8数列中恒成立问题的研究

1、专题：数列中恒成立问题的研究、问题提出问题1：等差数列an的首项为1,公差为2,假设aia2 828383848485a2n&2n 1* 、 - n N恒成立,那么实数t的取值范围是-(,12818282838384848582n82n 182 (8183)84(8385)82n(8 2n 182n 1)4(82 84 L82n)8282n-2.一一.8n 4n,所以8n1 224n tn,所以tn N怛成立,t12问题2:二、思考探究探究1：设首项不为零的等差数列8n的前n项和为Sn,假设不等式8nS222ma对任意正整数nn都成立,那么实数m的最大值为解析：81= 0时,不等式恒成

2、立,当8n2 S281乒0时,入v + ,将81 n 818n = 81 + (n 1) d,nSi = n81 + 2Sn 18n8n 1 qSn3n 1 8n 1 ( n N* )n-1 d,、,二乂、5 n 1 d 6 2 1、11代入上式,并化间碍：入v 4+5 + 5.入".项恤亏探究2:常数入a0,设各项均为正数的数列8n的前n项和为6,满足：81 = 1 ,求数列 8n的通项公式;N*恒成立,求实数入的取值范围.解：1入=0时,&8n8n 1 -8n0 , Sn 0.一 8n冬！Sn3n8n1 8nSn 1Snan 1ann31 ., 5分那么里S3 S223

3、1 , 31 ,SnSna2aa3 a2an an相加,得头13 32 L 3n 1 n 1 .1an13n 11 (n> 2).那么Sn33n2上式对n =1也成立, , Sn3n3n2, Sn 13n 1 32 ,得an 13n 13 一3 - _anann2(n> 2).(n N* )1 an 13n 1 323n2N*3n2-ann对一切记bnan 1an -3n322n_n -3 3对一切当n = 1时,bnbn 1当nA2时,bnbn 1综上所述,探究3:3n 3nan .2N*恒成立,3n 1 3n2N*恒成立.bn 12n3n 30;切bn中的最大项.入的取值范围是

4、数列an满足:(1)求数列an的通项公式;对一切na2a3一2N*恒成立.12分2n 23n 13n4n 2 3n 6n 13 3315分16分ann 12n 2n (常数0,n N )(2) 当 4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得a,as,at成等比数列？假设存在,给出 r,s,t满 足的条件；假设不存在,说明理由；(3) 设&为数列an的前n项和.假设对任意n N,都有(1 )Sn an 2 n恒成立,求实数的 取值范围.【解】(1)a3当n2时,由aa2a32L 与 n2 2n得a1a?a32Lan 1n 22.(n 1)2(n 1)-得牛 2n 1 ,所以an (2

5、n 1) n 1 ( n 2) n 1由于 a 3,所以 an (2n 1)( n N )(2) 当 4时,an (2n 1)4n 1假设存在 a,as,at 成等比数列,贝U (2r 1)(2t 1)4r t 2s (2s 1)2由奇偶性知r t 2s 0所以(2r 1)(2t 1) (r t 1)2,即 r t ,这与 r t 矛盾.故不存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列(3) (0,32三、真题链接四、反思提升五、反应检测1.设各项均为正数的数列 an的刖n项和为S, 7两足an+1= 4S+ 4n+1, n N,且a2, as, a14构成等 比数列.数列b

6、m满足对于任意正整数 m bm是使得不等式 an > m( 0)成立的所有n中的最小值.(1) 求数列an的通项公式；(2) 当 1时,求数列bm的前2m项的和；(3) 是否存在实数,使得bm 3m 2(m N*),假设存在,求出满足条件的实数；假设不存在,请说明理由.解 (1)当 nA2 时,4Sn 1 = an 4( n 1) 1, -4 an= 4S 4Sn 1 = a：+1 an 4, 即 an+1 = an+ 4a + 4= (an+ 2),又an>0, . an+1= an+ 2, .当nA2时,an是公差为2的等差数列.又 32, as, ai4成等比数列.ai= &

