圆的方程经典例题

1、高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程(1 )标准方程，圆心a,b，半径为r点 M(xo,y°)与圆(x a)2 (y b)22r的位置关系:当当当(2 )一般方程当当当，点在圆外，点在圆上，点在圆内时，方程表示圆，此时圆心为 时，表示一个点；时，方程不表示任何图形。，半径为(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程, 需求出a，b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。1若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切

2、线，则实数a的取值范围是 2.圆x2 + y2 2x + 6y+ 5a= 0关于直线y= x+ 2b成轴对称图形，则 a-b的取值范围是()A. ( a, 4) B. (a, 0)C. ( 4,+ ) D. (4,+ )3.求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关2 24.求半径为4,与圆x y 4x 2y 40相切，且和直线 y 0相切的圆的方程.5.求经过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.6已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线I和圆C都相切且半径最小的圆的

3、标准方程是7、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线I: x 2y 0的距离最小的圆的方程.1 18已知点P(2,2)，点M是圆Oi：x2+(y-1)2=上的动点，点N是圆O2：(x-2)2+y2=上的动点，则|PN|-|PM|的最大值是()类型二：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有Ax By C，则有三种情况：0 ,圆 C : xy b 2 r2 ,圆心C a,b至U l的距离为(1)设直线丨:(2) 过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立 k存在, 离=半径，求解k,得到方程【一定两解】(3

4、) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x。,设点斜式方程，用圆心到该直线距yo),则过此点的切线方程1、已知直线 3x y 2 3 0和圆x2 y24，判断此直线与已知圆的位置关系2 22：直线x y 1与圆x y 2ay0(a0)没有公共点，贝U a的取值范围是 23:若直线y kx 2与圆(x 2)2(y 3)1有两个不同的交点，则k的取值范围4. 圆x2 + y2 2x 2y+ 1 = 0上的动点 Q到直线3x+ 4y + 8= 0距离的最小值为 5.圆（x 3）2 （y 3）29上到直线3x 4y 110的距离为1的点有几个6、若直线y x m与曲线

5、y 、4 x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围. . 2 2 . .7.已知圆M : x （y 2） 1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A, B两点（1若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程;求四边形QAMB的面积的最小值；(3)若 AB，求直线MQ的方程3类型三：圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 C1 : x a1 2 y b1 2 r2， C22:x a22 2y b2R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两

6、条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当d 0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点1、判断圆C1 : x2 y2 2x 6y 260与圆C2 : x2 y2 4x 2y 40的位置关系，2 2 2 22：圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有 条。3 .圆x2 + y2 2x- 5= 0与圆x2 + y2+ 2x- 4y- 4= 0的交点为 A，B，则线段 AB的垂直平分线的方 程是（）.A. x

7、+ y- 1 = 0B. 2x-y+ 1 = 0C. x-2y+ 1 = 0D. x-y+ 1 = 04：求与圆x2 y2 5外切于点P（ 1,2），且半径为 2 5的圆的方程.5. 在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）4535A. -B.-C.D.34536.已知圆C :(x 2)22y4，相互垂直的两条直线l1、12 都过点 A(a,0)（I）若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程；（n）当a 2时，若圆心为 M（1,m）的圆和圆C外切且与直线l1、l

8、2都相切，求圆 M的方程;（川）当a 1时，求l1、12被圆C所截得弦长之和的最大值.类型四：切线方程、切点弦方程、公共弦方程. 2 2 .1.已知圆O: x y 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.2 2 2 2 、 .2.两圆 C*x yD1xE1yF10 与 C2：x yD2xE2yF20 相交于 A、B 两点,求它们的公共弦 AB所在直线的方程.2 23、过圆x y 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 线AB的方程。MA、MB，切点分别是A、B，求直2 24求过点M (3,1)，且与圆(x 1) y4相切的直线丨的方程5、过坐标原点且与圆 x2y2 4x 2y 50相切的直线的

9、方程为 2类型五：弦长、弧问题21、求直线丨：3x y 60被圆C : x22y2 2x 4y 0截得的弦AB的长.2、直线 3x y 2 30截圆x2 y24得的劣弧所对的圆心角为2 2 2 23、求两圆x y x y 2 0和x y5的公共弦长4.过点A(11,2)作圆x2 + y2 + 2x 4y- 164 = 0的弦，其中弦长为整数的共有()A. 16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条类型六：圆中的对称问题2 21、圆x y 2x 6y 90关于直线2x y 50对称的圆的方程是 2 自点A 3,3发出的光线丨射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C: x2

10、y2 4x 4y 70相切(1)求光线丨和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.类型七：圆中的最值问题2 21：圆x y 4x 4y 100上的点到直线 x y 140的最大距离与最小距离的差是 2 (1)已知圆01(x 3)2 (y 4)2 1,P(x,y)为圆0上的动点，求d x2 y2的最大、最小值. 已知圆02:(x 2)2 y2 1 , P(x, y)为圆上任一点求 I"2的最大、最小值，求x 2y的最大、x 1最小值.3.已知圆O: x2+ y2 = c(0<c< 1),点P(a, b)是该圆面(包括O 0圆周及内部)上一点，则a + b

11、+ c的最小值等于4、已知点 A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2)，点 P 在圆 x2y24上运动，求 PA? PB? pc $的最大值和最小值类型八：轨迹问题1. 设A为圆(x 1)2+ y2= 1上的动点，PA是圆的切线，且|PA| = 1，贝V P点的轨迹方程是()A. (x 1)2+ y2= 4B. (x 1)2+ y2= 2C. y2= 2xD. y2= 2x2、 已知线段 AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，求线段 AB的 中点M的轨迹方程.3. 如图所示，已知圆O: x2 y2 4与y轴的正方向交于 A点，点B在直线y 2上运

12、动，过B做 圆O的切线，切点为 C ,求 ABC垂心H的轨迹.2 2 24.已知圆的方程为x y r ,圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点 A、B，使PA PB , 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.练习：1、由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA、PB，切点分别为 A、B , APB =60°，则动点P 的轨迹方程是.2、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动,AOB的平分线交 AB于点M，则点M的轨迹方程是3.已知直线y kx 1与圆x2 y24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2 y2

13、x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ，求实数m的值.例26、已知对于圆x2 (y 1)2 1上任一点P(x,y)，不等式x y m 0恒成立，求实数 m的取值范围.例27有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 A地的运费是B地的运费的3倍已知A、B两地距离为10公里，顾客选 择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用.解题时要 明确题意，掌握建立数学模型的方法.解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.P r$AOBXAB10 , A( 5,0) , B(5,0).设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择 A地购买商品便宜，并设 A地的运费为3a元/公 里，B地的运费为a元/公里因为P地居民