五种方法求二面角及练习题

1、五种方法求二面角及练习题定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线AB所成的角的大小就是二面角的平面角。1如图，在棱长为a的正方体ABCD-AiBIODI中，求：(1)二面角O-BDC的正切值(2)二面角BBOi-D2如图，四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形，SD Jg面ABCD , AD- 2DC =SD =2 ,点M在侧棱SC上，.ABM =60, M在侧棱SC的中点(1)求二面角S-AM -B的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面

2、的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。1 .如图，在直四棱柱ABCD-ABGDi中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD,AB=4, BC=CD=2, AAi =2, E Ei、F 分别是棱 AD、4加、AB 的中点。(1)证明：直线EE /平面FCC ； (2)求二面角B-FG-C的余弦值。C2 .女口图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB =3, AD =2,PA =2,PD =2 2,. PAB = 60 .（I）证明AD _平面PAB ；（ri）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（川）求二面角P-

3、BD-A的大小.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二 平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC- ABC的棱长都是a,侧棱与底面成60°的角，侧面BCCBi±底面ABCO（1）求证:ACi± BC；2）求平面ABC与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。2：如图5, E为正方体ABCD ABCiDi的棱CG的中点，求平面ABiE和底面ABCDi所成图5锐角的余弦值.3如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边

4、长为i的菱形，Z BCD= 60°, E是CD的中点，PAJ_ 底面 ABCD, PA= 2.（I）证明：平面PBEJ_平面PAB（II）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小角的平面角（锐角）要找到二面角的平面角，分析 平面ABiE与底面ABGDi交线即二面角的棱没有给出，四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时， 通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。1如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, ADBCFE，

5、AB_ AD, M为EC的中点，1AF=AB=BC=FE=AD.(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD一平面CDE求二面角A-CD-E的余弦值。，2、如图，在直三棱柱ABC-ABiCi中,平面ABC _侧面AiABBi.求证：AB _ BC ；(口)若直线AC与平面AiBC所成的角为二，二面角ArBC-A的大小 为-，试判断二与，的大小关系，3.如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABIGDI中，求：(1)二面角G-BD-C的正切值(2)二面角Bi-BCi-D4过正方形ABCD的顶点A作PA八平面ABCD，设PA=AB=a求二面角B- PC- D的大小；求二面角C-PD

6、-A5.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，Z BCA 60°, E 是 CD 的中点，PA_1_底面 ABCD, PA= ； 3(1)证明：BE，平面PAB(2)求二面角A- BE- P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P - ABCD 中,A3 BC, ABC =90 ,PA，平面 ABCD PA =3, AD =2,AB =2J3 BC=6PAC求证:-平面 '求二面角P BD 一 A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小AE=EB F为CE上的7 .如图，直二面角D-AB- E中，四边形ABCD是边长为2的正方形,点，且BF_L平面ACE.(I)求证AE _L平面BCE(口)求二面角B- AC- E的大小;(川)求点D到平面ACE的距离.n ADCCABCD8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形.已