安徽省阜阳市太和一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷

1、绝密启用前数学学校： 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每题 5分，共 60 分）1复数 z的虚部为（ ）1 2i221AB iC5552曲线 yx3 2x 4在点 （1，3）处的切线的倾斜角为A30°B45°C60°3设 mDD135°是两个不同的平面，则“ ”是“ m P ”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知 f x x ，则 f 8 等于（ ）AB 2 2CD 15已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双

2、曲线的离心率为A6若函数 f （x）x2 x aln x 在区间 (1,）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）Aa3B a3C a3Da37抛物线 x232y 的焦点坐标为（ ）A(0, 8)B (0,8)C ( 8,0)D(8,0)8使不等式 x4 成立的一个必要不充分条件是A2x3B 6 x 3C 5 x 3D6x29函数 f x2ln x x 3 的单调递增区间是（xA 0,B 3,1C 1,D 0,110 P 为曲线 y ln x 上一动点 , Q 为直线 y x 1上一动点 , 则PQ的最小值为 ( )A0222211在棱长为1的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中，则平面A

3、B1C 与平面 A1C1D 之间的距离为AB33C233D3212已知双曲线2C:ax22a2 y b21(a0,b 0) 的离心率为2，过右焦点 F 的直线 l 交双曲线 C的两条渐近线于uuurA, B两点，且 FAuuur2FB 0 ，则直线l 的斜率k(k 0) 的值等于 ( )A 3 3B 2 3C 3D 33二、填空题(每题 5分，共 20 分)，则此双曲线的标准方程13若双曲线经过点 (6, 3) ，且其渐近线方程为14若函数 f(x) f (1)ex 1 f (0)x x2 ，则 f (1) 15若曲线 f(x) 4ln x x2在点 (1, 1)处的切线方程为 .16给出下列

4、命题：1“ a 1”是“1 ”的充分必要条件；a命题“若 x2 1，则 x 1”的否命题是“若 x2 1 ，则 x 1”；设 x， y R，则“ x 2且 y 2”是“ x2 y2 4 ”的必要不充分条件；设 a ， b R，则“ a 0”是“ ab 0 ”的必要不充分条件 . 其中正确命题的序号是 .三、解答题（满分 70 分）117（ 10 分）数列 an 中， an，前 n 项的和记为 Sn n n n 1（1）求 S1,S2,S3的值，并猜想 Sn 的表达式； （2）请用数学归纳法 证明你的猜想1218（12 分）已知函数 f xx2 4x 4,x 3,23（1）求函数 f x 在 x

5、 0 处切线方程；（2）求函数 f x 的最大值和最小值19（ 12 分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角 .20（ 12 分）如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2 ，侧棱长为 1，求：1）直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值；2）平面 D1AC 与平面 ABB1A1 所成二面角的正弦值f(x) 在点 (1,f (1)x a321（ 12分）已知函数 f （x） ln x ，其中 a R，且曲线 y4 x2处1 的切线垂直于 y 1 x.2（1）求 a 的值；（2）求函数

6、 f （x） 的极值 .22（ 12 分）已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.（1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.高二上学期期末考试数学参考答案1CQ z ii12i2i2Qz1 2i1 2i1 2i552B解析】1i, 复数 z i 的虚部为 1 ，故选 C.5 1 2i 5解析】32 y x3 2x 4 求导得： y' 3x2 2.在点 1，3 处的切线斜率即为在点 x 1 处的导数值 1.所以切线的倾斜角为 45 故选 B.3A解析】若 m， ，则 mP ；反之，若 mmP ，则 或 与 相交所以“ ”是“ mP ”的充分不必要条件选 A 4C【解析】【分析】

7、 根据基本初等函数的导数公式求出 f x ，再求 f 8 .【详解】1 1-1 1 -?1 1 12由 f x x ，得 f x = 1 x 2 = 1x 2 ， f 8 1 8 22 ，2 2 2 8故选 C【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若a * a-1 f x =x（a a Q*）, 则 f x =axa-1 .5C解析】的焦点是（ 4,0 ），则双曲线（）的右焦点是（ 3,0 ），6A【解析】分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数 a 的取值范围即可详解：由题意可得：2x 12x2 x ax函数在区间 1, 上单调递增， 则 2x2 x a 0 在区间 1, 上恒成立