7、amp; a% 即(a2+ 6)2= a2 - ( a2+ 24),解得 32= 3.m都有由(1)知 ai= 1 .又 a2 ai = 3 1 = 2, 数列an是首项 ai = 1,公差 d= 2 的等差数列.a = 2n 1.(2)由(1)得 an2n 1,对于正整数n,由an > m,得n根据bm的定义可知当 m 2k 1 时,bmk(kN*)；当m 2k时,bmk 1(kN*).-b1 b2 Lb2m(b1 b3Lb2m1) (b2 b4 L b2m)(1 23 L m) 2 3 4 L (mm(m1) m(m 3)2 八m 2m .22(3) /、存在,埋由如卜：证法1:假设

8、存在实数满足条件,由不等式an2 n >1)3m 2(m N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数3m 1 -2< 3m2,即 3 <(61)m对任意的正整数当610(或61 0)时,得m6“3一(或 m< 161当610,即1 C 时,碍3 w6c 0解得 > 0且 0),这与上述结论矛盾.N*).m<E成立.-不存在正实数,使得bm 3m 2(m证法2:用“别离变量求最值来做的,假设存在实数满足条件,由不等式an 2 nv bm3m2(m N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数 m都有由3m3m 2m得6m 3m 对任意正整数m都成立,6m 1

9、JZ ,宜 Z ,6m 3 6m 1所以业6m 31 m 116,(孑扁7'所以61 一一,矛盾,故不存在.72.设数列 an的前n项和为S.假设1 < 生<2(n N*),那么称an是“紧密数列2 an '1)假设数列an的前n项和& l(n2 3n)(n N*),证实：an是“紧密数列；4设数列an是公比为q的等比数列.假设数列an与S都是“紧密数列,求q的 取值范围.(1)由数列an的前n项和S2*4(n3n)(n N),1, n= 1,得 an= M,S =n+1 n>2 = !n ( n N ).oi一 Si-1, nz分口+云,nz 2 2

10、所以,an+112( n+1)+-1 _1 2n+212 n+21-=1+,n+1n+1'11m 13由于对任怠准N*, 0<苗V 2即1V1拓< 2所以,*131 v 一= 1+< 一, ann+1 21 an+1所以,孑 <2,即an是“紧密数列 .6 分2 ana+1(2)解法一：由数列an是公比为q的等比数列,得 q=7,1由于an是“紧密数列,所以 1 <q<2.8 分 当 q= 1 时,S=na,当二一1+-,Sn n n所以,矣1<穿=1+矣22Sn n n故q= 1时,数列 S为“紧密数列,故 q= 1满足题意. 10分当V 1

11、时3=,那么n+1 Si+1 1 q 3=S 1 q由于数列 S为“紧密数列,n+11 S+1 1 q ,一*所以,= V2对于任息 n N 恒成立.2 Si I 一 q1 1_一 nn(2q- 1) V 1(i)当V qv 1 时,一(1 qn) < 1- qn+1< 2(1 qn)即 ( q )'对于任2 q '2'q, q i q, q(q2)A1* n N怛成立.由于 0v qn< qv 1, 0<2 q-1 v 1, -|< q-2v 1,nn1 、, , 3、3所以 q (2q- 1) v qv 1, q (q-2) >

12、q(q-2) > 2 x ( ) =- 4>- 1,所以,当时,/> 1；对于任意n N*恒成立.13分 zq(q一一 i(H)当 1<q<2 时,(qn-1)< qn+1-1<2( qn-1),即 '匕叮亍；对于匕q(q勺 0 i任意n N恒成立.由于q >q> 1, 2q- 1 > 1, - 1 < q-2<0.所以q(2q1)X,q(q-2)<-1,解侍 q-1, 又1vq<2,此时q不存在.综上所述,q的取值范围是 1, 1 .16分解法二：由于an是“紧密数列,所以1 2 qv 2.-.Si+i n+11 当 q= 1 时,S=nai, =1+-,& n n1S+1 n+11所以/<1§=丁1+力2,故q= 1时,数列S为“紧密数列, n,故 q= 1满足题意.n+1分乌心 1 m q a(1 q )& 1 q吉q乒1时,S =,那么k=.1-q S 1-q10分由于数列 S为“紧密数列,n+11 S+i 1 q*所以, v 2对于任意 n N 恒成立.2. cr 1 q11(i