专题3抛物线与几何变换

1、专题讲解一、抛物线的平移（1）具体步骤：先利用配方法将二次函数化成（x-A） ?+A的形式， 确定其顶点（力，幻，然后作出二次函数尸6的图象， 将抛物线外西平移，使其顶点平移到（力，k）.具体平 移方法如图所示：点记为M它的对称轴于X轴的交点记为从（1）求抛物线C的表达式；（2）求点照的坐标：（3将抛物线C平移到,抛物线Cf的顶点记为， 它的对称轴于“轴的交点记为押,.如果以点MM M,、N，为顶点的四边形是面积为16的平行四边形, 那么应将他物线。怎样平移为什么（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右城”.二、抛物线的对称二次函数图象的对称一般有五种情况：关于X轴对称：尸病+。关于X轴对称

2、后，得到的解析式是尸一&f -bx- C,.外6（X力）'+A关于X轴对称后9得到的解 析式是外一&（X一力）'一.关于y轴对称：叶+历r+c关于y轴对称后，舜到的解析式是外ar. 一 bx+c：片a（4一力）:+关于y轴对称后，得到的解析 式是y-a（x+力）斗氏关于原点对称：产翁+6Hc关于原点对称后，得到的解析式是尸一好 + Axc;片& Qlh） '+A关于原点对称后，得到的解 析式是六一8 （x+A） -k关于顶点对称：外介+ W+c关于顶点对称后，得到的解析式是y = _ax2法+。一二；厂a（X一力）斗女关于顶点对 2a称后，程到的

3、解析式是），=一。"一万+攵.关于点（加，加对称：y = a（x-h）2 +k关于点（】，）对称后，得到的解析 式是 y = -4（工 + 力-2。- + 2口 一 k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抱物线的 形状一定不会发生变化，因此同永远不变.典型例，【提示】根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条 件，需要分类讨论.【感悟】L二次项系数的不变性.掘物线平移中，二次 函数中二次项系数是不变的：2、以点带线.顶点的平移 方向和平移距杰就是抛物线平移的方向和距离，反之， 亦然：3、顶点式的应用，是解答微物线平移的常用公 式.既做到由顶点坐标求解析式，又做到能由解析式求 出顶

4、点坐标.【例2】（2013河北省）如图，一段抱物线：外一x（x -3） （0Wt3）,记为C,它与x轴交于点0, 4：将Q 绕点4旋转180。得C,交x轴于点4：将C绕点4旋 转180。得乙,交x轴于点4：如此进行下去，直至得【提示】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规1（2014*陕西）巳知抛物线C： y = 一工2+bx + c经过4（-3, 0）和6（0, 3）两点.将这条抛物线的顶律得出平移后解析式，进而求出o的值.【方法总结】旋转前后的图形大小与形状都没发生变化.小试身手1.（ 2014>浙江宁波）巳知点4 （&-26, 24£6）在 抛物线外f+4x+

5、10上，则点/关于抱物线对称轴的对 称点坐标为（）A. （-3, 7）B. （- 1, 7）C. （一4, 10）D. （0, 10）2. 2012陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线六f一，一6向上（不）或向左（右）平移m个单位，使27 移后的抛物线裕好经过原点，则Im的最小值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 63,（2014山东临沂）在平面直角坐标系中，函数y = V - 2a（x 2 0）的图象为CG关于原点对称的图象为则直线y = a （a为常数）与C，G的交点共有（）A.1个B. 1个或2个C. 1个或2个或3个 D. 1个或2个或3个或4个4. （）如图，抛物线勿：尸&am

6、p;r - b（a<0, 2>>0）与 x轴于点4 6（点4在点8的左侧），与y轴交于点C将 抛物线少绕点6旋转180。，得到新的拗物线，它的顶 点为C,与x轴的另一个交点为4.若四边形464C为矩 形，则小8应满足的关系式为（）A. ab-2 B. a6-3C. ab-4 D. ab-5. （2014西湖区一模）如图，将二次函数片尸 一曲（其中面>0）的图象在X轴下方的部分沿N轴翻折， 图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y,另有一 次函数片x+方的图象记为尸，则以下说法：（1）当01,且y与产裕好有三个交点时，6有唯一值 为1； （2）当5-2,且尸与产恰有两个

