第二章极限习题及答案：极限的四则运算

1、自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限:(1)lim42.x -5x 1X1二1 -X2 c 4-2x(2)分析:第（1）题中，当xt g时，分子、分母都趋于无穷大，属于“-"型，变形Q0lim 22x2 -1 2x +1 ,的一般方法是分子、分母同除以x的最高次哥，再应用极限的运算法则.x3 ,x2第（2）题中，当xT g时，分式 Y 与都趋向于8,这种形式叫“8 8”2x2-1 2x 1型，变形的一般方法是先通分，变成“°°,42x -5x 1斛：(1) lim24x >: 1 -x -2xu二 lim x F二 1-4 1 x型或“ 0”型，再求极限.

2、0? 1 x4-2 x51lim 1 - lim lim 4x x：xx f：x.1lim 4f ：x4-lim- lim 2xj二二1-00 _ 10-0-2 - 2 lim 2x，二 2x -12x2x 1=limxj二x3(2x 1) - x1 2 (2x2 -1)(2x2 -1)(2x 1)=lim 2x 二(2x2 -1)(2x 1)=limx )二二11(2)(2 一)11呵（2一/）呵（2 ；）(2-0)(2 0) 4说明：“三”型的式子求极限类似于数列极限的求法.O0无穷减无穷型极限求解例求极限:(1) lim (. 1 x x2 - 1 - x x2)x .： lim ( .

3、, 1 x x lim i-十工十十(一1尸 1 x x2)x> 二分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限. 一，、2x解：(1)原式"lim"x *-二.1 x x2. 1 - x x2lim 1-2 x2x x2 J -x x2说 明2x.1 x x2. 1 - x x2(2)原式=lim2 < 0 时 ，x ¥ Vx2, 因 此 x：1 x x2.1 - x x2利用运算法则求极限例计算下列极限:(1) li4+ 二n 11+n 匚3 9 27 (1992年全国高考试题，文科难度0.63) 1 n 3n -1

4、解： (1)原式=lim 2-2n-2,i；n2 1 n2 1 n2 1;价晶学月网 ,com3n2 n3-1= lim 2 r ="m n n； 2 n 1 n 22 n131 一川im 1n .二 4(2)原式=lim n J二二说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限， 不能将只适用有限个数列的加、 减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则 的适用范围，下面的计算是错误的：一 .1.4. 3n-2(1)原式=lim -3lim -3lim -3n、二n2 1n rn2 1 n2 1110 =3n 3 9 27(2)原式 = lim

5、 1 -lim 1 +lim 十+lim (-1 产n ”：3 n 9 -9 n 2 -27n)二用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限1 p11 -1.n1分析：把十1 ；P”用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得.【nJ办 11 *解：: 1+ I < nJ1n=1 CpCp1(-)2 - Cp'；(1)p1n nnc1- 1 c 2 -I 2 c 3.c p 1 / 1 p=Cp 1-Cp 1(-) Cp 1 Cp 1(一)n nn11 /平11-1lim n = C1 1 = p 1n ：1p 1 产n或：逆用等比数列求和公式:二11- T = p 1p 1

6、个说明：要注意p是与n无关的正整数,1+1；不是无限项，对某些分式求极限应先,n对式子进行必要的变形， 使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决， 经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等.零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求 lim (Jn +1 v'n)Vn.n一)二分析：当nT必时，所求极限相当于 0型，需要设法化为我们熟悉的二型.解：lim ( . n 1 - . n)、. nnT 二二v n"一'.：, n T . n说明：对于这种含有根号的 。8型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现.如本题是通过分子有理化，从而化为,即为三型，也可以将分子

7、、分母同除以 n cO的最高次哥即 品,完成极限的计算.根据极限确定字母的范围曲盛产晒4n1例 已知lim 4=,求实数 m的取值范围.n 44n 2 (m 2)n 16分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决.4n斛：lim 口 2limn' 4n 2 (m 2)n 16116<1,即 _4<m+2<4,6<m <2 .说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim n '二二11 .n =可知,(m + 2516、4 J极限必为0,而qnT 0的充要条件是q <1,于是解不等式16零比零型的极限求limx_01

8、01 x -1八，、口 人 0， e I小，,101, x-1 八八 ,分析：这是一个0型的极限，显然当 XT 0时，直接从函数 -1 x 1分子、分母中0X约去X有困难，但是W+X -1当XT 0时也趋近于0,此时X化为(1$1 + x)10 -1 ,这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设 y =巧记，则x = y10 -1 .解：设y =黝+x ,则x = y10 -1,于是，当XT 0时，yT 1 .原式 : lim y0 1 ; lim 98二 y 1 y -1 y 1 y y y 110说明：本题采用的换元法是把 xt 0化为y -1t 0 ,这是一种变量代换.灵活地运用这种代换，

9、可以解决一些 0型的极限问题.0一,x2 -1例如对于lim,我们一般米用因式分解,I x -1然后约去X-1,得到lim(x+1) = 2 .其X >1实也可以采用这种代换，即设 t =X -1 ,则当XT 1时，tT 0 ,这样就有0limx 1X2 -1X -12(t 1) -1lim (t 2) =2.组合与极限的综合题A. 0分析：解:nim昌C .C2n 21B. 2 C.一2D.将组合项展开后化简再求极限.一 UnnimCT；=limnf=lim(2n)! (n 1)!(n 1)!n!n! (2n + 2)!_(n 1)2n y2n1)(2n2)2一，n2n- 11=lim

