随机实验报告1Poisson过程模拟

1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 随机数及Poisson过程的模拟 所属课程名称 随机过程 实 验 类 型 综合 实 验 日 期 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述：【实验目的】 通过模拟产生随机数，进一步编程实现对possion过程样本轨道的模拟。掌握生成随机变量的方法，深入了解poisson过程的性质。【实验原理】1、随机变量的生成（逆函数法）：利用均匀分布并结合分布函数的逆变换，生成分布函数为F（x）的变换：若U是0,1区间上的均匀分布，F（x）为任一给定的分布函数，定义，则随机变量的分布函数为F（x）;2、Poisson过程的模拟：（1）利用事件发生的间隔时间是独

2、立同分布的随机变量序列，（2）给定事件发生次数的条件下，事件发生的时刻与该区间上对应的均匀分布的顺序统计量相同【实验环境】硬件环境Windows 7 Microsoft CorporationInter(R)Core(TM) i5-3210 软件环境Matlab 7.0二、实验内容：【实验方案】1、利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；2、（a）利用独立同分布的指数分布序列模拟强度为1的Poisson过程；（b）利用均匀分布的顺序统计量模拟强度为1的Poisson过程【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；步骤一：我们知道一个指数分布的概率密度函

3、数是： 其中 > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是0,)。 如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X  Exponential（）。累积分布函数:累积分布函数可以写成：所以在 时该分布函数的逆变换为：步骤二：生成均匀分布在0,1上的随机数 Matlab里生成0，1上的均匀随机数的语句是：rand(1,1); rand(n,m)。步骤三：生成服从参数为 lambda 的指数分布的随机数生成有连续分布函数随机数的一般方法是用反函数法。设G(y)=F-1(y)，如果u(1)., u(n)

4、 是服从（0，1）上均匀分布的随机数，那么G(u(1), ., G(u(n)就是分布函数为F(x)的随机数。例：生成一组参数为1的服从指数分布的随机数lambda=1;x=rand(1,10);y=-(log(1-x)/lambda结果为： y= 0.6863 ,2.3003 ,1.7239 ,1.0354 ,1.7036 ,1.0795 ,0.4185 ,0.3421 ,0.4173 ,0.7637对于如何验证这组随机量是否满足参数为1的指数分布，2， （a）利用独立同分布的指数分布序列模拟强度为1的Poisson过程；我们知道计数过程N(t),t0 是参数为的Poisson 过程，如果每次

5、事件发生的时间间隔为 相互独立，且服从同一参数为的指数分布。因此只需产生n个同指数分布的随机数，将其作为，即可模拟Poisson过程。假设我们要产生20个服从参数为1的指数分布的随机数，则可用以下编程实现：lambda=1;n=20;X=0 -log(rand(1,n)./lambda;再利用MATLAB中的cumsum函数与stairs函数，便可得出一条满足参数为1的Poisson分布的样本路径。stairs(cumsum(X),0:n);如图：（b）利用均匀分布的顺序统计量模拟强度为1的Poisson过程首先引入定理1. 设N(t),t0是计数过程， 为第n个事件与第n-1个事件的时间间隔

6、， 独立同分布且分布函数为F（x）,若F(0)=0，且对任意的 0<s<t，都有 则N(t),t0为泊松过程。定理2. 设N(t),t0为跃度为1的计数过程，满足，且在N(t)=n条件下， 的条件概率密度为 则N(t),t0为泊松过程。利用以上理论便可进行计算机模拟：1. 选定t>0，产生服从参数为的泊松分布的随机数n:2. 假定 n>0,独立的产生n个在服从0,t上的均匀分布的随机数，将这n个数按从小到大的顺序排列的 ；3. 我们可以在用作为过程的第i 个点发生时间而得到过程在0,t上的一条轨道。 利用MATLAB编程实现：lambda=1;tmax=20;npoin

7、ts=poissrnd(lambda*tmax);if (npoints>0) arrt=0;sort(rand(npoints,1)*tmax);else arrt=0;endstairs(arrt,0:npoints); 我们可得到：【实验结论】（结果）利用不同发布模拟出了poisson发布过程的轨道，画出图形。【实验小结】（收获体会）通过本次实验学习了如何利用编程实现对possion过程样本轨道的模拟。掌握了生成随机变量的方法，深入了解poisson过程的性质。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录1：源 程 序1.lambda=1;n=20;X=0 -log(rand(1,n)./lambda;stairs(cumsum(X),0:n);2.lambda=1;tmax=20;npoints=poissrn