新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程导学案

1、第 21 章 一元二次方程教材内容1本单元教学的主要内容。概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题2本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程 、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是 学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容教学目标1知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题2过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型?根据数

2、学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，？导入用配方法解一元二次方程，又 通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a工0)导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公2 2 2式的条件：b -4ac0，b -4ac=0，b -4ac0,即(m-4)2+1丰0不论m取何值，该方程都是一元二次方程.【练习】P2712进一步巩固一元二 次方程的基本概念四、自主总结拓展新知1、a丰0是ax +bx+c-0成为一兀二次方程的必要条件，否则

3、，方程ax +bx+c-0变为bx+c-0,就不是 一兀二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业P28 1 2 5 6 7(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 2 课时一元二次方程(2)学习 目标1、会进行简单的一兀二次方程的试解；理解方程解的概念。2、 会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一兀二次方程解的探索。学习难点一兀二次方程近似解的探索。教学互动设计设计意图、自主学习感受新知【问题1】把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪

4、些是一元二次方程？为什么?2x2+4x+ =0 x2+3x2= x2xx22xy3=0a x2+ bx+c=0二、自主交流探究新知【探究】猜测方程X2- x - 56 = 0的解是什么?【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程 的解，又叫作一元二次方程的根.【问题3】下面哪些数是方程2X2+10X+12=0的根？-4,-3,-2,-1,0，1,2，3,4.【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式， 使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或2、x=-3是一元二次方程2x +10 x+12=0的两根.【问题4】认真

5、观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出 你的理由。x -16=0(x+3)(x-2)=0(X-2)2=49X2-2X+仁25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题.解：X2-16=0X2=16/ x=4 (X-2)2=49 x-2=7/ x=9或x=-5/(x+3)(x-2)=0 x+3=0或x-2=0 x=-3或x=22 x -2x+1=25(X-1)2=25x-1= / x=6或x=-4三、自主应用巩固新知【例1】若x=2是方程ax2 4x - 5 = 0的一个根，你能求出a的值吗？ 【分析】根据根的定义可以知道，

6、若一个数是方程的根， 那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可.解：x=2是方程ax2 4x -5 = 0的一个根4a 8 -5 =0,复习巩固一元二 次方程的相关概 念。探究一元二次方 程根的概念以及 作用.进一步巩固方程 的根的含义.方程的根可以起 到检验的作用一 检验一个数是 否是方程的根.方程的根的另一 个作用一一代入 方程使等号成 立.解之得：3a= .4【例2】右x-1是关于x的一兀二次方程ax+bx+c=O（a0）的一个根，求 代数式2007（a+b+c）的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解

7、决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：x-1是关于x的一兀二次方程ax2+bx+c-0（a工0）的根 a+ b+ c-0 2007（a+b+c）-0【练习】P2812四、自主总结 拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一兀二次方程的根.五、课堂作业P28 3 4 8（课堂内外对应练习）【补充练习】1、 方程x（x-1）-2的两根为【】.A.X1-0,X2-1B.X1-0,X2- -1C.X1-1,x2-2D.X1-1,X2-222、 方程x -81-0的两个根分别是X1-,X2-.3、 已知方程5x2+mx-6-0的一个根是x

8、-3，贝U m的值为2 4、 右一兀二次方程ax +bx+c-0（a丰0）有一个根为1,则a+b+c-:右有一个根是-1,则b与a、c之间的关系为：右有一个根为0,则c-。2 25、如果x-1是方程ax +bx+3-0的一个根，求（a-b）+4ab的值.教学理念/教学反思第 3 课时解一元二次方程一一配方法（1）学习 目标1、使学生会用直接开平方法解一兀二次方程。2、 渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一兀二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一兀二次方程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完

9、10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容. 列出方程后，让设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：210 Wx =1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=5即xi=5，x2=-5可以验证 丄和空是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。学生讨论方程的 解法，由于所列 出的方程形式比 较简单，可以运 用平方根的定义 (即开平方法) 来求出方程的解.二、自主交流探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+