7、交点时，m>i或0<o<l； （3）当所5时，尸与工至少有2个交点，且其中一个为（0, 10）: （4）当0- 2时，y与乃一定有 交点.其中正确说法的序号为.6. （ 2013河南省）如图，施物线的顶点为尸（一2, 2）,与y轴交于点力（0, 3）.若平移该拊物线使其顶点。沿直线移动到点（2, 一 2），点4的对应点为4,则 抛物线上身段扫过的区域（阴影部分）的面积为 .7. （2010关系桂林）将掘物线尸2£12*+16绕它 的顶点旋转180。，所得抛物线的解析式 是.8. 湖南衡附模拟）巳如二次函数片2f+加+1（6为常数），当b取不同的值时，对应得到一 系列

8、二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则 这条抛物线的解析式是:若二次函数尸2£'+双 + 1的顶点只在N轴上方移动，那么方的取值范围 是.9. （2014贵州贵阳）如图，经过点0（0, - 6）的蜒物线尸一f+bx+c与X轴相交于5（ 2, 0）, C两 2点.（1）求此抛物线的函数关系式和顶点。的坐标；（2）将（1）中求得的拗物线向左平移1个单位长度，再 向上平移。（0>0）个单位长度得到新抛物线y,若 新拗物线y的顶点P在胸内，求。的取值范围：（3）在（2）的结论下，新抛物线y上是否存在点0,使 得的是以血为底边的等腰三角形请分析所有可 能出现的情况，并直接

9、写出相对应的。的取值范围.10. （2014江西抚州）如图，抛物线广&r'+2&r（6<0）位于n轴上方的图象记为F、它与*轴交于P、0 两点,图象区与F关于原点0对称，反与x抽的另一个 交点为？，将正与正同时沿x轴向右平移aa的长度即 可得到月与氏：再将因与上同时沿式轴向右平移尸点的 长度即可得到月与K：；按这样的方式一直平移下去 即可得到一系列图象五，A,尼.我们把这组图象称 为“波浪抛物线”.（1）当十一 1时，求图象F的顶点坐标：点小2014, -3） （填“在”或“不在”）该“波浪抛物 线”上；若图象我的顶点方的横坐标为201,则图象 我对应的解析式为,

10、其自变量X的取 值范围为.（2）设图象反总的顶点分别为北、为正整数）, x轴上一点0的坐标为（12, 0）.试探究：当6为何 值时，以0、T&、J 0四点为顶点的四边形为矩形 并直接写出此时。的值.秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线必经过点6时停止运动，设平行移动x秒后，射线/扫过R3AB0 的面积为y.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x-3秒时，射线宓平行移动到0, C，,与"相 交于G,如图2,求经过G, 0,夕三点的掘物线的解析式：（3）现有一动点尸在（2）中的抛物线上，试问点尸在运 动过程中，是否存在三角形枚的面枳垃8的情况若 存在，求出点尸的坐标，若不

11、存在，请说明理由.江苏镇江）如图，在平面直角坐标系与 中，点"为抛物线六一X +2以一 +2/?的顶点，过点（0, 4）作x轴的平行线，交抛物线于点尸、0（点尸在。的左 侧），PQ-.（1）求抛物线的函数关系式，并写出点尸的坐标：（2）小丽发现：将抛物线尸一X+2内一）+2绕着点产 旋转180。，所得新批物线的顶点恰为坐标原点0, 你认为正确吗请说明理由：13.辽宁盘锦）如图，抛物线外6+加 + c经过原点，与X轴相交于点£（8, 0 ），抛物线的顶 点力在第四象限，点4到彳轴的距离妗1,点尸（巩0） 是线段加上一动点，连结以，将线段切绕点P逆时针 旋转90。得到线段PC过

12、点C作y轴的平行线交x轴于 点G交抛物线于点，连线BC布AD.（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标（用含"的代数式表示）：（3）当以点4、氏C。为顶点的四边形是平行四边形时，12.湖南怀化）如图1,在平面直角坐标系中，AB OB8, NABO 90： NyOC45：射线比以每参考答案例1.【解析】（1）:抛物绞产一f+bx+c经过4 （-3, 0）和8（0, 3）两点，f9 3Z? + c = O,伍=一2,：.<解得c = 3,c = 3.故此抛物线的解析式为外一f -2*+3；（2）由（1）知抛物线的解析式为外一f-2x+3,-2当k二一 1 时，尸4,4）.2x（-

