重庆理工大学概率论试卷及规范标准答案5

1、概率与数理统计复习资料、单选1.设随机事件A与B互不相容,且 P(A) 0, P(B) 0,则(A. P(A) 1 P(B)B.P(AB) P(A) P(B)C.P(AU B) 1D.P(AB) 12.设A, B为随机事件，P(A)0,P(A|B) 1 ,则必有(A. P(AU B) P(A) B. AC.P(A) P(B)D.P(AB) P(A)C1 B.rC2-2!D. 土4!3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为22A. -2 44.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为?，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是(A.(3)343 2 1Bq 4DC

2、2,5.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y2X ,则Y的概率密度fy(y)为A.2fx( 2y)B.2 fx噂6.如果函数f (x)x, a0,xx b;臧x是某连续随机变量X的概率密度，则区间 ba,b可以是(A.(0,1)B.(0, 2)c.(0, .2)D.(1,2)7.下列各函数中是随机变量分布函数的为(A. Fi(x)1 xB.F2(x)C.F3(x) e x,D.F4(x)arctgx, 2则 P(X 0)A.工12B.212C.12D.5129.已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间1,3和2,4上服从均匀分布,则 E(XY)A. 3B. 6C. 10D.1210.

3、设(x)为标准正态分布函数,Xi1,事件破生；口 i 1,2,L ,100 ,且0,事件A不发生，P(A)0.8,Xi,X2,L ,Xioo相互独立100令Y Xi ,则由中心极限定理知Y的 i 1分布函数F(y)近似于(A. (y)B. (1 80) C.4(16y 80) D. (4y 80)11 .设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0 , P(B)>0 ,则下列关系成立的是()A. A, B相互独立B. A, B不相互独立C. A, B互为对立事件D. A, B不互为对立事件12 .已知 P(A)=0.3 , P(B)=0.5 , P(A U B)=0.6 ,则 P(A

4、B)=().A. 0.15B. 0.2 C. 0.8D. 113 .设随机变量X的概率密度为f(x),则f(x) 一定满足(XPX x f (t)dtf (x)dx 1A.0 <f(x) <1 B.C.D.f(+oo)=114 .从0, 1,，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“ 8”至少出现一次的概率为(A.0. 1B.0.3439C. 0.4D. 0.656115.设一批产品共有1000个，其中有50个次品。从中随机地有放回地抽取500个产品，X表示抽到次品的个数，则P X = 3=(A.3497C50 c950500- C1000A A 497 八506950 &

5、#187; 500B A 1000CC3oo(0.05)3(0.95)4973D. 500b,16.设随机变量X的概率密度为f(x)=0,其它.则区间(a,b)是D. ( 2, 2)().A. (0, -cosx, a x ) B. ( 2 ,0)C.(冗，力17.已知随机变量X的分布列为-1p 0.0.30.4255则 P (-2<X <4-X>2)=()A. 0B. 0.2C. 0.35D. 0.5518.设二维随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则PX>1dx f(x,y)dy A.1f(x,y)dx C.19 .设随机变量XB (30 ,15A. 6B.

6、 6dx f(x,y)dyB. 1f(x,y)dxD. 116),则 E (X)=()25C. 6D. 5).20.设随机变量XB(100, 0.1),则方差D(X)=(A. 10 B. 100.1 C. 9D. 3二、填空1.一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是.122 .设p 2. P(B1A) 5,则P(AB).3 .已知随机变量X的分布列为X12345P2a0.10.3a0.3则常数a(x)4 .设随机变量X : N(0,1),(x)为其分布函数，则 (x)5 .已知连续型随机变量X的分布函数为x 0;1F(x) -(x 1), 0<

7、; x 2;3 1,设X的概率密度为f(x),则当x 0, f(x)6.设随机变量X与Y相互独立，且P(X 1)P(Y 1)P(X 1,Y 1)=7.设随机变量X的概率密度为f(x)=f(x)会E(X 1)8.设随机变量X与Y相互独立，且 D(X) 1 ,D(Y)D(X Y)Xn为其样本。若9 .设样本的频数分布为 频数则样本方差s210.设总体X服从正态分布N( , 2),中 未知，Xi,X2,l,i2假设检验问题为H°：1 H1:1,则采用的检验统计量为 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.5, P(A U B)=0.8, 那么P( AB )=,P(AB)=12 .进行5重贝努

8、利试验，事件A在每次试验中发生的概率 P(A)=0,1，则在5次试验中A恰发生2次的概率为 A至少发生1次的概率为13 .若1,2,3, 4, 5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为14 .设X为连续随机变量，c为一个常数，则P X= c =15 .设 XN(5 , 4),若 d 满足 P(X>d)=(1),则 d=.16 .已知X服从两点分布，其分布列为X01,那么当0wxv1时，X的分布函数的取值为F(x)=.Pk0.40.617 .已知随机变量X的分布函数为Fx(x)，则随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y)=18 .设随机变量X有密度f(x)=K(1 x),0