10、9=4?方程(2X-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根 的意义，可将方程变形为2x-1=J5， 即将方程变为2x-1 = J5和2x-1=7亏两个一元一次方程， 从而得到方程(2X-1)2=5的两个解为1 + v51 -爲X1=，X2=。2 2在解上述方程的过程中，实质上是把一个一兀二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程X2+6X+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3J2=4，进行降次，得到x+3=2，方程的根为X1= -1,X2= -5。【归纳】在解一兀二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一兀一 次方程.即，如果方程

11、能化成x2= p或(mx+n)2=p(pO)的形式，那么可得x= 士伤或mx +n = Jp.鼓励学生独立解 决问题，在解决 问题的过程中体 会解简单的一元二次方程的思想“降次”一一把 二次降为一次， 进而解一元一次 方程即可.二、自主应用巩固新知【例1解下列方程：2y2=82(x-8)2=50(2 x-1)2+4=04X2-4X+仁0【分析引导学生观察以上各个方程能否化成x2= p或(mx + n) p(pO)的形式，若能，则可运用直接开平方法解。解：2y2=82(X-8)2=502 2y =4(X-8) =25y=2x-8=二y1=2，y2=-2x-8=5或x-8=-5/ X1= 13，X

12、2= -3(2X-1)2+4=04X2-4X+仁02 2(2 x-1) =-40(2 x-1) =0原方程无解2 x-1=01X1= X2=2帮助学生掌握并 巩固一元二次方 程的解法，同时 通过教师规范的板书引导学生不 仅要会解方程还 要注意正确的解 题格式。【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大 绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？(结果保留一位小数)解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意可列方程：2(15+x)=30015+x=10船即15+X=100)为什么p0?五、课堂作业P42 1(课堂内外对应练习)教学理念

13、/教学反思第 4 课时解一元二次方程一一配方法(2)学习 目标1、会用配方法解数字系数的一兀二次方程。2、 掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点掌握配方法解一兀二次方程。学习难点把一兀二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】填空(1)x2-8x+ 16 =(x-_4-)2； (2)9x2+12x+ 4 =(3x+_2-)2；/ 2(3)x2+px+ 1=(x+“)2.2)_2_【冋题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 12。熟悉完全平方 式。【问题3】要使一块矩形场地

14、的长比宽多6 m,并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m,根据矩形面积为16 m2,得到方 程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0。实例引入，发现 问题。二、自主交流探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x +6x+9=2,可以发现方程x +6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程； 而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得：x2+6x=16两边都加上9即（一），使左边配成x +bx+b的形式，得

15、：22x +6x+9=16+9_左边写成平方形式，得：(X+3)2=25开平方，得：x+3=5(降次)即X+3=5或x+3= -5解一次方程，得：X1=2_,x2=-8【归纳】通过配成完全平方式的形式解一兀二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一兀二次方程转化为两个一兀一次方程二、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程：x2-8x+1=0 x2-4x+1=09x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。在学生解决冋题解：x2-8x+1=0 x2-4x+仁09X2+6X-3=0的过程中，适时移项得：移项得：移项得：让学生

16、讨论解决2 2 2x -8x= -1x -4x= -19x +6x=3遇到的问题（比配方得：配方得：配方得：如遇到二次项系2 2 2x -8x+16= -1 + 16x -4x+4= -1+49x +6x+仁3+1数不是1的情况即(X-4)2=15即(X-2)2=3即(3X+1)2=4该如何处理），然两边开平方得：两边开平方得：两边开平方得：后分析归纳利用x-4= 际x-2= 33x+仁 土2配方法解方程时应该遵循的步X1=4+*15,/X1=2+、3二X1=1,3骤。X2=4一P15x2=2-乜3X2= -1应用提高、拓展【例2如图，在RtACB中，/C=90 ,AC=8 m,CB=6m，点

17、P、Q创新，培养学生同时由A,B?两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都应用意识.是1m/s,?几秒后PCQ?的面积为RtACB面积的一半.【分析】设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形.？根据已A知列出等式.解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半根据题可列方程：|1iiCQ(8-X)(6-X)= X X8X22 22即：x -14x+24=0(x-7)2=25x-7=5二X1=12,X2=2X1=12,X2=2都是原方程的根，但X1=12不合题意，舍去.答：2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半.【练习】P3412(12)四、自主总结 拓

