 表示的方向为东西方向， 直线 表示的方向为南北方向； 故答案为 ，等腰三角形的三线合一 【点睛】 本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键 5、 （ 1 ）见详解；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （ 2 ）设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可 【详解】 （ 1 ）证明：由题意得： ， ， ， ，

16、该方程总有两个实数根； （ 2 ）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ， ， ， 解得： ， ， 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键 6、 （ 1 ）见详解；（ 2 ） ， 【分析】 （ 1 ）由题意易得 AD CE ，然后问题可求证； （ 2 ）由（ 1 ）及题意易得 EF = CE = AD ，然后由 可进行求解问题 【详解】 （ 1 ）证明： ， AD CE ， ， 四边形 是平行四边形； （ 2 ）解：由（ 1 ）可得四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， ， ， EF = CE =

17、 AD ， ， ， ， 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键 7、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； （ 2 ）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（ 1 ）可得： ，然后结合函数图象可进行求解 【详解】 解：（ 1 ）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移 1 个单位长度得到可得：一次函数的解析式为 ； （ 2 ）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（ 1 ）可得：

18、 ，解得： ， 函数图象如图所示： 当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次函数的 k 表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述： 【点睛】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键 8、 （ 1 ）见详解；（ 2 ） ， 【分析】 （ 1 ）由题意易得 ，然后问题可求证； （ 2 ）由题意可先作图，由（ 1 ）可得点 E 为 BC 的中点，则有 ，进而可得 ，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】 （ 1 ）证明： 是 的直径， ， ， ； （ 2 ）解

19、：由题意可得如图所示： 由（ 1 ）可得点 E 为 BC 的中点， 点 O 是 BG 的中点， ， ， ， ， ， 的半径为 5 ， ， ， 【点睛】 本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键 9、 （ 1 ） ；（ 2 ） ，理由见详解；（ 3 ）乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万元 【分析】 （ 1 ）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第 13 个数据，然后问题可求解； （ 2 ）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解； （ 3 ）根据乙城市的平均数可直接进行求解 【详解】 解：（ 1 ）

20、由题意可得 m 为甲城市的中位数，由于总共有 25 家邮政企业，所以第 13 家邮政企业的收入作为该数据的中位数， 有 3 家， 有 7 家， 有 8 家， 中位数落在 上， ； （ 2 ）由（ 1 ）可得：甲城市中位数低于平均数，则 最大为 12 个；乙城市中位数高于平均数，则 至少为 13 个， ； （ 3 ）由题意得： （百万元）； 答：乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万元 【点睛】 本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键 10、 （ 1 ） ；（ 2 ） ，理由见解析 【分析】 （ 1 ）由题意易得点 和点 ，然后代入抛

21、物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （ 2 ）由题意可分当 时和当 时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可 【详解】 解：（ 1 ）当 时，则有点 和点 ，代入二次函数 得： ，解得： ， 抛物线解析式为 ， 抛物线的对称轴为 ； （ 2 ）由题意得：抛物线 始终过定点 ，则由 可得： 当 时，由抛物线 始终过定点 可得此时的抛物线开口向下，即 ，与 矛盾； 当 时， 抛物线 始终过定点 ， 此时抛物线的对称轴的范围为 ， 点 在该抛物线上， 它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 ， ，开口向上， 由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合

22、，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 11、 （ 1 ） ， ，理由见详解；（ 2 ） ，理由见详解 【分析】 （ 1 ）由题意及旋转的性质易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求解； （ 2 ）过点 E 作 EH AB ，垂足为点 Q ，交 AB 于点 H ，由（ 1 ）可得 ， ，易证 ，进而可得 ，然后可得 ，最后根据相似三角形的性质可求证 【详解】 （ 1 ）证明： ， ， ， 由旋转的性质可得 ， ， ， ， 点 M 为 BC 的中点， ， ， ； （ 2 ）证明： ，理由如下： 过点 E 作 EH AB ，垂足为点 Q ，交 AB 于点 H ，如图所示： ， 由（ 1 ）可得 ，

23、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键 12、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）当 时，此时 ；当 时，此时 【分析】 （ 1 ）以点 A 为圆心，分别以 为半径画圆，进而观察是否与 有交点即可； （ 2 ）由旋转的性质可得 是等边三角形，且 是 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解； （ 3 ）由 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，则可知 都在 上，且

24、，然后由题意可根据图象来进行求解即可 【详解】 解：（ 1 ）由题意得： 通过观察图象可得：线段 能绕点 A 旋转 90° 得到 的 “ 关联线段 ” ， 都不能绕点 A 进行旋转得到； 故答案为 ； （ 2 ）由题意可得：当 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” 时，则有 是等边三角形，且边长也为 1 ，当点 A 在 y 轴的正半轴上时，如图所示： 设 与 y 轴的交点为 D ，连接 ，易得 轴， ， ， ， ， ； 当点 A 在 y 轴的正半轴上时，如图所示： 同理可得此时的 ， ； （ 3 ）由 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，则可知 都在 上，且 ，则有当以 为圆

25、心， 1 为半径作圆，然后以点 A 为圆心， 2 为半径作圆，即可得到点 A 的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可得当点 A 也在 上时为最小，最小值为 1 ，此时 为 的直径， ， ， ； 由以上情况可知当点 三点共线时， OA 的值为最大，最大值为 2 ，如图所示： 连接 ，过点 作 于点 P ， ， 设 ，则有 ， 由勾股定理可得： ，即 ， 解得： ， ， ， 在 中， ， ； 综上所述：当 时，此时 ；当 时，此时 【点睛】 本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键 三、填空题1、 【分

26、析】 根据二次根式有意义的条件可直接进行求解 【详解】 解：由题意得： ， 解得： ； 故答案为 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 2、 【分析】 根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解 【详解】 解： ； 故答案为 【点睛】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键 3、 【分析】 根据分式方程的解法可直接进行求解 【详解】 解： ， ， 经检验： 是原方程的解 故答案为： x =3 【点睛】 本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键 4、 【分析】 由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题 【详解】 解：把点 代入反比例函数 得： ， ，解得： ，