8、，即 a 2x2 x 在区间 1, 上恒成立，二次函数 y22x2 x 开口向下，对称轴为 x14 ，则函数在区间 1,上单调递减，当 x 1时， y 2x2 x 3 ，则该函数区间 1, 上的值域为3，综上可知：实数 a 的取值范围是 a 3. 本题选择 A选项 .点睛： 本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力7A【解析】因为 2p32, p 16 ，焦点在y 轴负半轴上，所以焦点坐标为(0, 8) ，故选 A.8B【解析】解不等式 x 1 4，可得 4 x 1 4，即 5 x3，故“ 6 x 3”是“ 5x3 的一个必要不充分条

9、件，故选 B.9D【解析】【分析】 求出函数 y f x 的定义域和导数，然后在定义域内解不等式 f x 0 可得出函数y f x 的单调递增区间 . 【详解】1 x32x2 x22xxx32 函数 f x 2ln x x 的定义域为 0, ，且 f x1.另外xx 解不等式 f x 0，即 x2 2x 3 0，由于 x 0 ，解得 0 x 因此，函数 y f x 的单调递增区间为 0,1 ，故选： D. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间， 解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系， 解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间， 考查运算求解能力，

10、属于中等题 .10C 【解析】如图，直线 l 与 y=lnx 相切且与 y=x+1 平行时， 切点 P到直线 y=x+1的距离 | PQ|即为所求最小值 11ln x ' ，令1 得 x=1，故 P 1,0 .xx故 PQ min 为点 1,0 与直线 x y 1 0的距离， 即： PQ min 1 0 1 2 .min 1 1解析】分析】,1），建立如图所示的直角坐标系，求得 AD ( 1,0,0) 和平面 A1C1D 的一个法向量 m (1,1利用向量的距离公式，即可求解【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 A1(1,0,0) ， C1(0,1,0) ， D (0,0,1) ， A

11、(1,0,1)，uuuuv uuuuv uuuv所以 DA1 (1,0, 1)， DC1(0,1, 1)， AD( 1,0,0) ，uuuuv设平面mDA1A1C1D 的一个法向量 m(x,y,1)，则uuuu1v ，mDC1uuuuv即muDuAuu1v x 1 0 ，解得x1，故 m(1,1,1)，mDC1 y 1 0y1显然平面 AB1C P平面 A1C1D ，uuuvAD m 1 所以平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离 d1 m 3 3点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用， 对于利用空间向量求解点到平面的距离的步 骤通常为： 求平面的法向量； 求斜线段对应的向量在

12、法向量上的投影的绝对值， 即为点 到平面的距离 空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解 着重考查了推理 与运算能力，属于基础题 .12A【解析】2 c b y2 1(a 0,b 0)的离心率为 2，所以 c 2,b b2 a a3 ，则双曲线的两2因为双曲线 C: x2c ，联立 y 3x ，3x ，设过右焦点 F 的直线 l 的方程为 x tya2条渐近线方程为 yx ty c得 yA3c ，联立 y3x，得 yB3c ，由uFuAur 2uFuBur 0，得 yA 2yB，A 1 3t x ty c B 1 3t即 3c 2 3c ，解得 t 1 ，即直线 l的斜率 k(k 0

13、)的值等于 3 3.故选 A.1 3t 1 3t 3 3213 xy2 19【解析】试题分析：由双曲线渐近线方程为 y 1 x ，所以方程可设为 x2 9y2 ，代入点 6, 33可得 92x2 9y2 9 x y2 19考点：双曲线方程及性质14 2e【解析】f '(x) f '(1)ex 1 f(0) 2x，则 f '(1) f '(1) f(0) 2，所以， f(0) 2；故 f (x) f '(1)ex 1 2x x2，则有 f(0) f '(1)e 1，得， f '(1) 2e.15 y 2x 3【解析】【分析】2对函数 f x

14、 4lnx x2求导，求得当 x=1 时的斜率，根据点斜式可求得切线方程。【详解】24对函数 f x 4lnx x2 求导得 f '(x) 2xx因为点 1, 1 在曲线上，所以 k f '(1) 2由点斜式可得切线方程为 y 2x 3【点睛】 本题考查了过曲线上一点的切线方程，导数的几何意义，属于基础题。16解析】 【分析】 逐项判断每个选项的正误得到答案 .【详解】1当 a 1 时，1成立，但 a 1不成立，所以不具有必要性，错误a根据否命题的规则得命题“若x2 1 ，则 x 1”的否命题是“若 x2 1，则 x 1”；，正确.因为 x 2且 y 2”是“ x2 y2 4