13、1）（3）由题意，以点乂 N、M,、N，为顶点的平行四边形的边加的对边只能是,：岷 N'且 MN N',:.册 NN'=16, ：.NNf =4.i）当M、N、M，、N，为顶点的平行四边形是0W时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C 16炉2-4X （2） XI=10,点4的坐标为（-4, 10）.对款轴为直线广一-2, 点/关于对称轴的对称点 2x1的坐标为（0, 10）.2.【答案】B 【解析】当尸0时，了一6,故函数图象与尸轴交于点C（0, -6）,当尸0时，f 一彳一6二0,即（x+2）（l3）二0,解得*-2或X-3,即4（-2, 0）,

14、5（3, 0）：由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故。的最小值为2. ；ii）当双M "、N，为顶点的平行四边形是0 * N，时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个 单位，可得符合条件的拊物线C，.上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线.例2.【答案】2【解析】：一段抛物线：尸一刀（”一3） （0W;rW3）,图象与”轴交点坐标为：（0, 0）, （3, 0）, 1将C绕点4旋转180。 得C,交/轴于点4：将C绕点4旋转180。得G交x轴于点4：如此进行下去，直至徉的解析式与“轴 的交点坐标为（36, 0）, （39, 0）,且图象在x轴上方，仁的

15、解析式为产产一（*36） （439），当x-37时，尸一 （37 -36） X （3739） =2.1.【答案】I）【解析】J点432尻2-4ab）在抛物线外£+drH0上，1（a2b） 2+4X（a-2b） +10二2 一】骷，/一4&6+归 +4&86+10二24骷，（a+2） 2+4M）, Aa+2=0, 61 二0,解得 十一2, 2,.62炉一2-2X 1-4, 2-3 .【答案】【解析】C函数六-2X(*20)的图象为 C关于原点对称的图象为C2的解析式是y=-*2-2*(xW0)，观察度：当01或水一 1时，直线外序与图象C、&只有1个交点：当夕

16、1或夕一 1时，直线广a与图象C、C有2个交点：当一 1<小1时，直线尸&与图象G G有3个交点.4 .【答案】B【解析】令尸0,得片A，C(0, b).令尸0,得加+ 2r0, J尸土,0), 6(:AB240c2 + OB2 二b.要使平行四边形ACA.C是矩形，必须满足AB BC.：.2./. 4 X ()二6一一，: ab - 3. 二8, 6 应满足关系式 3. a a5 .【答案】5【解析】当。1,且力与裕好有三个交点时，b有唯一值为1,岳一，故错误：当加2,且以与森恰有两个交 47点时，0>4或0<0< 一，故正确：当所6时，与至少有2个交点，且其

17、中一个为(0, >)故正确：当9 4-b时，F与予没有交点，故错误.6 .【答案】12【解析】连接"，A' P'、过点/作坦于点。，由题意可得出：AP/A/ Pf , "1,尸，.四边形加力/是平行四边形.抛物线的顶点为尸(一2, 2),与尸轴交于点4(0, 3),平移该抛物线使其顶点尸沿直线移动到点尸, (2, - 2),:.PO 正 +2。一2后,又41L", J板是等腰直角三角形，：.PPf -2a/2 X2=4yj2 , AIDO _,2抛物线上以段汨过的区域(阴影部分的面枳为4 X= 12.27 .【答案】尸一2M+12%20【解析

18、】r2jr-12x+16-2 (jf-6jH-8) =2 <x-3) -2,将原抛物线绕顶点旋转180。后，得外一2 5一3”一2二一2f + 12彳-20.8 .【答案】六一2f+1, -2应<6<2&b8-/b8-/8-/728-(4x)2【解析】:/了 + 双+1的顶点坐标是(，),设£，y-,:b一，tr,:汗484888-2/+1,若二次函数外2f+以+1的顶点只在式轴上方移动，/2>0,抛物线与*轴没有交点，.<（）,即二万一8V0,解得-2、/J <b<2>/2 .9 .【解析】（1）将0 （0, - 6）, 8（