18、展新知左边不是含有X的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有X的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、课堂作业P42 2 3(1 2)(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 5 课时解一元二次方程一一配方法(3)学习 目标1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一兀二次方程。2、 使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握配方法解一兀二次方程。学习难点把一兀二次方程转化为形如(x-a)=b的过程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。QQQQX +

19、6x+=(x+3)x +8x+=(x+)2x2-12x+=(x-)2x2-x+=(x-)25a2+2ab+=(a+)2a2-2ab+=(a-)2【冋题2】解下列方程：X -4x+7=02x -8x+仁0复习相关内容，实行知识储备。复习基本方法，逐步加深难度。、自主交流 探究新知【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗?2 23x-6x + 4 = 0;2X+I=3X(2X-1)(X+3)=5.【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边

20、同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元 .次方程化为两个一元一次方程来解.三、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程:(1)X(2X-5)=4X-10X2+5X+7=3X+11【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？解：设绿地的宽是X米，则长是(x+10)米，根据题意得：X(X+10)=900.整理得X210 x = 900,教师书写完整的 解题过程，给学 生以示范作用。在直接开平方时 强调符号，这是 易错之处。主体探究、归纳 配方法一般过程.

21、应用提高、拓展 创新，培养学生 应用意识.配方得(x+5)2=925.解得N =-5 + 5y/37, x2= 55737 .由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是-5 + 5J37米，于是绿地的长是5+5米.【练习】P342四、自主总结拓展新知(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个 一元一次方程来解.(6)如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程

22、无解。五、课堂作业P42 3(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 6 课时解一元二次方程一一公式法(1)学习 目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、 会用公式法解简单系数的一元二次方程。学习重点求根公式的推导和公式法的应用。学习难点一兀二次方程求根公式法的推导。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题】用配方法解方程：X +3x+2=02x -3x+5=0学生板演，复习 旧知二、自主交流探究新知【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0(0)【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。解：移项，

23、得：ax2+bx=-c因为0,所以方程两边同除以a得:2b cx + X=-a a2bb)2c配己方，得：x + x+()=-+a2a a即(x+)2a2b2-4ac4a220 4a202当b -4ac0时,b2-4ac04a2.x+b=b4ac2a2a即x=-b二b?-4ac2a-b + Jb2_4ac二xi=2a2a由上可知, 而定，因此：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0(0)的根由方程的系数a、b、c元二次方程时，可以先将方程化为一般形式b -4ac0时，？将a、b、c代入式子2ax +bx+c=O，当x=y他他(b2-4ac0)2a就可求出方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方

24、程的 求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。 式子b2-4ac0是公式的一部分。三、自主应用 巩固新知例】用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)X2+1.5=-3X(3) x2八2x+【分析】用公式法解一元二次方程， 需先确定a、 的值、最后代入求根公式求解.解：12=0(4)4x -3x+2=02b、c的值、再算出b2-4ac解有些二次项系 数是具体数字的 方程不必写。配方时方程两边 同加上一次项系 数一半的平方

25、。配方到这一步， 两边要进行开平 方运算。被开方 数必须是非负数。所以，要对析。通过解方程发现 归纳一元二次方 程的求根公式.主体探究、探究 利用公式法解一 元二次方程的一 般方法，进一步 理解求根公式.【说明】(1) 一兀二次方程ax2+bx+c-0(a工0)的根是由一兀二次方程 的系数a、b、c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入x-b-4ac(b2-4ac0)中，可求得2a方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一兀二次方程最多有两个实数根.【练习】P371四、自主总结 拓展新知1、求根公式的推导过程；2、 用公式法解

26、一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后 代入求根公式求解.五、课堂作业P42 5(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 7 课时解一元二次方程一一公式法(2)使学生能用=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。从具体题目来推出一兀二次方程ax2+bx+c=0(0)的=b2-4ac的情况与根的情况的关系。设计意图、自主学习 感受新知【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论?学习重点学习难点2x2-3x=03x2-2、3x+仁04X2+X+ 1=0方程b2-4ac的值b -4ac的符号x1x2的关系

