数学分析讲稿与作业中科大数学系

1、§ 7.3微积分的基本定理定理7.6若函数f在有限闭区间a,b上可积，则定义在a,b上的函数 xF(x)=f f(t)dt(通常称为f的变上限的积分)必满足Lipschitz 条件，因而是连 a续函数.证：记 M = sup| f (x)| < +8.Vx,y 乏a,b, x < y ,有 a <x <b xyyF(y)= f(t)dt f(t)dt = F(x) f(t)dt, ai xi x-二y故 F(y) - F(x) = f f (t)dt < M y-x . 'x'定理7.7若函数f在有限I区间a,b上可积，在三a,b处连续，

2、则定义在a,b x上的函数F(x) =f f(t)dt在x。处可导，并且F'(x0)= f(x。). a证明：寸 >>0户3>0,使得当 t e a,b, |t - x0|< 8 时成立 I f (t) - f(x0)| < 6 ,故当 x- a, b, 3 x- x时成立 zxi x -xo = e ,x-xo|即 lim F(x)-F(xo)= f(x0). x >xox - x0定理7.8(微积分的基本定理)若函数f在区间I上连续，xo- I固定，则定义在I x上的函数F(x)=/f(t)dt是f的原函数. xo证：由定理7.7. 定理7.9(

3、微积分基本定理的另一形式)若F是区间I上的可导函数，并且F'的 变上限的积分存在，xo- I固定，则Vxw I都成立xF(x) = . F (t)dt F(x。). xo证：由定理7.1的推广. 注记通常也将Newton-Leibniz公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明：一、区间上的连续函数一定有原函数 ，并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限白积分存在).命题若f是区间I上的连续函数，g,h是区间J上的可导函数，满足 h(x)g( J),h(J? ,I则定义在J上的函数F(x) =f(t)dt是可导函数

4、，并且 g(x)F (x)= f(h(x)h(x) - f(g(x)g (x). y证：固定 y0 I ,记 H(y)=f(t)dt,yw,则 - yo= H(h(x)-H(g(x),故 F1(x)= f(h(x)h(x)- f(g(x)g，(x). 例 设函数f在0,1上连续可导(意思是f W C1(0,1) ), f (0) = 0，并且0E f y 1.1 Q12求证：o f3(x)dx - q f (x)dx .、人t2 tt3证：令 F(t) =(1 f (x)dx) f 3(x)dx,贝UF'(t) = 2(。f (x)dx) f (t) - f 3(t)=f (t) 24

5、 f (x)dx)- f2(t)J 再令 G(t) =2(f (x)dx )-f 2(t),则 G'(t)= 2f(t)-2f(t)ft)=2f(t)1-f '(t)至 0 .注意至U G(0) = 0 ,便知 G 2 0 .再注意到f之0,便知F *0,因而F在0,1上递增=F(1)之F(0) = 0.口练习题 7.3( P,68) 1(2,3),3,4,5,6,7.问题 7.3( P269) 1,3,4,7.§ 7.4分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法)若函数u,v都在有限闭区间a,b上可导，并且uv：vu'都在 a,b上可积，则bv(x)du(x)

6、.abu(x)dv(x) =u(x)v(x) a证：由 Newton-Leibniz 公式，Xt (uv)'= uv' +vu两边积分便得，、，、b ，、，、，、,，、u(x)v(x) = u(x)dv(x)十 v v(x)du(x). 2 cosm xdx, 2 sinm xdx, m 口. 00JI解：记Im=%2 cosm xdx，显然 j02sinmxdx=I当m之2时有Im从而I 2nd(2n-2)(2n-4)|2(2n-1)(2n-3)1113Ii(2n-2)!(2n -1)!,nH*;I 2n(2n-1)(2n-3)1111(2n -1)!JI2n(2n-2)|2

