南京市2020届高三年级学情调研卷及答案

1、南京市2020届高三年级学情调研数 学2019.09注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题(第 1题第14题)、解答题(第15题第20题)两 部分.本试卷满分为 160分，考试时间为120分钟.2 答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡 上对应题 目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.参考公式：柱体的体积公式：V = Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高.4球的体积公式：V = 一冗R3，其中R为球体的半径.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上.1 .函数f(x) = " x 1的定义域为.2 .已知复数

2、z满足(z 2)i = 1 + i，其中i是虚数单位，则复数 z的模为 .3 .某算法的流程图如图所示，则输出的n的值为 .4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40 ,50) , 50 , 60) , 60 , 70) , 70 , 80) , 80 , 90) , 90 , 100,贝U图中 x 的值为 .南京市 2020 届高三数学学情调研 第 2 页 共 24 页5 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为6 .把一个底面半径为 3 cm，高为4 cm的

3、钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗)，则该钢球的半径为 cm .x2 y27 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 蔦2 = 1(a> 0, b >0)的一条准线与两条渐近线a2 b2恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为则当nx 0 , 时，f(x)的值域为2n若函数f(x)= 2sin( _)( co >0)的最小正周期为n,n9 .若锐角a满足tan( a + ；) = 3tan a+1，贝U tan2 a的值为 x10 .已知函数f (x)=，则不等式f (x 3) + f (2x) > 0的解集为 1 + |x|11 .等差数列an的前n项

4、和记为 Sn .已知a1 + a4 + a7 = 99 , a2 + a5 + a8 = 93，若存在正整数k，使得对任意n N*，都有Sn wSk恒成立，则k的值为 12 .在ABC中，P是边AB的中点，已知CA = 4, CP 士 3 ,/ACB导，则*的值13 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 M : (x a)2 + (y 2a)2 = 4，圆N : (x 2)2 + (y +1) 2= 4 .若圆M上存在一点P,使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆 N有公共点，则 实数a的取值范围为.|2x 1| + 1 , x > 0 ,14.已知函数 f(x) = x3 3x2+ 1 ,

5、 g(x) =1 2若函数 y = g f(x) a 有 6一x2 x, x wo .4个零点(互不相同)，则实数a的取值范围为.、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）已知ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且asi n2 B=” 2bsi nA .（1 ） 求 B的大小;(2 )若 cos C =5，求 sin( A C)的值.南京市2020届高三数学学情调研 第8页共24页（第16题图）16 .（本小题满分14分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AC = BC,

6、 E, F分别为 AB , A1B1的中点.（1 ）求证：AF /平面 B1CE;（2 ）若A1B1丄B1C，求证：平面 B1CE丄平面 ABC .17 .（本小题满分14分）随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔 t （单位：分钟）满足：4 Wt <15 , t N，平均每趟地铁的载客人数p（t）（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：1800 15(9 t)2,4 wt v 9,P =1800 ,9wt W15，其中 t N -(1 )若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔 t的值;(2)若

7、平均每趟地铁每分钟的净收益为Q=6pg?0100 (单位：元)，t问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.18 .(本小题满分16分)点(2,3e)和,3e)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.x2y2如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆a2 +京=b >0)的左、右顶点分别为A，B，(1 )求椭圆的标准方程;(2 )若点C是椭圆上异于左、右顶点的任分别交于点P, Q,求证：OB RQ为定值.QAC19 .(本小题满分16分)已知函数 f (x) = 2ln x + ax2 bx , a, b R.(1 )若曲线y = f (x)在x = 1处的切线

8、为y = 2x 3，求实数a, b的值；(2)若a= 0,且f (x)<2对一切正实数x恒成立，求实数 b的取值范围;(3 )若b = 4，求函数f (x)的单调区间.20 .(本小题满分16分)Sn1已知数列an的首项ai= 2，前n项和为Sn，且数列一是以为公差的等差数列n 2(1)求数列an的通项公式；(2 )设bn= 2nan , n N*，数列bn的前n项和为Tn ,Tn 求证：数列为等比数列；nTm m (Sm + 耳 若存在整数 m , n (m > n > 1)，使得一=，其中入为常数，且 X>-2，求入Tn n(Sn + 入)的所有可能值南京市2020

9、届高三年级学情调研数学附加题2019.09注意事项：1 附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.21 .【选做题】在 A、B、C三小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡.指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 2 :矩阵与变换23已知二阶矩阵A=.2 1(1 )求 A -1;（2 ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C '：x2 3y2= 1，求曲线C的方程B .选修4 4 :坐标

10、系与参数方程x = 41,在平面直角坐标系xOy中，直线1: y = i +汕为参数，a为常数），曲线C：x = 2 + cos 9,y = sin 9（ 9为参数）.若曲线C上的点P到直线1的距离的最大值为3，求a的值.C .选修4 5 :不等式选讲解不等式x2+ 2|x 1| v 6 .南京市 2020 届高三数学学情调研 第 # 页 共 24 页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , PA = AD = 2 ,