27、(填相等、不等或不存在)2x2-3x-090不相等3x2-2 Sx+1-00-0相等4X2+X+1-0-150不存在况。证明你的猜想。学生在思考的基础上分组讨、自主交流 探究新知【探究】根据问题填写下表:【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情2 _元二次方程ax +bx+c=0(a0有两个相等实数根即Xj=x2= -a当= b2-4ac0的解集(用含a的式子表示)【分析】要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判 定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根， 即(-2a)-4(a-2) (a+1)0(0时

28、，根据平方根的意义，2a2b , b- 4acib2-4ac等于一个具体数，所以一元一次方程的xi=丰2axi= -4ac，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，？根据平方根的2a意义&2-4ac=0，所以xi=x2=b，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0?有两个论，利用一元 二次方程的知 识解决上述问 题，同时熟悉一元二次方程 的两种解法一 公式法和配 方法，进一步体会一元二次 方程的根与b -4ac的关系.不相等实数根即-bb2-4acxi=-2a b - b -4acX2=-：-当=b2-4ac=0时,ax2+ bx+ c=0(aO)?没有

29、实数根。解：关于x的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数根.2 2 2/(-2a)-4(a-2) (a+1)=4a -4a +4a+80a0即ax-3xa所求不等式的解集为x0-兀二次方程ax+bx+c-0(a工0有两个不相等的头根；/b -4ac =0 -兀二次方程ax +bx+c=0(a工0有两个相等的头根；/b-4ac0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和一一比前面有负号，两个根的积一一比前面没有负号。五、课堂作业P43 7（课堂内外对应练习）教学理念I教学反思第 10 课时一元二次方程的根与系数的关系（2）学习 目标1、熟练掌握一兀二次方程根与系数的关

30、系；2、 灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.学习重点一兀二次方程根与系数关系的应用.学习难点某些代数式的变形.教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】若 元二次方程x +10X+16=0的两根是X1、X2,则Xi+ X2=；X1? X2=【冋题2】关于X的方程2x2+kX 4 10的一个根是2,则方程的另一根是；k=。【问题3】甲乙同时解方程x2+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2、7,乙抄错了常数项， 得两根为3、-10。则p=,q=。【问题4】以-3和5为根的一兀二次方程是。通过巩固练习，及 时巩固定理，

31、再 次体会一元二次 方程的根与系数的关系，培养思 维的灵活性。二、自主交流探究新知【例1】X1、X2是方程2x2- 3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代 数式的值：2 2 | 2 2(1)x1+x2(2)x1- x2(3)x1+ 3X2- 3X22221解：(1)X1+X2=(X1+X2) 2X1X2=74(2)一X2=J(X1+X2)24X1X2=3*2 2 21 1(3)原式=(x1+x2)+(2X2-3X2)=7+5=12 44【例2】若一元二次方程x2+ax+2=0的两根满足：xj+X22=12,求a的 值。考察学生灵活运 用知识解决问题 能力，让学生感 受到根与系数的关系在解题中

32、的 运用，同时也考 察学生思维的严_ _ 212【例3】已知关于x的方程x _(k T)x k T =0，且方程两实根4的积为5,求k的值.解：方程两实根的积为f2A=-(k+1)XiX2=1 2 3 4 5 6+1所以，当k = 4时，：【例4】已知关于x的一元二次方程x2+ 2(k1)x + k2-1 = 0有两个 不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是， 请说明理由.【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，？又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力.解：(1)= 2(k1)24(k21)=4k28

33、k + 44k2+ 4 =8k + 8.原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80,解得kv 1,即实数k的取值范围是kv 1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得02+ 2(k1)-0 + k21 = 0,解得k =1或k = 1(舍去).即当k =1时，0就为原方程的一个根.此时，原方程变为x24x = 0，解得 冷=0,X2= 4，所以它的另一个根是4.三、自主演练巩固新知22方程(2x1) (3x+1)=x +2化为一般形式为 _，其中a=_,b=_,c=_.2 23关于x的一元二次方程mx+ nx+m+3m=0有一个根为零，则m的值等于.2 24关于x的一元二次方程x +mx+n=

