2021年山东省菏泽市数学中考试题含解析

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共8题）1、 如图，点 A 所表示的数的倒数是（） A 3 B 3 C D 2、 下列等式成立的是（ ） A B C D 3、 如果不等式组 的解集为 ，那么 的取值范围是（ ） A B C D 4、 一副三角板按如图方式放置，含 角的三角板的斜边与含 30° 角的三角板的长直角边平行，则 的度数是（ ） A B C D 5、 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ） A B C D 6、 在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成

2、绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（ ） A 中位数是 10.5 B 平均数是 10.3 C 众数是 10 D 方差是 0.81 7、 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A 且 B 且 C D 8、 如图（ 1 ），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限，且 轴，直线 沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为 ，直线在 轴上平移的距离为 ， 、 间的函数关系图象如图（ 2 ）所示，那么矩形 的面积为（ ） A B C 8 D 10 二、解答题（共10题）1、 计算： 2、 先化简，再求值： ，其中 ， 满足 3

3、、 如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： 4、 某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 处的济南舰突然发现北偏西 方向上的 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向 200 海里 处的西安舰，西安舰测得 处位于其北偏西 方向上，请问此时两舰距 处的距离分别是多少？ 5、 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3

4、640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 6、 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在坐标轴上，且 ， ，连接 反比例函数 （ ）的图象经过线段 的中点 ，并与 、 分别交于点 、 一次函数 的图象经过 、 两点 （ 1 ）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （ 2 ）点 是 轴上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 _ 7、 2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图根据图中提供的信息解答下列问

5、题： （ 1 ）请把条形统计图补充完整； （ 2 ）合格等级所占百分比为 _% ；不合格等级所对应的扇形圆心角为 _ 度； （ 3 ）从所抽取的优秀等级的学生 、 、 中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 、 两位同学的概率 8、 如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 （ 1 ）求证： 是 的切线； （ 2 ）若 的半径为 8 ， ，求 的长 9、 在矩形 中， ，点 ， 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 ，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在

6、点 处 （ 1 ）如图 1 ，当 与线段 交于点 时，求证： ； （ 2 ）如图 2 ，当点 在线段 的延长线上时， 交 于点 ，求证：点 在线段 的垂直平分线上； （ 3 ）当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，计算出点 运动的路线长 10、 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 （ 1 ）求该抛物线的表达式； （ 2 ）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 时，得到新抛物线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，

7、使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由 参考：若点 、 ，则线段 的中点 的坐标为 三、填空题（共6题）1、 2021 年 5 月 11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人数据 1410000000 用科学记数法表示为 _ 2、 因式分解： _ 3、 如图，在 中， ， ， 分别为 、 的中点， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则四边形 的面积为 _ 4、 如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、

8、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 _ 5、 定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特征数为 的二次函数的一些结论： 当 时，函数图象的对称轴是 轴； 当 时，函数图象过原点； 当 时，函数有最小值； 如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 _ 6、 如图，一次函数 与反比例函数 （ ）的图象交于点 ，过点 作 ，交 轴于点 ；作 ，交反比例函数图象于点 ；过点 作 交 轴于点 ；再作 ，交反比例函数图象于点 ，依次进行下去， ，则点 的横坐标为 _ =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 由数轴和倒数的定义，即可得到答案 【详解】 解：由

9、数轴可知，点 A 表示 ， 的倒数是 ； 故选： D 【点睛】 本题考查了倒数的定义，解题关键是正确表示出点 A 表示的数 2、 D 【分析】 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可 【详解】 解： A 、 ，故 A 选项错误； B 、 ，故 B 选项错误； C 、 ，故 C 选项错误； D 、 ，故 D 选项正确， 故选： D 【点睛】 本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键 3、 A 【分析】 先解不等式组 , 确定每个不等式的解集 , 后根据不等式组的解集的意义 ,

10、确定 m 的取值范围即可 . 【详解】 ， 解 得 x 2 ，解 得 x m ， 不等式组 的解集为 ，根据大大取大的原则， ， 故选 A . 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键 4、 B 【分析】 利用两直线平行，内错角相等传递等角后计算即可 【详解】 如图， ABDE ， BAE = E =30° ， = CAB - BAE = 45°-30°=15° ， 故选 B 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 5、 B 【分析】 根据三视图可以确定该几何体

