(完整word)MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论

1、非线性系统控制理论第五章 MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论引言: 对于多输入多输出系统仍可以用下列紧缩的形式的方程来描述:108x f(x) g(x)uy h(x)(*)x Rn若输入的个数与输出的个数的数目相同时，可令uCol(U|,.,um)(m1)yCol(yi,.,ym)(m1)g(x)gi(x),gm(x)(nm)f (x)Colfi(x),.,fn(x)(n1)h(x)Colhi(x),.,hm(x)(m 1)f (x), g1 (x),., gm(x)均是光滑的向量场，h1(x)，,hm(x)是光滑的函数均定义在Rn的某个开集上5.1向量相对阶和总相对阶：一个多变量非线性系

2、统(*)，在x处有向量相对阶r1,., rm是指:1jm(i)LgjLfhi (x)0对所有：1i mx x的邻域kri1(ii)m m矩阵L®Lfgx)Lg1h1(x)LgA(x)g1L：1 h2(x).Lgm口h(x)LgLrfhm(X)LgmLrfm1hm(x)在x x处是非奇异的即行向量不是零向量，否则矩阵A(x )就是奇异的了。所以对某个yi来 说至少有一个Uj，对这样的单输入单输出系统说来，它在x处的相对 阶就是ri，而对于其他可以选择的Uk说来，其在x处相应的相对阶如 果存在的话，一定大于或等于这个 *(3) ri也是在t t0时刻，从yi(t)的微分中得到至少u(t&

3、#176;)中一个分量 的显式表示时所需要微分的次数。(4) 若系统在x x0处有向量相对阶口,.,肯，则行向量dhi(x0),dLf hi(x0),dLf gx0) dh2(x0),dLfh2(x0),.,dL； %&0)dhm(x0),dLfhm(x0dLf h(x0)是线性无关的。证明该性质可以仿照单输入单输出的思路：若riri， 2 im，构造两个矩阵：Q Col(dh1(x),.,dLr； 1h1 (x), dh2 (x),.,dLrf整数r1,.,rm中的某个斤是与系统第i个输出hi(x)有关的。行向:Lg1Lrf 1 2hi (x),.,Lgm Lrf1 hi (x)，至

4、少有一个元素是非零的， 1h2 (x),.,dhm(x),.,dLrfn 1hm(x)P Col(gi(x),.,gm(x),.,ad；1 1gi(x),.,adf1 1gm(x)然后将QP相乘，再对它的行重新排列后，矩阵就呈现一个块三角的 结构，其对角线上的块组成A(x)矩阵的行。由A(x)的非奇异性即可证 明QP的行是线性无关的，因而Q的行也是线性无关的。(5) 当系统的输入数目大于输出数目时，向量相对阶定义中的条件(ii),A(x0)阵的非奇异性用该矩阵的秩等于它的行数(也就是输出通道的个数)来代替。实际多输入多输出系统关键的是输入的数目。所 谓输出是看效果的地方，所以采集某个量、观察某

5、个量都可以看作是 输出。(6) rri 2 . rm称为总相对阶，且有r n。5.2局部坐标变换和标准形若系统在x0处有向量相对阶ri,., rm，称r ria . rm为总相对阶，则r n。设1 i m ,贝U对于某一指定的i，取下列映射:1(x) hi(x)2(x) Lfhi(x)r(x)Lf1h(x)当r严格小于n时，总可以找到另外n r个函数r i(x). n(x)，使得z (x)Col：(x), i2(x),，im(x),，m(X),，r 1(X),，n(x)在x0处的雅可比矩阵是非奇异的，则(X)就有资格作坐标变换。一般来说，附加的变换函数r l(x),., n(x)是可以任选的，

6、但是当分布Spangi ,.,gm在x0处是对合的, 则与SISO情况相似，总可以找到 r i(x)，n(x)，使Lgji(X)0r 1 i n1 j m11x x0的邻域11r1则利用上述坐标变换后,n r新坐标表示的系统方程可以分成 (m+1 )组:d 11dtd 212(t)dt3(t)?nL；h1(X)mLgjLr； 1h1(x) Ujj 1md(z)a1j(z) Ujj 11y11其中d(z)d(,)Lr； h1 (1(,)an(z)a1 j(,)LgjLfh1(1(,)1n1 M)注意前式Uj中所乘的系数Lgj Lr； 1h1(x)正是A(x)阵中的第(1, j)项 第i组：? i

7、1 2(t)? i2 3(t)iri 1iriyimLr；hi(x)LgjLrf 1hi(x) Ujj 1 Ji1mbi(z)aj(z) Ujj 1再令1r 1(X)nrn对一般情况下：?mq( , )Pj( , ) Uj q( , ) P( , )uj i若分布GSpangi,.,gm是对合的，又由此可得i (x)满足:Lgj i (x)0则该方程可简化成?q(,)将以上各组合并起来就得到多输入多输出系统的标准形。5.3零动态由输出零化的概念同样可以定义零动态。由于输出及其各阶导数为零，可得：m(x) Lfh'x) . Lr； 1m(x)0hm(x) Lf hm(x) . Lrfm

8、1hm(x) 0 m及 y(ri)(t) bi(0, )aj(0, ) Uj 0(共 m个)j i写成矩阵和向量的形式则有：b(0, )A(0, )u 0其中Lr1 h (x)b(x)1(1(0,)rLmhm(x)A(x)其中就是以前定义向量相对阶时的矩阵，所以:1u(t) A(0,)b(0,)是 qo(0, (t)在(0)0下的解对一般情况：1q( , ) P( , )A( , ) b(,)对零动态，则在 (0) 0, (0)0下求解。5.4参考输出复制问题若参考输出 yR(t)Col(yiR(t),.,ymR(t)其中R(t)R(t)yiR)(t)yip(t)R(t)i；R(t)1R(t)

9、(UyiRi)m(t)r(0),而内动态 (0)0可以任取则类似推导后可得：(i)初始时刻对准，即(0) (ii)取u(t) A1( R(t),(t)( b( R(t),(t).)其中为下列方程的解:ymrR)(t)ylR) (t)q( R(t), ) p( R(t), ) A1( R(t), )( b( R(t),).)ymrR) (t)(0)同样可以将yRu(t) .u(t)解释为原系统的逆实现。5.5反馈线性化：当ri 2. rm r n时，可以实现状态反馈精确线性化(此时没有内部动态)。即取：1u(t) (x)(x) A (x) b(x)当ri r2. rm r n时，可以实现输入输出

10、精确线性化(此时有内部动态)，但解的式子与上面的表达式一样。5.6输入输出解耦控制(或互不影响的控制)问题的提法：给定一个非线性系统mx f(x) gi(x)Uii 1yihi( x) ym hm(x)给定初始状态x0及x0的邻域U。，找一个静态状态反馈控制律mUii(x) j(x) jj 1使闭环系统xmf(x) gi(x)i 1m mi(x)( gi(x) ij(x) jj 1 i 1y1g(x)Ym hm(x)的每一输出Yi，1 i m，只受相应的输入i的影响，而与其他j(i j)无关。这个问题当用标准形来研究时是很简单的，因为：ii1 2iiri 1rimribi( , )aj( , )Ujj 1q( , ) p( , ) u则取:U1u . A1( , ) b(,)U2时，其中为下列方程的解:q( , ) p( , )A1( , )b( , ) p(0)则上述式