34、0的两个根为X1=1,x2=2，则x +mx+ n分解因式的结果 是_.5关于x的一元二次方程2x23xa2+仁0的一个根为2,贝U a的值是()A.1B.3C. 3D. 36若关于x的一元二次方程(m1)x2+5x+m23m+2=0的常数项为0,则m的值等于()密性，根据情况 可再进一步变式，如两根互为 相反数；两根的 倒数和等于2等。根据一元二次方 程两实根满足的 条件，求待定字 母的值，务必要 注意方程有两实 根的条件，即所 求的字母应满足 一0._4k2+1）启 04= k四、课堂作业(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 11 课时 实际问题与一元二次方程（1）学习 目标1、会根据

35、具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问题和利润问题）中的数 量关系列一元二次方程并求解。2、 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。学习重点列一兀二次方程解决实际问题。学习难点找出实际问题中的等量关系。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，开始有一人患了患流感， 第一轮的传染源就是这个人， 他传染了x个人， 用代数式表示第一轮后，共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示，第二轮

36、后，共有人患流感。根据等量关系列方程：解这个方程得：平均一个人传染了个人。如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有人患流感。使学生充分体会 传播冋题，培养 学生对传播问题 的解题能力。二、自主应用巩固新知【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【分析】设每个支干长出x个小分支。则主干上长出x个分支，x个分 支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。 依题意可列方程：1+x+x2=91解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：21+x+x =91解这个方程，得： X1=

37、9x2=-10（负根不合题意，合去）答：每个支干长出9个小分支。【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。【分析】设原来的两位数的个位数字为x,则十位数字为(6-x),则原两位数为10(6-x)+x，新两位数为10 x+(6-x)。依题意可列方程：10(6-x)+x 10 x+(6-x)=1008解： xi=2 x2=4【例3】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，？据市场分 析，？若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售 量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：(1)

38、当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润.(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式.(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达 到8000元，销售单价应为多少？【分析】(1)销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5X10kg.(2)销售利润y-(销售单价x-销售成本40)X销售量500-10(x-50)10000(3)月销售成本不超过-10000元，那么销售量就不超过250kg,40在这个提前下，？求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少.解：(1)销售量:500-5X10-450(kg);销售利润

39、：450X(55-40)-450X15-6750元2(2)y-(x-40)500-10(x-50)-10 x +1400 x-40000(3) 由于水产品不超过10000-40-250kg,定价为x元，贝(x-400) 500-10(x-50)-8000解得：X1-80,x2-60当X1-80时，进货500-10(80-50)-200kg250kg,(舍去).二、自主总结 拓展新知1、列一兀一次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实 际意义。2、对于数字问题应注意数字的位置值。四、课堂作业P45 2 3 5 6(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第 12 课时 实

40、际问题与一元二次方程（2）学习 目标1、 会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一兀 二次方程并求解。2、 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。学习重点如何解决增长率与降低率问题。学习难点解决增长率与降低率问题的公式a（1x）n-b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元， 平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为X,则11月份的营业额为50

41、00（1+x）元，12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x） 元。 由此就可列方程：5000（1+x）2=7200【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。增长率=增长数：基准数设基准数为a,增长率为x,则一月（或一年）后产量为a（1+x）；2二月（或二年）后产量为a（1+x）；n月（或n年）后产量为a（1 + x）；如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：M= a（1+x）n二、自主应用巩固新知【例1两年前生产1吨甲种药品的成本是5000兀，生产1吨乙种药品 的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产

42、1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率 较大？【分析甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）:2=1000（兀）乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）:2=1200（元）乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率。若设甲种药品平均下降率为X,则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。对甲种药品而言根据等量关系列方程为：解这个方程得：甲种药品成本的年平均下降率为。同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率

43、较大。思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大， 应比较降前及降后的价格。【例2】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的 禾y率不变，至y期后本金和利息共1320兀，求这种存款方式的年利率.【分析】设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000兀取1000兀，剩 下的本金和利息是1000+2000 x -80%;第二次存，本金就变为1000+2000 x -80%,

44、其它依此类推.解：设这种存款方式的年利率为x贝U:1000+2000X-80%+（1000+2000X-8%）x-80%=1320整理，得：1280 x +800 x+1600 x=320，即8x +15x-2=0入1解得：X1=-2（不符，舍去），x2= - =0.125=12.5%8答：所求的年利率是12.5%.二、自主总结拓展新知1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实 际意义。2、 若平均增长（降低）率为x,增长（或降低）前的基数是a,增长（或降低）n次后的量是b，则有：a（1x）n=b（常见n=2）。四、课堂作业P48 7（课堂内外对应练习）教