10、 -2=.n F：4n26n24故应选D.说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念.高考填空题1 .计算 lim (n )n二n 22 .若数列An )的通项公式是an1(n u N ),则 lim (a1 +n an)= n(n 1)n-：n 3 c3计算：nim(n-/1.解析.n lim n 2二e二11n 2 一一说明：利用数列极限公式liml'二 nn=e,把原题的代数式稍加变形即可获解.本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力.，砧乩学，,com2.解析 an11,- a1 二一n(n 1)2.lim n2f"21 1 n(n +1)=lim ( -n)二 2)41

11、说明：本题的思考P碍点是如何求 a1 只要懂得在通项公式中令n = 1 ,可立得a1的具体值，本题考查数列极限的基本知识. , n 3 n3.解析 lim( )n一：n 12n2nJ.= lim (1 +)2n-)pcn +1说明：本题考查数列极限公式的应用.根据已知极限和四则运算求其它极限若 lim 2nan =1 ,且 lim an 存在，则 lim (1 -n)an = n .n .n_.A. 0_1B. 一2C. 一工 D.不存在2分析：根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论.解：nim/nalim .an n lim 2nann n1=lim

12、二0f： 2nnman =0又 lim 2nan =1, lim nann .n ：.nim：(1 -n)an即 lim (1 -n)annT 二选C.，./、，.c 11= nim：(an -nan) man imnan =0； =21= .2说明：nman是关键，不能错误地认为nim/n=0，nm(1 n)an =0.两个数列4、&n的极限存在是两个数列的和.差、积存在极限的充分条件.但生bn的极限不一定存在.化简表达式再求数列的极限例求下列极限(1)357 2n 1lim J' .、n 1 n 1 n 1 n 1(2),1111 -lim93rn .1111一 一2 42

13、n分析：先运用等差数列、等比数列的前式，再进行极限的四则运算.n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达解:(1)原式=lim+(2n 1) n2 1limn(一：n 1=limn.11 2 n式1M-lim 1-limp n4 n : 3 3lim1-lim 1 nn二 n二2n 1n 2limn )二2nn 2=2.说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0,lim 25=0,j：in2 1，nim2n 1n2 1=0而得到（1）的结果是0.画产睥无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限: lim2"."nf：3 2n 4 3nn1 - a（2）nim：K

14、（a0）分析：第（1）题属“三”型，一般方法是分子，分母同除以各式中募的值最大的式子.第oO（2）题中当a的值在不同范围内变化时, 各种情形进行讨论.分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分解：（1）原式2 2n -15 3n: limn-n > -3 2n 4 3n2 2 -15= lim -3-n-3 243n2lim 2一.3-lim 15n-j 二二2 0-15153lim -n1二3lim 4n ）二二（2）当 0 <a <1 时,.1 -1 C=lim= 0 ， 111 - a当 a >1 时，lim二1 alimn一.y alimn一.y alim 1n

15、： ：0-1,=-10 1lim 1n .二二说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列On ai的首项为a1，公比为q,且有lim In f，1 qn-q值范围.分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知Jjmqn存在，因此可得q的取值范围,从而确定出a1的取值范围.解：由 limaL -qnn 1 q1 n一,得lim q存在.21q <1 且q *0 或q =1 .当q <1时，有a11=.，1 q 2q =2a( -1 ,- 2a -1 <1 解得 0 <a1 <1 ,当q =1时，

16、这时有lim ! a1 _1 = n,21 . 一综上可得：0<a1 <1,且a1/3或a1=3.说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出 发来考虑q的特点，容易将q#0这一条件忽视，从而导致错误.求函数在某一点处的极限例求下列极限:(1)lim3x 2(2)2x2 17x 35lim 9x )5 x 13x 40(3).2 sin x lim3x01 -cos x(4)6x2 -9分析:、（3）第（1）题中，x=2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；两个极限分子、分母都趋近于 0,属“ 0”型，必须先对函数变形，然后施行四0则运算

17、；（4）为“笛-笛”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算.解：（1）92,2x34 x3+2= lim"im¥X 起 x2 4 x 正 x3 2lim(3x 2) lim 2x3 23lim(x2 4) lim(x3 2)3lim x lim 2 2lim x3_ T T . x-2_lim x3 lim 4 lim x3 lim 2二1135.(2)2x2 17x 35 (x 5)(2x 7) 2x 7lim -2二 lim二 limx )5 x 13x 40 x 5 (x 5)(x 8) x )5 x 82 (-5) 71二一I.(-5) 8(3)2 sin

18、x lim3x)01 - cos x21 一 cos x2、(1 -cosx)(1 cosx cos x)1 cos21 cosx cosx2 -9lim 6J3x -9lim，x R x 3说明：不能错误地认为，由于不存在，lim) x 3 x2 -96山，也不存在,因此（4）式的极限不存在.（4）属于型，一般要先对函数式进行变形，变为0，0型或“”OO型，再求极限.函数在某一点处零比零型的极限例求下列极限:1 - x(1) lim-x ：11 -3xtan x -sin x(2) lim 3x 2 二 sin x分析：第（1）题中，当xt 1时，分子、分母的极限都是0,不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限, 常用的变换方法有：(2)对多项式进行因式分解； 对无理式分子或分母有理化；对三角函数式（如第题，先进行三角恒等变换，再约分.解：(1)原式=lim(1型小；沙tx+3幻x 1 (1 -3 x)(1 3 x 3 x2)(1 % x)3 132、.(1 -x)(1 x x )二 lim