11、是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积 【详解】 解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是 4 ，内圆直径是 2 ，高是 6 空心圆柱体的体积为 × 2 ×6-× 2 ×6=18 故选： B 【点睛】 本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象 6、 A 【分析】 先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可 【详解】 解：将该组数据从小到大排列依次为： 9 ， 9 ， 10 ， 10 ， 10 ， 10 ， 11 ， 11 ， 11 ， 12 ；

12、 位于最中间的两个数是 10 ， 10 ，它们的平均数是 10 ， 所以该组数据中位数是 10 ，故 A 选项符合题意； 该组数据平均数为： ，故 B 选项不符合题意； 该组数据 10 出现次数最多，因此众数是 10 ，故 C 选项不符合题意； 该组数据方差为： ，故 D 选项不符合题意； 故选： A 【点睛】 本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能力 7、 D 【分析】 根据方程有实数根，利用根的判别式来求 的取值范围即可 【详解】 解：当方程为一元二

13、次方程时， 关于 的方程 有实数根， ，且 ， 解得， 且 ， 当方程为一元一次方程时， k =1 ，方程有实根 综上， 故选： D 【点睛】 本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中 ，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键 8、 C 【分析】 根据平移的距离 可以判断出矩形 BC 边的长，根据 的最大值和平移的距离 可以求得矩形 AB 边的长，从而求得面积 【详解】 如图：根据平移的距离 在 4 至 7 的时候线段长度不变， 可知图中 , 根据图像的对称性， ， 由图（ 2 ）知线段最大值为 ，即 根据勾股定理 矩形 的面积为 故答案为： C 【点睛】

14、 本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键 二、解答题1、 0 【分析】 根据零指数幂 , 绝对值的化简 , 负整数指数幂 , 特殊角的函数值计算即可 【详解】 =1+3 =0. 【点睛】 本题考查了零指数幂 , 负整数指数幂 , 特殊角的函数值 , 二次根式的化简 , 绝对值的化简 , 熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键 2、 ;-6. 【分析】 先变除法为乘法 , 后因式分解 , 化简计算 , 后变形 代入求值即可 【详解】 = = = , , , 原式 = = -6 【点睛】 本题

15、考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键 3、 见解析 【分析】 菱形 中，四边相等，对角相等，结合已知条件 ，可利用三角形全等进行证明，得到 ，再线段之差相等即可得证 【详解】 四边形 是菱形 在 和 中 (ASA) 即 【点睛】 本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键 4、 A 舰距离为 200 海里 , B 舰距离为 200 海里 , 【分析】 过点 C 作 CD AB ，交 BA 的延长线于点 D ，根据题意，得 CAD =60° ， CBA = ACB =30&#

16、176; ，解 Rt ADC 和 Rt BDC 即可 . 【详解】 如图，过点 C 作 CD AB ，交 BA 的延长线于点 D ， 根据题意，得 CAD =60° ， CBA =30° ， CAD = CBA + ACB CBA = ACB =30° ， AB = AC =200 （海里）， 在 Rt ADC 中， CD = ACsin 60°=200× =100 ， 在 Rt BDC 中， BC = CD ÷ sin 30°=200 （海里） . 【点睛】 本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的意义，熟练

17、掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键 5、 29 元 【分析】 设这种水果每千克降价 元，根据超市每天要获得销售利润 3640 元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的 的值，即可解题售价 【详解】 解：设这种水果每千克降价 元， 则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克， 整理得， 或 ， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为 （元） 答：这种水果的销售价为每千克 29 元 【点睛】 本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 6、 （ 1 ） , ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）先求出 B 点的坐标，再由反比例函数