45、学理念/教学反思第 13 课时 实际问题与一元二次方程（3）1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问 题.根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实 际问题.根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.设计意图、自主交流探究新知【问题1】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬 的宽度（精确到0.1 cm）.【分

46、析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27:21=9:7,?由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为若设上、下边衬的宽均为9xcm,?则左、右边衬的宽均为fem,依题意，得: 中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.1因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的1,则中央矩形的面积是封433面面积的 一.所以(27-18x) (21-14X)二一X27X21442整理，得：16x-48x+9=0 解方程，得:x=6,4X12.8cm X20.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm,7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8c m,左、右边衬的宽均为

47、1.4cm.【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm。依题意得39x 7x =泊 27 214解方程，得:学习重点学习难点Xi3、3TX2宽I33（不合题意,舍去）23 丁 327 _9x27_9汇 少54_27S3故上下边衬的宽度为：29=254 27 323 丁 3-在某些解法中， 利用图形变换简 化数量关系是解 决图形有关问题 的一种重要手 段.使学生体会列方 程与解方程的完 整结合，通过多 种方法解得相同 结论，验证多种 方法的正确性； 通过解题过程的 对比，体会对已知数量关系的适 当变形对解题的 影响， 丰富解题 经验.21 _7x21_7汇 少 42_21 吋 3左右边

48、衬的宽度为：217=2二42 213,. 1.4二、自主应用 巩固新知【例1】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3:2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？【分析】若设小路的横路宽为3xm,则纵路宽为2 xm,我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把 纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为（32-4x）（20-6x）m,又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：3（32 -4x）（2

49、0 -6x）32204解：【例2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2,?上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m.（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？【分析】 因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,?渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模.解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m,上口宽为（x+2）m1依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.62整理，得：5x2+6x-8=04解得：X1=0.8m,X2=-2（舍）5上口宽为2.8m，渠底为1.2m.三

50、、 自主总结 拓展新知本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决 实际问题.四、 课堂作业P48 8（课堂内外对应练习） 教学理念/教学反思第 14-15 课时 一元二次方程小结与复习学习 目标1、一元二次方程的相关概念；2、 灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一兀二次方程；(2)1.6 75048=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.使学生熟悉问题1中的解题思想, 在数量关系中做 进一步的分析， 然后引导学生针 对图形作进一步 的探究.3、 能运用一兀二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、

51、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、 构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点运用知识、技能解决问题。学习难点解题分析能力的提高.教学互动设计一、知识梳理1、 一元二次方程的概念：等号两边都是 整式，只含有 一个求知数(一元)，并且求知数 的最高次数是2(二次)的方程，叫做一兀二次方程。2、 兀二次方程的 般形式疋：ax+bx+c=O(aM0,)其中ax疋二次项，a疋二次项系数，bx是一次项，L是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法： 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法4、 兀二次方程ax +bx+c=0(a丰0的根的判别式是= b -4ac,当0时，方程

52、有两个不相 等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，一兀二次方程ax +bx+c-0(a0的求根公式为x-;右2a2bc兀一次力程ax+bx+c=0(a丰0的两根为Xi、x2，贝Vxi+x2=-，xi?x2=。aa右 兀二次方程x+px+q=0的两根为x1、x,，贝：xi+X2= -p，xi?X2= q。6、 一兀二次方程的应用。二、基本知识训练1、 下列方程中是关于x的一元二次方程的是【C】212 2 2A.x+ =0 B.ax +bx+c = 0c.(x1)(x + 2)=1D.3x 2xy5y =0 x2、 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米

53、，设花圃的宽为2x米，则可列方程为x(x+10)200，化为一般形式为x +10X-200-0。23、 已知1是关于x的一元二次方程(m-1)x +x+1=0的一个根，则m的值是【B】A.1 B. -1 C.0D.无法确定4、 咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元.连续两年增长后，2011年平均房价达到每 平方米2420兀，设这两年平均房价年平均增长率为X，依题意可列方程为2000(1+x)2=2420此方程话宜用直接开平方法解。5、 用配方法解关于x的一元二次方程x22x 3=0,配方后的方程可以是【A】2 2 2 2A. (x-1)=4B. (x+1)=4C. (x-1)=16D.

