高一数学必修5：等差数列的性质及其应用

1、第2课时等差数列的性质及其应用双基达标限时20分钟1 .已知an为等差数列，a2 + a8=12,则a5等于().A. 4B . 5C. 6D. 7解析 由 a2+a8=2a5= 12得：a5= 6,故选 C.答案 C2 .由公差dw。的等差数列 ai, a2,，an组成一个新的数列ai+a3, a2 + a4, a3+a5,下列说法正确的是().A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为 d的等差数列C.新数列是公差为 2d的等差数列D.新数列是公差为 3d的等差数列解析 (an+l+ an+3) (an+ an + 2)= (an + 1 an)+ (an + 3 an+2)= 2d ,，数

2、列ai+a3, a2+a4, a3+ a5,是公差为2d的等差数列.答案 C 13 .在等差数列an中，右 a2 + a4+a6+a8+ao= 80,则 a72a8 的值为().A. 4B . 6C. 8D. 101a7 2a8=解析 由 a2+a4+a6+a8+a1o= 5a6= 80,1,c 、 1、 1 c2(2a7 a8)2(a6+ a8 a8)2a6 8.答案 C4 .已知an为等差数列，a1 + a3+a5= 105, a2+a4 + a6= 99,则 a20 = 解析 a1 + a3+a5= 105, . 3a3= 105, a3= 35.- a2+ a4+ a6= 3a4= 9

3、9. a4= 33, d = a4 a3= 2.l- a20= a4+ 16d = 33+ 16X( 2)= 1.答案 15 .首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是解析 设 an=- 24+(n 1)d,a9=-24+8d<0由a10=- 24+ 9d>0解得：8<d<3.36 .若三个数a-4, a+2,26 2a适当排列后构成递增等差数列，求 a的值和相应的数歹U.解显然a- 4<a+ 2,(1)若a4, a+2,26 2a成等差数列，则(a-4)+(26-2a)= 2(a+ 2),. .a=6,相应的等差数列为：2,8,14.(

4、2)若a4,26 2a, a + 2成等差数列，则(a 4) + (a+2) =2(262a),. .a=9,相应的等差数列为：5,8,11.若262a, a-4, a+ 2成等差数列，则(26-2a)+(a+2)=2(a- 4),. .a=12,相应的等差数列为：2,8,14.综合提高限时25分钟()A. 3c*D. - V37 .已知数列an为等差数列且 ai + a7+ai3= 4为 则tan(a2+a的值为若在每相邻两项间各插入一个数,()3A.43B- -46C- -7D. 1解析由等差数列的性质得aI+a7+a13= 3a7= 4 兀, . tan(a2 + a2) = tan(2

5、a7) = tan 誓=tan §= - V3 33答案 D8 . (2011本溪高二检测)在等差数列an中,a = 8,a5=2使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为解析设插入的四个数为x,v,z,r,则新的数列为ai,x,a2,y,a3,z,a4,r,a5,共九项，d =a5 ai 2 89 1 834.答案 B9 .如果有穷数列 ai, a2,，am(m为正整数)满足条件：ai = am, a2 = am-i,，am= ai, 则称其为“对称”数列.例如数列i,2,5,2,i与数列8,4,2,4,8者B是“对称”数列.已知在2i项的“对称”数列Cn中Cii, Ci2,，C2i

6、是以i为首项，2为公差的等差数列，则解析 因为Cii, Ci2,，C2i是以I为首项，2为公差的等差数列，所以C20 = Cii+9d=i+ 9X2= i9,又Cn为2i项的对称数列，所以 C2 = C20= i9.答案 i9i,10 .已知方程(x22x+m)(x22x+n)=0的四个根组成一个首项为4的等差数列，则|m-n|解析 由题意设这4个根为J, J+d, J + 2d, J+3d. 4 444一 i ii则4+ j+ 3d =2, .-.d=2,这4个根依次为；,3, 5, 7,4 4 4 4n = "7=4 47_i6'3V5 i5m=4x4/或 n=i5 i6

7、'm=7_i6' 一 . i|m-n|=2.ii.已知等差数列an的首项为ai,公差为d,且aii=- 26, a5i= 54,求ai4的值.你能知道该数列从第几项开始为正数吗?解 法一由等差数列an=ai + (n i)d列方程组:ai+ i0d=- 26,ai+ 50d=54,ai= - 46, 解得d=2.ai4= 46+i3X 2 = 20. an= 46+(ni) 2=2n 48.令 an>0,即 2n-48>0? n>24.从第25项开始，各项为正数.法二 在等差数列an中，根据an = am+(n-m)d,asi= aii + 40d,.d =

8、4o(54 + 26)=2.ai4= aii+3d= 26+ 3X 2= 20.an=aii+ (n ii)d= 26+2(n ii),an=2n48.显然当 n>25 时，an>0.即从第25项开始各项为正数.i2.(创新拓展)已知数列an的通项公式为an = pn2+qn(常数p, qCR).(i)当p和q满足什么条件时，数列 an是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q,数列an+i an都是等差数列.(i)解 设数列an是等差数列，则 an+i an = p(n+ i)2 + q(n+ i) (pn2+qn)= 2pn+p+q,若2pn+p+q是一个与n无关的常数，则 2P = 0,即 p = 0.当p= 0时，数列an是等差数列.(2)证明/ an+i a