18、过点 ，求出点 的坐标，代入 即可， 由矩形的性质可得 、 坐标，代入 即可求出解析式； （ 2 ） “ 将军饮马问题 ” ，作 关于 轴的对称点 ，连接 , 直线 与 轴交点即为所求 【详解】 （ 1 ） 四边形 是矩形， ， 为线段 的中点 将 代入 ，得 将 ，代入 ，得： ，解得 （ 2 ）如图：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 P 当 三点共线时， 有最小值 ， 设直线 的解析式为 将 ，代入 ，得 ，解得 令 ，得 【点睛】 本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆

19、待定系数法求解的技巧是解题关键 7、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 30 ， （ 3 ） 【分析】 （ 1 ）先根据良好等级所占的百分比求出总人数， 再根据总人数减去其他等级求出优秀的人数，补全统计图 （ 2 ）用合格等级的人数除以总人数得百分比； 不合格等级的人数除以总数得百分比，再乘以 ，得对应的扇形圆心角度数 （ 3 ）用列表法列举出所有可能，找出恰好抽到 、 两位同学的情形，利用概率的概念求得概率 【详解】 （ 1 ）总人数为： （人）； 优秀人数为： （人） （ 2 ）合格等级： 不合格等级对应的扇形圆心角： （ 3 ）用列表法如图： A B C D E F A AB AC AD A

20、E AF B BA BC BD BE BF C CA CB CD CE CF D DA DB DC DE DF E EA EB EC ED EF F FA FB FC FD FE 从表中可以看出，共有 30 种等情况数，符合题意选中 、 两位同学共 2 种 恰好抽到 、 两位同学的概率为 【点睛】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率 = 所求情况数与总情况数之比能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键 8、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）连接 OE ，证明 OE

21、 EF 即可； （ 2 ）由 证得 ，运用正弦的概念可得结论 【详解】 解：（ 1 ）证明：连接 OE ，如图， OA = OE OAE = OEA EF = PF ， EPF = PEF APH = EPF ， APH = EPF ， AEF = APH CD AB ， AHC =90° OAE + APH =90° OEA + AEF =90° OEF =90° OE EF OE 是 的半径 EF 是圆的切线， （ 2 ） CD AB 是直角三角形 设 ，则 由勾股定理得， 由（ 1 ）得， 是直角三角形 ，即 解得， 【点睛】 此题主要考查了圆的切

22、线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键 9、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得 DEF EFB ， DEF HEF ，由此等量代换可得 HEF EFB ，进而可得 PE PF ； （ 2 ）连接 PM ， ME ， MF ，先证 Rt PHM Rt PBM （ HL ），可得 EPM FPM ，再证 EPM FPM （ SAS ），由此即可得证； （ 3 ）连接 AC ，交 EF 于点 O ，连接 OG ，先证明 EAO FCO （ AAS ），由此可得 OC AC 5 ，进而根据折

23、叠可得 OG OC 5 ，由此得到点 G 的运动轨迹为圆弧，再分别找到点 G 的起始点和终点便能求得答案 【详解】 （ 1 ）证明： 在矩形 ABCD 中， AD BC ， AB CD ； DEF EFB ， 折叠， DEF HEF ， HEF EFB ， PE PF ； （ 2 ）证明：连接 PM ， ME ， MF ， 在矩形 ABCD 中， AD BC ， D ABC PBA 90° ， 又 AE CF ， AD AE BC CF ， 即： DE BF ， 折叠， DE HE ， D EHM PHM 90° ， BF HE ， PBA PHM 90° ， 又

24、 由（ 1 ）得： PE PF ， PE HE PF BF ， 即： PH PB ， 在 Rt PHM 与 Rt PBM 中， ， Rt PHM Rt PBM （ HL ）， EPM FPM ， 在 EPM 与 FPM 中， ， EPM FPM （ SAS ）， ME MF ， 点 M 在线段 EF 的垂直平分线上； （ 3 ）解：如图，连接 AC ，交 EF 于点 O ，连接 OG ， AB CD 5 ， ， BC ， 在 Rt ABC 中， AC ， AD BC ， EAO FCO ， 在 EAO 与 FCO 中， ， EAO FCO （ AAS ）， OA OC AC 5 ， 又 折叠，