11、 E, FD(第22题图)分别为PA , AB的中点，且 DF丄CE.(1 )求AB的长；(2 )求直线CF与平面DEF所成角的正弦值.23 .(本小题满分10分)已知集合A = 1 , 2 , 3 , 4和集合B = 1 , 2 , 3，n，其中n >5 , n N* 从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合 B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用 T表示记X = T S.(1 )当n = 5时，求随机变量 X的概率分布和数学期望 E(X);(2 )求 P(X= n 3).南京市2020届高三数学学情调研 第11页共24页南京市2020届高三年级学情调研、填空题：

12、本大题共数学参考答案及评分标准14小题，每小题5分，计70分.2019.092 .0.0187 .-1 , 210 . （1 ,+ ）11 . 2012 . 613 .-2 , 214 .3（4, 2）二、解答题:本大题共 6小题,共90分.15 .解：（1 ）因为 asin2 B =sin A,Bsin A.由正弦定理= 得 2sin AsinBcosB=" 2sinsin A sin B因为A, B为ZABC的内角，所以si nA工0 , si nB工0 ,22所以cos B=又因为B为ABC的内角，所以0 v B vn.n所以B=4(2 )因为 cosC =,Ce (0 ,5所

13、以 sin C= - 1 cos 2 C=1 -广 = I55南京市2020届高三数学学情调研第12页共24页11分3 nT2C，“ 242一)x5=一 21014分所以 sin2 C= 2sinCcosC= 2二4 ,555cos2 C= 2cos2C 1 = 2 宀 1 一 355n3 n3 n因为B打，所以A + C盲，从而A-C) C =3 n3 n3 n因此 sin( A C) = sin( 2 C) = sin cos2 C cos sin2 C4 44（第16题图）10分14分16 .证明：(1 )在二棱柱 ABC A1B1 Ci 中，AB /Ai Bi, AB = A1B1.因

14、为E, F分别为AB和A1B1的中点，所以 AE/FB1，AE = FB1，所以四边形 AEB1F是平行四边形，所以 AF /EB1. 4 分因为AF平面B1CE, B1E平面B1CE,所以AF /平面B1CE. 7分(2 )因为 AB /A1B1, A1B1 丄 B1C，所以 AB 丄 B1C.在ABC中，因为AC = BC, E为AB的中点,所以AB丄CE.因为 AB 丄 B1C, AB 丄 CE, B1CACE= C, B1C 平面 B1CE, CE 平面 B1CE,所以AB丄平面B1CE. 12分因为AB平面ABC ,所以平面B1CE丄平面ABC .1800 15(9t)2 ,4 &l

15、t;t V 9 ,17 .解：（1 ）因为 p（t）=其中t N1800 ,9 <t <15 ,所以当载客人数不超过1500人时，4 <t V 9 ,此时p(t) = 1800 15(9 t)2随着t的增大而增大.当 t = 4 时，p(4) = 1800 15(9 4)2= 1425 V 1500，符合题意；当 5<t V 9 时，p(t) >p (5) = 1800 15(9 5) 2 = 1560 > 1500，不符合题意.因此，发车时间间隔 t的值为4 . 5分南京市2020届高三数学学情调研 第15页共24页(2 )因为Q = 6匕摯-100 ,t

16、所以当9 <t <15时,6 X1800 7920Q =t2880100 = 100t由于Q的值随着t的增大而减少,故t = 9时Q取得最大值，此时 Qmax = 220 .当4 <t < 9时，Q =血皿10061800 15(9 t)2 792010090t2+1620 t441010049=1520 90(t+)<1520=26049当且仅当t =tt = 7时取得最大值.11分由于 260 > 220 ,t = 7时Q取得最大值.答：当发车时间间隔为 7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大,最大净收益为260元.14分2 2a厂x2y218 .解：

17、(1 )因为(,3e)和(b , - 3e)都在椭圆；+ 2= 1上,2a_xoo1F_b19e2所以一+一 = 14 b2b23e2e214分b2代入得,a xooifc因为e=，其中c2 = a2 b2,a可得 b2 = 3c, a2 = 4c,从而 c2 = a2 b2 = c,解得 c = 1，即 a2= 4 , b2 = 3,一y故椭圆的标准方程为+_= 1 .43(2 )由(1 )可知 A( 2 , 0) , B(2 , 0).解法一：因为C是椭圆上异于A , B的任意一点,所以直线BC的斜率存在且不为0 .设直线BC的方程为y = k(x 2) , k工0 .2 2x2 y2*=

