(完整word版)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题,推荐文档

1、高中数学基本不等式的巧用 a + b1基本不等式：_abw亍(1) 基本不等式成立的条件：a>0, b> 0.(2) 等号成立的条件：当且仅当时取等号.2. 几个重要的不等式b aa + b(1)a2+ b2>2ab(a, b R)； (2) +->2(a, b 同号)；(3)ab<2(a, b R)；a b2a + ba+ b 22(a, b R).3. 算术平均数与几何平均数a + b, 设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为厂，几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问

2、题已知x>0, y>0,贝U(1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时，x+ y有最小值是2 . p.(简记：积定和最小)(2) 如果和x+y是定值p,那么当且仅当xy时，xy有最大值是牙.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用.，例如a2+ b2>2ab逆用就是a2 + b2 a + ba + bab<三二芦仝乂莎但,b>Q逆用就是abW.2(a, b> 0)等.还要注意“添、拆项” 技巧.和公式等号成立的条件等:两个变形a2 + b2a+ b(1) 2 b二 2之ab(a_,b£一R，.当且仅当a

3、.= b时取.等号)；.> (a > 0, b> Q,当且仅当一 a 三 b 一时取 等号.).v 二土匸a b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们个注意3(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”.“拼“凑等技巧，-使其满足基本不等式中 正”：定”“等”的条件.:(3) 连续使用公式时取等号的条件很严格一，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致,一一应用一：求最值例1 ：求下列函数的值域(i) y= 3x 2+彩1(2)y= x+ xz.解题技

4、巧： 技巧一：凑项例1 ：已知x5，求函数y 4x 2 的最大值。44x 5技巧二：凑系数例1当I 1二时，求y x(82x)的最大值。技巧三：分离2x 7x 10例3.求y (x1)的值域。x 1技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况,应结合函数af (x) x 的单调性。x例：求函数y -X 5=的值域。x2 4练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值(1) yx 3x 1,(x 0)(2)y2x1,xx 33(3)y12sinx ,x (0,)sin x2.已知0x 1,求函数y x(1 x)的最大值2x，求函数3y . x(2 3x)的最大值.条

5、件求最值1.若实数满足aabb 2，则33的最小值是变式：若log 4 x技巧六：整体代换:1 1log4y 2，求的最小值并求x,y的值x y多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0, y 0,且1,求x y的最小值。x y变式：(1)若x, y R且2x y 1，求1丄的最小值x y已知a,b, x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + 2 = i,求x. 1 + y 2的最大值.1技巧八：已知a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数y=乔 的最小值技巧九、取平方5、已知x, y为正

6、实数，3x+ 2y = 10,求函数 W 3x + 2y的最值. 应用二：利用基本不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:2 ab22 cab bc ca1)正数a, b, c满足a+ b+ c = 1，求证：(1 - a)(1-b)(1-c)> 8abc例 6 :已知 a、b、c R，且 a b c 1。求证：1 1111 1 8abc应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式 x y m恒成立的实数 m的取值范围。x y应用四：均值定理在比较大小中的应用： 1a b例：若 a b 1,P. lgalgb,Q (lg a Ig b),

7、 R lg( )，则 P,Q,R的大小关系是2 2解:(1) y= 3x 2 + 2-2 > 23x 2 2 = Q6 值域为Q6 ,(2)当 x>0 时，y= x +1 >2/x 1= 2;+8)4当 XV0 时，y= x+ 1 =-(-x+ 8)2解：因4x 50,所以首先要“调整”符号，又(4x2)化 不是常数,所以对4x 2要进行拆、凑项,Q x 5, 5 4x 0，4y 4x 214x 55 4x15 4x当且仅当5 4x，即x 1时，上式等号成立，故当5 4xx 1 时，ymax 1。值域为(g,2 U 2 ,10评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其

8、积为定值。解析：由I . 匕知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。=当，即x= 2时取等号 当x= 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项，再将其分离。/ +7x+10JTh土沁口十+ 1)A + 1当1 ,即，_ 1 I时，y59 (当且仅当x = 1时取“=”号)解析二：本题看似无法运用基本不

9、等式，可先换元，令t =x+ 1，化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 _t2 5t 4 t= t当,即t = 时，y59 (当t=2即x = 1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)Ag(x)B(A 0,B0) , g( x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。因为t(t2)，则x2 5.x24t 1(t 2) x2 4 丿10,t -t1y t -在区间t-解得t t1,所以，所求函数的值域为分析：“和”到“积”1不在区间2,单调递增，所以在其子区间52个缩小的过程，而

10、且 3a，故等号不成立，考虑单调性。2,为单调递增函数，故y I。3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正数，3a 3b > 2 3a 3b 2、3ab 6当3a3b时等号成立，由2及3a3b得aa1即当a b 1时，33的最小值是6.错解：Q x 0, y 0 ,且1x9错因：解法中两次连用基本不等式，在2 xy等号成立条件是x y，在丄xy 2朋为12故19条件是即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Qx0,y 0,1 -x y9x10 6

11、10 16 y当且仅当yx弐 时，上式等号成立，又y1,可得4, y 12 时，xy min16 。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式即 x 1 + y 2 =2 x=x、F?这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,，再用单调因已知条=-2 (t + ¥ )+ 34V t + ¥ > 2/t 半 =82分析：性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。30 2b30 2b 2法一：a=，ab=b=_由 a> 0 得，0v b< 1522t + 34t 31令 t =

12、 b+1, 1< t < 16, ab=一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式2b + 30b b+ 1二 ab< 18法二：由已知得：令u= 'Jab则 . ab w 3 2 ,1 y >1830 ab= a+2bv当且仅当t = 4,即b= 3, a= 6时，等号成立。u2+ 2 , 2 u 30 w 0, 1 abw 18,. y >18a + 2b> 2 2 ab- 30 ab> 2 2 ab5 2 w u w 3 2a b 点评：本题考查不等式ab ( a,b R

13、)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等r a b式 一2变式：1.已知a>0, b>0, ab (a+ b) = 1，求a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。.ab (a,b R ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+ b2w苇匕，本题很简单3x + 2y w 2( 3x ) 2+( 2y ) 2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数

14、式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W 0,W= 3x+ 2y + 23x2y= 10+ 23x2y w 10+ (3x ) 2 (2y )2 = 10+ (3x+ 2y) = 20.WW 20 = 2.5求函数y 2x1 52xx 5)的最大值。2 2注意到2x 1与 5 2x的和为定值。2=,23x + 2y = 2 5变式:解析:2y(2x 1.5又y 0,2x)24 2 (2x 1)(52x)4(2x 1)(5 2x)8y 2、.232x，即x时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“L_bc，可由此变形入手。a当且仅当2x解:Q a、b、所以01=