9、x 1,0,其它.三、证明题1 .设A、B为两个随机事件，0 P(B) 1,且P(A|B) P(A|B),证明事件A 与B相互独立。2 .设 A, B 为随机事件，P (B) >0,证明：P(A|B)=1-P( A|B).四、计算题(共8分)1 .设随机变量X的概率密度为f(x)cx ,0 x 1;0,其它.且E(X) 0.75 ,求常数2 .设随机向量(X, Y)概率密度为f(x,y)=8xy,00,1,0 y x其他X(1)求边缘概率密度fX(x),fY(y)(2)求概率PY<y五、综合题1.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=f(x, y)e y ,0 x0

10、，其它.y;一、求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y);二、判断X与Y是否相互独立，并说明理由；22八2 .设随机变量 Xi与X2相互独立，且 Xi : N( , ) , Xi : N(,)，令X Xi X2 2, Y Xi X2.求：(1) D(X),D(Y);(2) X 与Y 的相关系数 xy3 .加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为 3%,如生产情况不正常,则次品率为20% ,按以往经验，生产情况正常的概率为 80% ,任取一只零件，求它是次品的概率.已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率.4 .设由取自正态总体X : N( ,0.92),容量为

11、9的样本，得样本的X 5,求未知参数 的95%置信区间 (U0.025 1.96 )六.应用题1 .已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量 X服从正态分布，具方差为0.03,在某段时间抽测了 10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?著性水平0.05( .0.025 19.023, 0.975 ( 9)2.7)2.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分，标准差为15分,问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 设H0：70Hi：70、

12、单选1.D2.A3.A4.C5.D6.C7.B8.D9.A10.B11.D12.B13.C14.B15.C16.D17.D18.B19.D20.C二、填空1.0.612.一 53. 0.14. 15. 1 ex36. 110. (n-1)sn2 或(XiX)211. 1 ,0.212.缺答案13.缺答案 14.缺答i 17. 18. 39. 215.116. 0.417. 218. 3、证明题（共8分）1.证法一：由题设及条件概率定义得P(AB) P(AB)P(B) P(B)又 P(aB) P(A B) P(A) P(AB),由以上二式可得 P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立。证法

13、二：由全概率公式得P(A)= P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)=P(B) P(B)P(A|B)(由题设)二 P(A|B),则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B),故A与B相互独立。2,证：右边=1 P(A| B)P(AB)P(B)P(B) P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A|B) = 左四、计算题(共8分)1cx dx 11.解：由；可得1 ,- -cx dx 0.75,0c一 1,1 解得 2,c 3.c 0.75,2x 32 解： fx (x)8xydy 0 8xydy 4x同理可得fx(x)fY(x)4x30 x 10 其它4y 0 y 10 其它X P

14、(Y )2xx1dx 1 x y=2dx e dy 0 x 1 =1 e 1 2e 2.2.解：D(X)=D(X 1+X2)=D(X 1)+D(X 2)=2 2,D(Y)=D(X 1- X2)= D(X i)+ D(X 2)=2 2, Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)_2_2_ 一一一=E(Xi) E(X2) E(Xi E(X2) E(Xi) E(X2)=D(Xi)- D(X2)=0,则XY悬澈" .解：(1)边缘概率密度为 8xydy 8 o xdx 02 ydy4；xy2 肿 8五、综合题(本大题共两小题，每小题 12分，共24分) 1 .解：(1)边缘概率密度

15、为e ydy ex,x Qxfx(x)= f(x,y)dy0,x< 0,ye ydx yey,y 0;fx(y)= f(x,y)dx x0,yw 0,(2)由于 f(x,y) fx(x)fY(y),故 X与 Y不独立。3 3) PX+Y <1=f(x,y)dxdyx y< 1(2)(3)4.解:fx(x)=f(x,y)dyxy .xe dy e ,x Q0,x< 0,yy ,ye dx ye , y 0;fx(y)=f(x,y)dxx0,y< 0,由于f(x,y) fX (x) fY (y),故X与Y不独立。PX+Y &1=f(x,y)dxdyx y< 11 x=2dx e ydy 0 x1=1 e 1 2e 2.D(X)=D(X i+X2)=D(X i)+D(X 2)=2 2D(Y)=D(X 1- X2)= D(X 1)+ D(X 2)=2 2Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=E(X1) E(X2) E(X1 E(X2) E(X1) E(X2)=D(X i)- D(X2)=0,则XYCov(X,Y) 0D(X),D(Y)六、应用