19、2, 0）代入广Lf+r+c,得 2-6 = c, 解祥0 = 2 » + c,一 . b = -2,c = -6.一 、，产，£一276,顶点坐标为（2, -8）：2（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单； ，再向上平移0（届>0）个单位长度得到新抛物线歹二L（x-2+l） 28+卬，P （1, 8+。）.1在拊物线下,了一2彳一6中易得C（6, 0）,.直线HC的解析式为f-x6,当片1时，下二一5,.一5一8+曲<0,解得3Vm<8：（3） 9：A （0, -6）, 6（ 2, 0）,，线段48的中点坐标为（一 1, 一 3）,直线段的解析式为外

20、一 3孑一6,18过"的中点且与四垂直的直线的解析式为尸一刀一一，33187 直线厂一二一与JF1的交点坐标为（1, ）» 33377 17，此时的点尸的坐标为（1,一），.,此时向上平移了 8 二个单位, 33 317 当3V°V 时，存在两个。点，可作出两个等膜三角形;317当所一时，存在一个点0,可作出一个等腰三角形: 317当一 国<8时，0点不存在，不能作出等腰三角形. 310【解析】（1）当s=1时，片a/+2axef2txe- （jr+1）t+1,，图象片的顶点坐标为（-1,1）； ；该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和- 1,点（2014

21、, - 3）,不在该“波浪抛物线”上. :图象凡的顶点的横坐标为201, 201+4-50-1,故其图象与正，五，形状相同， 则图象凡对应的解析式为六（彳-201）=1,其自变量x的取值范围为200WxW202.故答案为：不在，y-（x-201） 2-L 200WZ202.（2）设中点为0,，则线段经过0',由题意可知00，-0，0, 0' T* T 当北以产妗12时，四边形 加以；0为矩形，0/公产6.丁夫对应的解析式为外£ （x+l） '-a,正的顶点坐标为（一 1, 一6）, 由平移的性质可知，点器r的纵坐标为一6， 由勾股定理得（-a）A a-

22、7;55, a<Ot Aa-735,故此时0的值为4.IL【解析】（1）:抛物线六一f+20t万+2过点P,尸点的纵坐标为4, 4二一x +2x万+2”,解与 t一 + J2-4 , *-一 J2n-4 . : PQ X-/M, 2）2。-4二4,解得后1, 抛物线的函数关系式为尸一f+8x8,，4=-< +8*8,解彳导 jt-2 或k6,，P（2, 4）.（2）正确： 7（2, 4）>股1,，0绕着点P旋转180°后的对称点为。，（-2, 4）,:P3正好关于y轴对称，所得新批物线的对称轴是,轴.;拊物绞外一f+8x8=一（*-4） ?+8,抛物线的顶点&quo

23、t;（4, 8）, 顶点到直线网的距离为4, .,所得新批物线顶点到直线”的距离为4, 所得新抛物线顶点应为坐标原点.12.【解析】（1）VABOB, N四0 900 , 相。是等腰直角三角形，/吠15。， VZyOM50 ,:NA0C（90° -45° ） +45° =90" , ：.A0±C0.: C，0/是。平移得到，力班厂0/ , .00，G是等腰直角三角形.:射线比的速度是每秒2个单位长度，.m/=2x,，其以为底边的高为大1 X （2x） x-x :2（2）当3 秒时，00,二2X3二6,1V - X6=3, 点 G的坐标为（3,

24、3）.2b =设抛物线解析式为外加+以，9+ 3 = 3,解得 64a + 8/2 = 0,.抛物线的解析式为外一十号X1（3）设点。到x轴的距离为4 则必丽 一X8儿8,解得F2. 21 , 8当点尸在X轴上方时，-一+ 一犬2, 55整理得 8，+10-0,解得刀-4J8 , X-1+ « ,此时，点P的坐标为（4 一 #, 2）或（4+J6, 2）；18当点P在X轴下方时，一一/+ x=-2, 55整理得父一8x10=0,解得 x产4JEW , x-1+ >/26 t此时，点P的坐标为（4一 J访，-2）或（4+J赤，-2）.综上所述，点户的坐标为（4 一 2）或（4+J3, 2）或（4 -2）或（4+>/26 , - 2）时，的面积贯8.1b = -2, c = 0.13.【解析】（1）由题意可知4 （4, -4）, 抛物线尸a/'+6r+c经过原点、点£（8, 0 ）和/（4, -4）,c = 0,64 + 8/? + c = 0,解得 <16。+ 4 + c = -4,.