7、,n(2n)! 2山.= (m-1)Im/ -(m -1)Im.m _2 .定理7.10(带积分余项的Taylor定理)若函数f在区间I上n +1阶可导，并且f(n书)的变上限的积分存在，I固定，则Vxw I ,成立等式f (x) =Tn(f,X0； x) - x(x-t)nf(n1)(t)dt. n! x01 x 称 Rn(x) = f (X) -Tn( f ,Xo； x)= J (x -t) f (t)dt 为积分余项. n! x0xx证：f(x)=f(%)f (t)dt= f(x。)-f (t)d(x-t)XoXo= Tn( f ,x。;x) + 1 fx(x-t)nf (")

8、(t)dt. n! x0注记7. T带积分余项的Taylor定理也可看作是一种变形的带 Cauchy余项的 Taylor定理.(对满足介值定理的函数口 (t)=(x-1严*f (n41)(t)和不变符号的函数 P(t)=(x-t)-应用第一积分中值定理，R = 1,2,|l,n+1).定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法)若函数f在区间I上连续，C1函数平在卜尸上严格递增，并且甲(%B)U I ,则,( '-) f(x)dx= f (t)d (t).(：)：证：由久 , B的分割仃=tktk: k=1,2川,n, 口 =t0c ti< t2<lll< tn =

9、P ,自动地确定了)的分割 n = Xk,Xk： k = 1,2, III, n,中(口)= X0 < Xi < X2 <| < Xn =中(日)，其中Xk =中(tk) (k = 0,111 n,.)显然当|忖卜0时必有 卜卜0.由Lagrange中值定理，可取、三1上)使得Xk -Xkj = (tk) 一 (tk)=：(k)(tk - tk_i), 一 k = 1,2,|,n .由中严格递增可知"k=邛(尸(Xk,Xk), Vk = 1,2,|,n .于是，在等式的两边同时令卜卜0便得到 nnJimJ f(k)(4 - Xk_i)=ljmJ f ( k)

10、( k)(tk-tk_i), ( )-即f(x)dx=qf中(t)d中(t). 口定理7.i i'(仅又t i元函数有效的换元积分法)若f是区间I上的连续函数，中是a,P上的C1函数，并且平(u,P)u I，则：(一：)一：(：)f(x)dx= ： f (t)d (t).证：任取f在I上的原函数F ,则有取 P)0P P%(口)f (x)dx = F(P ) - F中 ® ) = FF (t) 0t = Q f(t)'(t)dt. 口命题2若函数f在0,i上连续,则31H(i)102 f (cosx)dx = J。2 f (sin x)dx ; (2)JI°

11、 xf (sinx)dx =JI0f (sinx)dx.证：(i)作变换x=%(t) =t,则有2二02 f (cosx)dx = - f cos( t)( -i)dt = 2 f (sin t)dt.0022作变换X=(t)=n - t,则有nJi=0 f (sint)dt - ° t f (sint)dt.故 21 xf (sinx)dx = n 1G f (sinx)dx. 命题3若f是以正数T为周期的连续函数，则vaw ，成立等式a TTa f(x)dx= 0 f (x)dx.证：作变换x =邛(t) = t + T ,则有0TaT= f (x)dx+10 f (x)dx+

12、0 f (t + T)dt= 0 f (x)dx. 口a命题4 (1)若f是-a,a上的连续奇函数，则i f(x)dx=0; .aaa(2)若f是-a,a上的连续偶函数，则f(x)dx = 2f f (x)dx. a0证：作变换x = *(t) = -1 ,则有a-aa(1) f(x)dx=f (-t)(-1)dt 二- f(t)dt.- -a- a- aa0a(2) _ f(x)dx= f (x)dx ° f(x)dx0aaf(-t)(-1)dt+10 f(x)dx=2( f(x)dx. 口 a001 b眄 h af(例2( 一个错误的证明)设f是开区间I上的连续函数，a,bu I ,求证:x h) - f (x)dx = f (b) - f (a).证：(1)(错误的)四 >a f (x + h) - f (x)dx =lim 1fx一h)f-(x) bxb=a f (x)dx = f(b) - f(a).(2)(正确的)任取f在I上的原函数F ,作变换x =中(t) = t - h,则有f f(x+h)dx= J f(t