18、 1联立 43 ，消去y，得(3 + 4k2)x2 16 k2x +16 k2 12 = 0 .y = k(x 2)8k2 6解得X = 2或x = k，从而8k2 6C(3 + 4k212 k3 + 4k2).8 k26k因为P是BC的中点，所以P（市,-市）.8k2因为PQ丄BC，所以直线6k1PQ的方程为y -（-）一严h），x化简得 y 一 + 3 * 4k2-2k* 23南京市2020届高三数学学情调研 第17页共24页12 k8 k2 63 + 4 k2由 A（ 2，0），CC，12 k；)，可得直线AC的斜率为 23 + 4k28k2 64k'3 * 4 k2从而直线AC

19、的方程为y =14分x 2k3联立直线PQ, AC的方程，消去y 得-匚+寸一 4k（x + 2）,32 k2+ 18解得x即点Q的横坐标为32 k2 + 183 + 4 k2南京市2020届高三数学学情调研 第18页共24页TT T 32 k2 +188k2因为0B = (2 ,。)，所以TB PQ = 2(石話厂-37莎)=12，16分即OB PQ为定值12 .xo + 2 yo 解法二：设C（xo, yo），其中xo±2 , yo工0 ,则由P是BC的中点，得P（,）.2 2直线AC, BC的斜率均存在且不为 0 ,直线BC的斜率为一xo 2yoxo 2xo + 2因为PQ丄B

20、C ，所以直线PQ的方程为y-2一百（X 丁），即y =xo 2 xo2 4 yo 可匸+2 .yo又直线AC的斜率为xo + 2yo从而直线AC的方程为y =応（X + 2）.联立直线PQ, AC的方程,消去y，得xo 2xo2 4yoyox十十=(x + 2),yo2yo2xo + 2两边同乘以yo,得xo2 _-4 yo2yo2(2 xo)x + c =(x + 2)22 xo + 2xo2yo23xo2由 +43=1，得y°2 = 3 4xo2 43代入化简得(2 xo)x +=_(2 xo)(x + 2).8414分16X0+ 14X0+ 14因为x0松，解得x = 丁，即

21、点Q的横坐标为丁南京市2020届高三数学学情调研 第20页共24页因为 Ob =(2, o)，所以 Ob pq = 2(X0 + 14 X0+ 2)=12，即OB PQ为定值.2ax2 bx + 2 '(x)=19 .解：(1 )由 f (x) = 2ln x + ax + 2ln x2ln x设g (x) =，x>0，则 g'(x)=-二T，由 g '(x) = 0 得 x = 1 .当 0 vxv 1 时，g '(x)>0,当 x> 1 时，g '(x) v0 ,则g (x)在(0 , 1)单调递增，在(1 ,+s)单调递减, bx

22、 ,因为曲线y = f (x)在x = 1处的切线为y = 2x 3,所以 f (1) = a b = 1 , f (1) = 2 a b + 2 = 2 ,解得 a= 1 , b = 2 .(2)因为 a = 0,所以 f (x) = 2l nx bx , x (0 ,+ )；2 + 2ln x 由 f (x) <2 得 2ln x bx <2，即 b >x所以当x = 1时，g (x)有最大值g(1) = 2 .是b >2，即实数b的取值范围为2 ,+ ).(3 )函数f (x)的定义域为(0 ,+),2 ax2 4x + 2(x)=4 x + 2当a= 0时，f

23、(x)=x119分由 f '(x) > 0 得 0 v x<；由 f '(x) v 0 得 x>221 1所以f（X）的增区间为（0,彳），减区间为q, +m）；1 -当av 0时，由f '(x) > 0得0v xv-a1 1 - a；由f (x) v 0得x >a所以f （X）的增区间为（0,1 - . 1 - a1 - . 1 - a1)，减区间为(，+);a11分1 _ V1当0v av 1时，由f '(x)>0,得0 vx v 1 -l 1 - a 1 +71 - a由 f (x)v 0,得vxv :,a所以f （x）

24、的增区间为（0,1 1 - a 1 +1 - a)和(,+-),a1 -y 1 - a 1 +a/ 1 - a 减区间为(，);a13当a>1时，f '（X）>0恒成立，于是f （x）的增区间为（0,+ ），无减区间;综上，当a v 0 时,f （x）的增区间为（0 ,1 1 - a1 1 - a)，减区间为(，aa = 0 时,f （x）的增区间为（0 ,1 12），减区间为q,+）；0 v av 1时，f （x）的增区间为1-、 1-a 1+ 1-a(0 ,)和(，+R),aa减区间为（1 1 - a 1 +、1 - a, )；aa >1 时,f （x）的增区间为