25、 OG OC 5 ， 当点 E 与点 A 重合时，如图所示，此时点 F ，点 G 均与点 C 重合， 当点 E 与 AD 的中点重合时，如图所示，此时点 G 与点 B 重合， O 为定点， OG 5 为定值， 点 G 的运动路线为以点 O 为圆心， 5 为半径的圆弧，且圆心角为 BOC ， 在 Rt ABC 中， tan BAC ， BAC 60° ， OA OB OC OG ， 点 A 、 B 、 C 、 G 在以点 O 为圆心， 5 为半径的圆上， BOC 2 BAC 120° ， 的长为 ， 点 运动的路线长为 【点睛】 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的

26、判定及性质、圆的相关概念及性质，弧长公式的应用，第（ 3 ）问能够发现 OG 5 是解决本题的关键 10、 （ 1 ）该抛物线的表达式为： ；（ 2 ） 面积最大值为 8 ，此时 P 点的坐标为： P （ 2 ， -6 ）；（ 3 ） 或 或 或 【分析】 （ 1 ）将两个点分别代入抛物线可得关于 a ， b 的二元一次方程组，可解得 a ， b ； （ 2 ）设出 P 、 Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可； （ 3 ）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点 E 、 F ，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出

27、答案 【详解】 解：（ 1 ）将 A （ -1,0 ）， B （ 4,0 ）代入抛物线 可得： ， 解得： ， 该抛物线的表达式为： ； （ 2 ）过点 P 作 PN x 轴于点 N ，如图所示： 设 且 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 点 在抛物线上， ， ， ， 根据抛物线的基本性质：对称轴为 在 内， 在 取得最大值，代入得： ， 当 时， ， 面积的最大值为 8 ，此时点 P 的坐标为： （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，原抛物线解析式为 ，将抛物线向右平移经过点 ，可知抛物线向右平移了 个单位长度， 可得： ， 化简得平移后的抛物线： ， 对称轴为： ， 由（ 2 ）

28、得： A （ -1 ， 0 ）， ，点 E 在对称轴上， 设 E （ 3 ， e ），点 F （ m ， n ），矩形 AEPF ， 当以 AP 为矩形的对角线时，则 AP 的中点坐标为： ， EF 的中点坐标为： ， 根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得： 解得： 矩形 AEPF ， 为直角三角形， ， ， ， ， 代入 化简可得： ， 将 代入 可得： ， 化简得： ， 根据判别式得： ， ， 或 ； 当以 AP 为矩形的边时，如图所示： 过点 P 分别作 PG x 轴于点 G ， PH x 轴，过点 F 作 PH 的垂线，垂足为 H ，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M ，如图

29、， ， ， AM =4 ， ， 四边形 是矩形， ， AE = PF ， ， ， ， ， ， ， ， ， FH =2 ， 点 ， ， 当以 AP 为矩形的边时，如图所示： 同理可得 ； 综上所述：以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形， 或 或 或 【点睛】 题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案 三、填空题1、 1.41×10 9 【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝

30、对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【详解】 解：将 1410000000 用科学记数法表示为： 1.41×10 9 故答案是： 1.41×10 9 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2、 【分析】 先提取公因式，后采用公式法分解即可 【详解】 =- a = 故答案为 : 【点睛】 本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键 3、 【

31、分析】 先根据 ， 分别为 、 的中点求得 AB 4 ，再根据 求得 AC 8 ， BC ，进而可求得 BE ，最后证明四边形 ABFD 为平行四边形即可求得四边形 ABFD 的面积 【详解】 解： ， 分别为 、 的中点， ， AB 2 DE 4 ， ， 在 中， ， AC 2 AB 8 ， BC ， 又 点 E 为 BC 中点， BE BC ， ， ， 四边形 ABFD 为平行四边形， 四边形 的面积 AB × BE 4× ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了三角形的中位线、含 30° 的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键 4、 13 【分析】 先设四边形 和四边形 的边长为 x ，然后根据 AEM ABC 可得 ，进而可求得 AP 2.5 ， EM 5 ，然后分别求得 S AEM ， S ABC 25 ，即可求得 S 四边形 BCME S ABC S AEM ，由