54、 (x+1)=166、 若一兀二次方程x +2x+m-0有实数解，则m的取值范围是【B】1A.m兰-1B.m兰1C.m兰4D. mW 27、 下列一兀二次方程两实数根和为-4的是【D】2 2 2 2A.x +2x-4=0B.x -4x+4=0 C.x +4x+10=0D.x +4x-5=0115&已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，贝V-。m n 3三、典型例题分析【例1】用适当的方法解下列方程：x2-4x+2=0(x 1)(x -1) 2(x 3)=8 x2_2x =2x 1解：x=2二2:X1=1,X2=-3:x=2二5。x 35【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8=0的根，

55、求代数式 一2亠(X 2 -)的值.3x-6xx 23x(x 3)2又X +2x-8=0,X1=-4,X2=2,3x( x 3)12【例3关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(X1+X2)+ X1X2+10=0,求m的值.解：(1)原方程有两个实数根，=9-4( m-1)0,13解之得：mW.4(2)由一元二次方程的根与系数的关系可知：.2X(-3)+ ( m-1)+10=0解之得：m=-3.【例4如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=p,X1x2=q.请根据以上结论，解决下列问题：x的方程x2+mx

56、+n=0 (n丰0),求出一个一元二次方程，使它的两根别是已x 35解：T飞- (x2 -)=3x 6xx-23x(x2)x-3X2-9 x-3x -2X-2=3x(x-2) (x 3)(x-3)但当x=2时原式无意义，故当x=-4时原式=(1)已知关于 知方程两根的倒数；(2)已知a、b满足a215a5=0,b215b5=0，求a+b的值；b a求正数c的最小值.b、c均为实数，且a+b+c=0,abc=16,(3)已知a、解：(1)设x2+mx+n=0 (n0)的两根为X1,X2.1.1 X1X2- F =-XX2X1X2二x1+x2=m,X1x2=n.所求一元二次方程为x2+(2)当az

57、b时，由题意知a+b=15,ab=5.+ =0，即nx2+mx+1=0.n na,b是一元二次方程x215x5=0的两根,X!+X2=-3,XiX2= m-1,6、已知关于x的1,写出一个符合条件的方程:如x2=1等a+b=47或2.b符合题目要求的是 兀=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%。(2)小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为：3.2 0.9 5000 =14400(元)方案二所需费用为：3.2 5000 -200 5 =15000(元)/ 14400 0,.C3%4.C4.c的最小值为4.【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克c24 160.c5元的单价对外

58、批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，克3.2元的单价对外批发销售。(1)求平均每次下调的百分率；(2) 小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元。 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：(1)设平均每次下调的百分率为x,5(1 -x)2=3.2解这个方程，得x1= 0.2,x2=1.8因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,减少损失，对价格经过两次下调后，以每千因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:依题意可列方程:4、关于5、方程原式=a-2一一(a 1)(a-1)-(2a-1)a

59、21= a2_：_a22a=_a二2_a2-1a 1 (a 1)(a -1) a(a -2) a是方程x2-x =6的根，a2-a =6原式=一1_=a2-a62 2已知关于X的一元二次方程(k-2) x+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根2 2 2(k-2)MQ且厶=(2k+1) -4(k-2) X1=20k-1603口k 且kM2413、已知X2是方程2X2+14X16=0的两实数根，求 电+互 的值.XX27、如果方程ax +2X+仁0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是av1且aQ2 _&已知aB是

60、一元二次方程X -4X-3=0的两实数根，则代数式(a-3) (3-3)= -6.29、 若关于x的方程ax +2(a+2)x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a-110、用适当的方法解下列方程：X -2x-3=0 x(x-2)+ x-2=0(X、解:xi=-1,X2=3；Xi=-1,X2=2;23(x+1)(x-1)+2(x+3)=8x -3x-仁0/、3用X2=-3:X =2X1=1,11、先化简，再求值：a -2, 2a -1a2-1a 1，其中a是方程_x =6的根.解:12、围。解:X1+X2=-(m+3),X1X2=m+1, v |x-x2222(X1+X2) -4X1X2=