一元二次方程根的分布练习及答案

1、一元二次万程根的分布一.一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次 方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大， 一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2 bx c 0 ( a【定理11 xi 0 , X20 (两个正根)2b 4ac推论：X1 0 , x2 0 a 0f(0) c 0b 0上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】若一元二次方程(m 1)x2取值范围。0)的两个实根为xi , x2 ,且xix22_b 4ac 0b )x i x20ac -xix20a20 b 4ac 0或a

2、 0f (0) c 0b 02(m 1)x m 0有两个正根，求m的24(m 1) 4m(m 1) 0分析：依题意有2(m 1)m 10m 3)5【定理3 x1 0 x2- 0a【例3】k在何范围内取值，一元二次方程 一个负根分析：依题意有0 k 3【定理4】 xi 0 , X2 0 c 0且b 0;ab .x10, x2 0 c 0且一0。a【例4】若一元二次方程kx2 (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正 根还是负根分析：由已知k 3=0,. k=3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。二.一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0)的两

3、实根为x1, x2，且x1 x20k 为常数。则一元二次方程根的k分布(即, x2相对于k的位置)有以下若干定【定理U kxix2b2 4acaf (k) 0B k 2a【定理2】xix2【定理3】推论i xi推论2 xixi0ix2X2【定理4】有且仅有x2aca(aki xib2 af (k) b 2a af (k) 0 o4ac00ob c) 0(或 *2 )k2f(ki)f(k2)【定理5】k1xik2 Pix2P2a 0 f(ki) fg f (Pi) f (P2)00或000a 0 f(ki) f(k2) f (Pi) f (P2)0000此定理可直接由定理4推出，请读者自证。【定

4、理6】k1xix2 k2b2a 0 f (ki) f(k2)4acb204acki00b2ak2f(ki)f(k2)ki00b2ak2三、例题与练习【例5】已知方程围。(i2 m多iixm 2 0的两实根都大于i,求m的取值范(2)若一兀二次方程mx2 (m 1)x 3 0的两个实根都大于-1 ,求m的取值范 围。(m 2 或 m 5 2 J6 )(3)若一元二次方程mx2 (m 1)x 3。的两实根都小于2,求m的取值范围。,1 ,(m或m 5 2*,6 )2【例6】 已知方程x2 2mx 2m2 3 0有一根大于2,另一根比2小，求m的取值范围。(1至m 11)22(2)已知方程x2 (m

5、 2)x 2m 1 0有一实根在0和1之间，求m的取值范围。(12m 2)3(3)已知方程x2 (m 2)x 2m1 0的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根(4)若方程x2 (k围。(5)若方程x2 (k(不可能；1m 2)22)x k 0的两实根均在区间(1、1)内，求k的取值范(4 273 k -)22)x 2k 1 0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。(6)已知关于x的方程(m 1)x201,求m的取值范围。(工2 2mx(-)3m6 0的两根为、且满足V7 或 2 m V7 )0 m 1【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+

6、2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图， 然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 内，画出示意图，得f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1, 0)和(12)f(0) f( 1) f(1) f(2)2m24m6m1 0, 250,0,02R,1f (0) 0,(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1

7、)内，列不等式组f(1) 0,0,1 m , 2m 1(这里0m1是因为对称轴x= m应在区间(0, 1)内通过)2，m 1 . 2或m 1 . 2,1 m 0.mo：1.若方程4x (m 3)?2x m 0有两个不相同的实根，求m的取值范围。提示：令2x = t转化为关于0m 12.若关于x的方程lg(x2 的取值范围。2提示：原方程等价于 x2x令 f(x) =x2+12x+6a+3t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：20x) lg(8x 6a 3) 0有唯一的实根，求实数20x 0口h x 20或x 0即20x 8x 6a 3x2 12x 6a 3 011(1)右抛物线 y = f

8、 (x)与 x 轴相切，有/ =1444(6a +3)=0 即 a =。将a = U代入式有x= 6不满足式，一. a211*O2(2)若抛物线y = f (x)与x轴相交，注意到其对 称轴为x=6,故交点的横坐标有且仅有 一个满足式的充要条件是f(20)0解得唾a Lf(0) 062当度 a1时原方程有唯一解。62另法：原方程等价于 x2+20x=8x 6a 3(x0) 问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8 x 6a 3 与抛物线 y = x2 +20 x(x0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为x2+12 x+3= -6a(x0),再在同一 坐标系中分别也作出抛物线y= x2+12 x+3和直线y = -6a ,如图，显然当36a0163即 a。时直线y = 6a与抛物线有且只有一个公共点。623.已知 f(x) =(x-a)(x- b)-2(ab)