2018-2019年数学高中学业水平考试模拟试卷(二)

1、学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1 .把复数z的共钝复数记为z, i为虚数单位，若z= 1 + i,则(1+z) z =()A. 3-i B. 3+1 C. 1 + 3i D. 3一解析：(1 + z) z =(2 + i)(1 -i) = 3-i.答案：A2 .设 U = R, M = x|x2 2x>0,则？uM=()A. 0, 2B. (0, 2)C.(一巴 0)U(2, +s) D.(，0U2, +s)解析：因为 M =x|x22x>0

2、= x|x>2 或 x<0,所以？uM = x|0WxW2.答案：A3 .若函数f(x) = =xTT为奇函数，则a=()v 2x 十 1 ； 1x a； 1c 2_ 3f,A"B"C"D.1234x解析：(特例法)因为f(x) =是奇函数，(2x +1) (x-a)第12页所以 f(1)= f(1),所以-1(2+1) (-1-a)1(2+1)(1-a)1所以 a+1=3(1 a),解得 a=/.答案：A4 .命题“ ？ x>0, x2 + x>0”的否定是()A. ? X0>0, x2 + x0>0 B. ? X0>0

3、, xO+X0<0C. ? x>0, x2+ x<0 D. ? x<0, x2 + x>0解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：X0>0, X20+X0W 0.答案：B5 .若等比数列an满足anan + 1=16n,则公比为()A. 2 B. 4 C. 8 D. 16an +1an+216n + 1解析：由 anan + 1=anq= 16n>0 知 q>0,又=q2= 16nanan+11616,所以 q = 4.答案：B6 .如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A.1423B.284C.2

4、80D.1403解析：根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V = V长方体一 V正三棱锥=4X 4X6 3，3X2X 2 x 2 =r. 3 23答案：B7 .已知点A(1, 2), B(m, 2),且线段AB的垂直平分线的方 程是x+2y 2=0,则实数m的值是()A. -2 B. -7 C. 3 D. 1解析：由已知条件可知线段 AB的中点1詈，0在直线x + 2y 2=0上，把中点坐标代入直线方程，解得 m = 3.答案：C8 .已知, B都是锐角，若sin a =坐，sin B = W 则 片（）兀 3

5、兀 兀 3兀兀 3兀A. 4 B. 4 C. 4 和 4> - 4 和4解析：由& B都为锐角，所以cos a=yi sin2a= 25, cos B572兀2 所以+片3 1010所以 cos（%+ = cos a cos 3 sina sin B=答案：A9 .已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C 交于A, B两点，|AB|=12, P为C的准线上一点，则4 ABP的面积为()A. 18 B. 24 C. 36 D. 48解析：如图，设抛物线方程为y2 = 2px(p>0).因为当x=2时，|y|=p,所以PmmmG.又P到AB的距离始终为p,所以Sb

6、p=2X 12X6=36.答案：C2x+y<3.x + 2y w 3,10 .满足线性约束条件， 的目标函数z= x + y的最大x>0,yA0,值是()3 -A. 1 B.2 C. 2 D. 3解析：由线性约束条件画出可行域如图，A、B、C的坐标分别.33, 为 A2, 0 , B(1, 1), C 0, 2 ,由图可知 Zmax=1+1=2.答案：C11 .已知向量 a = (1, 2), b = (1, 0), c= (3, 4).若入为实数，(a+ 入)/ c,贝U 七()11 -A.4 B.2 C. 1 D. 21 +入解析：因为a+入岸(1+力2), c=(3, 4)且

7、(a+入)/1c,所以二一32 ,1=4，所以七2.答案：B12 .在面积为S的4ABC的边上AB上任取一点P,则 PBC. S的面积大于s的概率是()113a.4 b.2 C.42D.3解析：由gBC, zTBC有公共底边BC,所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，这是一个几何概型，所以PAE 3 = AB=4.答案：C,一一兀_.一一一一13 .已知函数f(x)=sin x 万(x6 R),下面结论错法的是()A.函数f(x)的最小正周期为2兀兀 _B.函数f(x)在区间0,5上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x = 0对称D.函数f(x)是奇函数解析：因为y= si

8、n x _2 = cos x,所以T=2兀，在0,；上是 增函数，图象关于y轴对称，为偶函数.答案：D14.已知直线a, b和平面出下列结论错误的是（）a± 民a± aA. b? ? a，bB.力 b ? b± aa±ba II aC. b, ? a / a 或 a? a D. b? ? a / b解析：当a/& b在内时，a与b的位置关系是平行或异面，故D不正确.答案：D15 . 一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每 一个数据都加上60,得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方 差分别是（）A. 57.2, 3.6 B.

9、57.2, 56.4 C. 62.8, 63.6 D. 62.8, 3.6解析：平均数增加，方差不变.答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.1 一一一16 .若 f（x） = ax 2,且 f（lg a） = V10,贝U a=.11a1g aq解析:f(1g a) = alg a2=需=1°，所以 alg a=(10a)2,两边取1吊用对数，得(lg a)2= 2(1 + lg a),所以 2(lg a)2Ig a 1 = 0,解得 lg a-110=1 或 lg a= - 2.所以 a= 10 或 a=10 .答案：10或毛0,1 117,已知十= 1(

10、a>0, b>0),点(0, b)到直线 x 2ya=。的 a b距离的最小值为.a+ 2b 1下飞(a +111 c 2b a、12b) a+b=V5 3+7+b>V53 5+2 10(3+22) =,当 a1 2= 2b25解析：点(0, b)到直线x 2y a=0的距离为d =厂2 + 2且a+b=ab时，即a=1 + “2, b= 2 一时取等号.答案. 1_. -(x-10)2+ (y-10)2+0+1+1 = 2,联立解得，x2 + y2 = 208. 答案：208 兀 19.已知函数 f(x) = 3sin ax 万(3>0)和 g(x)=2cos(2x+

11、 0)+1 的图象的对称轴完全相同.若 x6 0,，则f(x)的取值范围是 5+2 10口518.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x, y, 10, 11, 9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x解析：由式x + y+10+11 + 9) = 10, 5 + y2的值为一，一 ，一、一一一.一斤解析：由题息知3=2,所以f(x)=3sin 2x，6当x6 0,1时，兀万 二32x-g £, 5兀，所以f(x)的取值范围是一万，3.3答案：3, 3三、解答题(本大题共2小题.每小题12分，满分24分.解答 须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)20. (12 分)

12、已知函数 f(x) = sin x+4 +cosx, x 6 R.(1)求f(x)最小正周期和最小值；4 ,一4 _兀、(2)已知 cos(3 %) = 5，cos(B+ o)= 5，0< a< 3<_2，求证:f(四2-2=0.解：(1)f(x) = sin xcos 彳+cos xsin 彳+cos xcos 4 +sin xsin 7=2sin x 2cos x=2sinx 4,所以 f(x)的最小正周期 T=2 兀，最小值 f(x)min = -2.(2)证明：由已知得cosc . c 4acos B+sin asin B=£, 5cos acos (3 sin asin-4B= A，两式相加得 2cos acos (3= 0.5因为0c oc< 3<,，兀兀所以 cos (3= 0,则 B=万，所以f(四22= 4sin242=0.21.(12分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN /平面PAD;(2)若MN = BC = 4, PA=4，3,求异面直线 PA与MN所成的角 的大小.解：(1)取PD的中点H,连接AH,由N是PC的中点，1一所以NH DC.由M是AB的中点，所以NHAM ,即AMNH为平行四边