高中数学-导数及其应用章末总结

1、高中数学-导数及其应用章末总结知识点考纲展示导数概念及其几何 意义，导数的运算? 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.?能根据导数的定义求函数 y=qc为常数)，y=x, y=x2, y=，的导 x数.?能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数.导数在研究函数中 的应用? 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会 求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次 ).? 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数 的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次 )；会求闭区间上函 数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次

2、 ).?会利用导数解决某些实际问题 .、点在纲上，源在本里考点考题考源导数 的几 何意 义(图考全国卷H,6, 5分)已知曲线y=x+ln x在点(1 ,1)处的切线与曲线 y= ax2+(a+2)x+1相切，则a= .选彳1-1 P85 A 组 T6(图考全国卷出，T16, 5分)已知f (x)为偶函数，当xWO时， f(x) =e x 1-x,则曲线y=f(x)在点(1, 2)处的切线方程是.选彳1-1 P85 A 组 T6(高考全国卷I ,不4, 5分)曲线y= x2+在点(1 , 2)处的切 x线方程为.选彳1-1 P110 A 组 T1导数 的应 用(高考全国卷出，T21, 12分)

3、设函数f(x)=ln x-x+ 1.(1)讨论f(x)的单调性；、_.一一 ,一，x - 1(2)证明当 xe。，+8)时，1<n_x<x；设 c>1,证明当 xC(0, 1)时，1 + (c1)x>cx.选彳1-1 P99B组(4)(高考全国卷出，T21, 12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a + 1) x.(1)讨论f(x)的单调性；，、-3(2)当 a<0 时，证明 f(x)< - - 2.4a(高考全国卷出，T21, 12分)已知函数f(x) =x-1-aln x.(1)若f(x) >0,求a的值；1(2)设m为整数，且对于任意正

4、整数n, 1 + 3,111 + 22 1 +艺<m|求m的最小值.二、根置教材，考在变中一、选择题1.(选彳1-1 PiioA组T2(2)改编)曲线f(x) = exln x在x= 1处的切线与坐标轴围成的三 角形的面积为()eA. eB.-C.D. 2e1 x+x)x解析：选 B.析(x)=exln x+e=ex(ln x所以 f' (1) = e, f(1) =0,所以曲线f (x) = exln x在x= 1处的切线方程为y=e(x 1)，令x=0,彳导y= e,令y=0,得 x= 1.所以切线与坐标轴围成的三角形面积为2.(选彳1-1 P104 A组T2改编)将一边长为

5、4的正方形铁片四角截去大小相同的四个小正方形后，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为()A. 4B.12827C. 6D. 8解析：选B.设截去的小正方形的边长为x,则做成的方盒体积Mx) = x(4 2x) 2= 4x3 16x2+ 16x(0<x<2),V' (x) = 12x232x+16 = 4(3x28x+4) =4(x2)(3 x 2),当 V' (x)=0 时，x = 1;3,2V (x)>0 时，0<x<一;'3',2V (x)<0 时，3Vx<2,所以Vx)在0, 2上是增函数，在 I，2上是减函数，

6、33所以 Mx)max= V - = .选 B. 32 73.(选彳1-1 P99 B组(3)改编)已知e是自然对数的底数，若函数f(x) =ex-x+ a的图象始终在x轴的上方，则实数 a的取值范围为()A. 2, 2B.(巴-2) U (2 , +oo)C. (1, +oo)D.(巴-2 U 2 , +oo)解析：选C.因为函数f (x) = exx+a的图象始终在x轴的上方，所以f (x) =ex-x+ a 的最小值大于零.由 f' (x) = ex1 = 0,得 x = 0,当 xC(8, 0)时，f' (x)<0, f(x)单 调递减；当xC(0, +8)时，f

7、' ( x)>0 , f (x)单调递增.所以f (x) = exx+a的最小值为 f(0) =1 + a,由1 + a>0,得实数a的取值范围为(1,十).4.(选彳41-1 P99 A组T6(2)改编)已知函数f(x)=x3+3x29x+1,若f(x)在区间k, 2上的最大值为28,则()A. k>- 3B. k>- 3C. k<- 3D. kv 3解析：选C.由题意知f ' (x) =3x2+6x 9,令f ' (x) = 0,解得x= 1或x=- 3,所以f' ( x) , f (x)随x的变化情况如下表:x(00, 3)-