15、”的充分不必要条件，所以错误因为 ab 0 a 0且 b 0 ，所以“ a 0”是“ ab 0 ”的必要不充分条件 . 正确. 故答案为【点睛】 本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用 .17（ 1）见解析；（ 2）见解析【解析】【分析】1）根据通项公式写出前三项，再写出S1 , S2 , S3的值即可（ 2）用数学归纳法证明即可详解】1) 猜想 （ 2）证明：当时， ，猜想成立；假设当 时，猜想成立，即： ；当 时， 时猜想成立由、得猜想 得证点睛】 本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题 .18 (1) y 4x 4.4 28(2) 函数最小值为 4 ，

16、最大值为 28.33【解析】分析：(1)求出 f ' x ,由 f 1 的值可得切点坐标，由 f ' 1 的值，可得切线斜率，利用点 斜式可得曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程； (2)求出 f ' x ，在定义域内，分 别令 f ' x 0求得 x的范围，可得函数 f x 增区间， f ' x 0求得 x的范围，可得函 数 f x 的减区间，根据函数单调性可得函数 x 的最大值和最小值 .2详解：( 1) f x x2 4 ，斜率 k f 04，切点 0,4 所以切线为 y 4x 4(2)x33, 222,22fx0-0fx7单调递增2

17、83单调递减434 28所以函数最小值为 ，最大值为33 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值， 属于 中档题 .求曲线切线方程的一般步骤是： (1)求出 y f (x) 在 x x0 处的导数，即 y f (x) 在点 P (x0, f (x0) 出的切线斜率(当曲线 y f(x)在 P 处的切线与 y轴平行时，在 处导 数不存在，切线方程为 x x0 )；( 2)由点斜式求得切线方程 y y0 f '(x)?(x x0).19()；.( ) 或.解析】 【分析】、的方程组，求出弦长公式，利用（）根据离心率，以及菱形的面积为4，结合性质 ，列出关

18、于即可求椭圆的方程； （）设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理、 列出关于的方程，解方程求出的值，从而可求直线的倾斜角 .【详解】（）由 ，得 .再由 ，解得 .由题意可知 ，即 .解方程组 得 .所以椭圆的方程为（ ）由（）可知点 A的坐标是（ -2,0 ）. 设点 B的坐标为 ，直线 的斜率为 k. 则直线 的方程为 y=k （x+2）.于是 A、 B两点的坐标满足方程组消去 y 并整理，得由 ，得. 从而.由 ，得 整理得 ，即 ，解得 k= .所以直线 的倾斜角为 或 .【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法, 根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程 解答直线

19、与圆锥曲线位置关系问题常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程 联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题 常常用“点差法”解决，往往会更简单 .20（1）15（ 2） 3152【解析】【分析】（1）以uuuruuuruuuurDxyz，利用向量法能求 DA， DC ，DD1 为正交基底建立空间直角坐标系出直线 A1C 与直线 AD1 所成角的余弦值；（2）求出平面 D1AC的一个法向量和平面 ABB1A1 的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面 ABB1A1 所成二面角的正弦值【详解】（1） 如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2

20、 ，侧棱长为 1，uuuv uuuv uuuuv故以 DA , DC , DD1 为正交基底建立空间直角坐标系 D xyz 则 D 0,0,0 ， A 2,0,0 ， A1 2,0,1 ，C 0, 2,0 ， D1 0,0,1 （1）因为 uAu1Cuv 0, 2,0 2,0,1 2, 2, 1 ，5uuuuvAD1 0,0,1 2,0,02,0,1 ，uuuv uuuuv 所以 A1C AD1uuuvA1C2 2 1uuuuvAD1201uuuv uuuuv 从而 cosA1C , AD1uuuuvAD1 uuuuv1uuuvA1C uuuvA1C AD1531515又异面直线所成的角的范围

21、是 0, 2 ，所以直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值为1515uuuv uuuuv2) AC2, 2,0 ， AD12,0,1设平面 D1AC 的一个法向量为 n x, y, z ，v n 则v nuuuv AC uuuuvAD1 0,0, 从而0,即y,0,x2 x z.取x1 ，可得 y1，z 2 ，即1,1, 2 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，DA平面 ABB1 A1 ，uuuv又 DA 2,0,02 1,0,0 ，所以uvn1 1,0,0 为平面ABB1 A1 的一个法向量因为v uv cosn, n1v uv n v nn11 1 v uv1 1 2 1 2，且 0 n，n1所以uv uuvn1,n21 2 3因此平面 D1AC 与平面 ABB1A1 所成二面角的正弦值为32【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（1） a 5 （2）函数 f （x） 在 x 5时取得极小值 f （5）ln 5 .无极大值4【解析】【分析】12，即可（1）求导，利用导数几何意义可得