25、（0,+ ），无减区间.16分南京市2020届高三数学学情调研第22页共24页Sn120 解:（1）因为数列n是以2为公差的等差数列，Sn Si 11n + 3n(n + 3)所以一 =_+_(n - 1) = a1+ (n _ 1)= ，即 Sn =. 2分n 12222n(n + 3)(n 1)( n + 2)所以当 n >2 时，an=SnSn-1=2=n +1，又 a1 = 2 = 1 + 1，所以 an= n +1 , n N*. 4 分(2)因为 bn = 2nan = (n + 1)2 n,所以 Tn = 2 X21 + 3 X22 + + (n + 1)2 n,因此 2T

26、n = 2 X22 + 3 X23 + + (n + 1)2 n +1,两式相减，得一 Tn = 2 X21 + 22 + 23 + + 2n (n + 1)2 n +11 2n=2 + 2 x- (n + 1)2 n + 11 2=n +1, 6 分Tn + 1Tnn + 1所以 Tn = n 2n+ 1，因此 一=2n +1，从而 =2 , nTnnTn故数列是以4为首项，2为公比的等比数列. 8分nTm m (Sm + 入)因为 =Tnn( Sn + 入)南京市2020届高三数学学情调研 第24页共24页10分m (m + 3)m + 入m 2m +12所以 TT =n 2n +1 n(

27、n + 3)n+ 入m2 + 3m + 2 入 n2+ 3n + 2 入 即=2m2n ，n2 + 5n + 4 + 2 入 则 f (n + 1) f (n)=n2+ 3n + 2 入n2 n + 4 2 入2n2 n +1n2+ 3n + 2 入2n设 f (n)= 二 ,n N* ,南京市2020届高三数学学情调研 第25页共24页当 n >3 时，一n2 n + 4 2 X<32 3 + 4 2 X= 8 2 X<8 2( 2) = 4 v 0 , 所以当 n >3 时，f (n + 1) vf (n),因此当 m >n >3 时，f (n)>

28、f (m)，与 f (n) = f (m)相矛盾,m 2+ 3m + 2 入 5+ 入又n > 1，于是n = 2 ,所以2 m2 °12分m2+ 3m + 2 入 52+ 3 X5 + 2 入20 +入当m >5时，2口251620 +入5 +入20 7 入-20 7 X( 2)320 +入5 +入又一二=Wv 0 ,即v,16 216168162m2 + 3 m + 2 入 5 + 入 m2 + 3 m + 2 入 5 + 入所以当m >5时，乔v ，与=花相矛盾1432 + 3 X3 + 2 入 5 + 入=3时,23解得入一 1 ;=4时,42 + 3 X4

29、 + 2 入24解得入一 2;16分因此入的所有可能值为一1和一2.南京市 2020 届高三学情调研考试 数学附加题参考答案及评分标准2019 0921 .【选做题】在 A、B、C三小题中只能选做 2题，每小题10分，共20分.A .选修4 2 :矩阵与变换2 3 a b a b 2 3解：（1）解法一：因为 A ，设 A-1，则由 A- 1A E,得1 c d c d 2 1210012a2b 1 ，所以3ab 0， nZk2c2d 0， 2分3cd 1 .1311解得 a=_, b = _, c=_, d44221344从而A 1 =. 4分1122dba bad bc ad bc解法二：

30、因为矩阵(ad bc工0)的逆矩阵为，c dcaad bc ad bc 2分132344又A =，所以A 1 =. 4分2 1 1 12 2(2 )设曲线C上任意一点P(x , y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(x ',y '),x) 23x2x + 3yx)=2x + 3y,贝U=，所以7分y)21y2x + yy)=2x + y.因为(x ',y ')在曲线C'上，所以x)2 3y)2= 1 ,代入得(2x + 3y)2 3(2 x + y)2= 1 ,化简得6y2 8x2 = 1，即曲线C的方程为6y2 8x2 = 1 . 10分B

31、.选修4 4 :坐标系与参数方程解：将直线I的参数方程化为普通方程，得ax 4y = 4，即ax 4y + 4 = 0 . 2分将曲线C的参数方程化为普通方程得(x 2) 2+ y2 = 1 , 4分所以曲线C是以(2 , 0)为圆心，1为半径的圆,|2 a + 4| 所以曲线C上的点P到直线I的距离的最大值为 + 1 . 6分彳 a2 +16又因为曲线C上的点P到直线I的距离的最大值为 3,|2a + 4|22所以.卜 1 = 3，即(a+ 2) = a2 + 16 , 8 分yja2+16所以4a + 4 = 16，解得a = 3 . 10分C .选修4 5:不等式选讲解：当x >1时，原不等式化为 X2 + 2(x 1) v 6 ,即 X2 + 2x 8 v 0,解得一4 v x v 2 , 所以1 wx v 2 ; 4分当x v 1时，原不等式化为 x2 2(x 1) v 6 ,即 x2 2x 4 v 0,