8、3(-3, 1)1(1 , +°°)f' (x)十0一0十f(x)极大值极小值又 f (3) =28, f (1) =4, f(2) =3, f (x)在区间k, 2上的最大值为 28,所以 k< -3.故选C.二、填空题，一一一一 ，,15 .(选彳1-1 P99B 组(4)改编)已知 f(x)是奇函数，当 xC(0,2)时,f(x)=ln x-ax( a>2), 当xC( 2, 0)时，f(x)的最小值为1,则a的值为.解析：因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0,2)上的最大值为一1,当xC (0,2)时，(刈=-a,令 f ' (x)

9、=0,得 x = -,又 a>1,所以 0<1<2.令 f' (x)>0 ,得 x<-,所以 f (x)在 xa 2aa(0, 1)上单调递增；令f' (x)<0,得x，所以f(x)在(1, 2)上单调递减.所以当 x(0, aaa2)时，f(x)max= f(-) = In -a - 1,所以 In1=0,所以 a= 1.a'a a 'a答案：16 .(选彳1-1 P98练习(2)改编)设函数f(x) =kx33x+1(xC R),若对于任意 xC 1, 1,都有f(x) >0成立，则实数k的值为.解析：若x=0,则不

10、论k取何值，f(x)>0都成立；当 x>0,即 x(0, 1时,f (x) =kx3- 3x +1 >0 可化为 k>A-3. x x、“31 皿，3 (1 2x)设 g(x)=7x3,则 g (x)=-4,1所以g(x)在区间0, 2上单调递增，、1、在区间2, 1上单调递减，1因此 g(x)max= g 2 =4,从而 k>4；当 x<0,即 x-1, 0)时，f(x) = kx3 3x +1 >0 可化为 k<A-3, x xg(x)=*1在区间1, 0)上单调递增， x x因此 g(x)min= g( -1) = 4,从而 k<4,

11、综上 k = 4.答案：4三、解答题7.(选彳1-1 P99B组(4)改编)已知函数f (x) = In x-x.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)函数g(x) =f (x)+x+元m有两个零点 2 X解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0X1 , X2, 且 X1<X2.求证： X1 + X2>1.f(X)=J-1=' 由 f(X) = X X1 -x>0,x ，得 0<x<1；1 x由 f ' (x) =<0,得 x>1.X所以函数f(x)的单调递增区间为(0(2)证明：根据题意得,g(X) = In x+云mx>

12、0),1),函数f(x)的单调递减区间为(1, +00).1因为xi, X2是函数g(x) = lnx+W m的两个零点, 2X一、，1所以 In X1 + -m= 0, In2x1X2 + t- - m= 0.2X2两式相减，可得InX11X22X2 2X1'口 rX1即InX2X1 X2,五XT，故X1 X2X1X2=2lnXiX2所以XiX1 一一1 X2X1 2lnX2X21 -X1X2 =X1 2lnX2令t =",其中X20<t<1,则 Xi+ X2 =7 + T =.2ln t 2ln t 2ln t1构造函数 h(t) =t 121n t (0&l

13、t; t<1), (t-1) 2则 h，(t)= t2 7 .因为0V <1,所以h' (t)>0恒成立，故1h(t)< h(1),即 t21n t<0.又因为 In t <0,t-r所以>1，故XR.8.(选彳1-1 P99B组(3)改编)设函数(1)当 a=1, xC 0 , +8)时，f (x) >of(X)= e、+asin x+b.恒成立，求b的范围；(2)若f(X)在x=。处的切线为x y1 = 0,求a、b的值.并证明当x C (0 ,十)时,f (x)>Inx.1一解：(1)由 f(x) = ex+asin x+b,

14、当 a= 1 时，得 f ' ( x) =ex+ cos x.当 x C 0 ,+8)时，ex> 1, cos x -1, 1,且当 cos x= 1 时，x= 2k 兀 + 兀, C N,此时 ex>1.所以 f ' (x)=ex+cos x>0,即 f (x)在0 , +°°)上单调递增，所以 f (x)min = f(0) + b,由f(x)>0恒成立，得1+b>0,所以b>- 1.(2)由 f (x) = ex+asin x + b 得f' (x) = ex+acos x,且 f(0) =1 + b.由题意

15、得f ' (0) = e°+a=1,所以a=0.又(0, 1 + b)在切线xy1 = 0上.所以 01b1 = 0.所以 b=- 2.所以 f(x) = ex 2.先证 e 2>x 1,即 e x 1>0( x>0),令 g(x) = ex x 1(x>0),则 g' ( x) = ex 1>0,所以g(x)在(0 , +8)上是增函数.所以 g(x)>g(0) =0,即 ex2>x1.再证 x 1 > ln x,即 x 1 ln x> 0( x>0),令 6 (x) = x1ln x,则 6 ' (x