统计学原理：6-参数估计

1、第五章第五章 要点回顾要点回顾v抽样分布理论v样本均值、成数的抽样分布特征：样本均值：正态总体、非正态总体大样本 正态分布 若正态总体方差未知：成数： 二项分布；大样本 正态分布方差： 正态总体 卡方分布) 1 , 0 (/)/,(2NnXnNX或者) 1(/) 1(222nSn) 1(/ntnSX)1 (,(nPPPNp推断统计学推断统计学 统计推断的过程统计推断的过程总体均值、总体均值、比例、方差比例、方差描述描述统计统计推断统计推断统计抽样分布理论抽样分布理论小结：推断统计学小结：推断统计学 推断统计的主要类容推断统计的主要类容参数估计参数估计(6)假设检验假设检验(7)推断统计推断统计

2、估计总体参数估计总体参数如抽样调查袋装食品如抽样调查袋装食品的重量后，估计平均的重量后，估计平均重量等重量等检验总体参数检验总体参数如抽样调查袋装食品如抽样调查袋装食品的重量后，判断所标的重量后，判断所标注的重量是否真实注的重量是否真实第六章第六章参数估计参数估计主要内容主要内容v6.1. 6.1. 参数估计的概念及点估计参数估计的概念及点估计v6.2.6.2.参数的区间估计参数的区间估计v6.3.6.3.样本容量的确定样本容量的确定调整：调整：v6.1. 6.1. 参数估计的概念及点估计参数估计的概念及点估计（掌握）（掌握）v6.2.6.2.单一总体的参数的区间估计单一总体的参数的区间估计（

3、掌握）（掌握）v6.3. 6.3. 样本容量的确定（样本容量的确定（掌握掌握）v6.4.6.4.两个总体的参数的区间估计两个总体的参数的区间估计（了解）（了解）学习目标学习目标v 理解参数估计的概念与特点；理解参数估计的概念与特点；v 掌握掌握参数估计量优劣的评判标准；参数估计量优劣的评判标准；v 掌握掌握常用的参数估计方法：点估计与区间常用的参数估计方法：点估计与区间估计；估计；重点掌握重点掌握；理解两个总体的区间估计理解两个总体的区间估计; ;v 掌握掌握估计单一总体的均值、成数时样本容估计单一总体的均值、成数时样本容量的确定量的确定6.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题参数估计的概

4、念：参数估计的概念：估计量与估计值估计量与估计值v 估计就是根据你拥有的（局部）信息来对估计就是根据你拥有的（局部）信息来对现实世界进行某种判断：现实世界进行某种判断：根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份；根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份；根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况。根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况。v 统计中的估计也不例外，它是根据样本的统计中的估计也不例外，它是根据样本的数据对总体的数值属性做出的有科学依据数据对总体的数值属性做出的有科学依据的判断。一般还会同时给出判断的准确程的判断。一般还会同时给出判断的准确程度。度。参数估计的概念与特点参数估计的概念与特点参数

5、估计的概念与特点参数估计的概念与特点也叫抽样估计抽样估计，就是根据样本统计量去估计总体的参数参数 参数估计特点1、以非全面调查为基础 2、以随机抽样为前提3、以概率论（抽样分布）推断总体参数4、参数估计存在抽样误差，但可以计算和控制v如果我们想知道宁波人认可某饮料的比例，如果我们想知道宁波人认可某饮料的比例，人们只有在宁波人中进行抽样调查以得到样人们只有在宁波人中进行抽样调查以得到样本，并用样本中认可该饮料的比例来估计真本，并用样本中认可该饮料的比例来估计真实的比例。实的比例。v从不同的样本得到的结论也不会完全一样。从不同的样本得到的结论也不会完全一样。虽然真实的比例在这种抽样过程中永远也不虽

6、然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知道；但可以知道估计出来的比例和真实的知道；但可以知道估计出来的比例和真实的比例大致差多少。比例大致差多少。v教材教材P159例例6-1：长度测量：长度测量参数估计的概念与特点参数估计的概念与特点估计量与估计值估计量与估计值(estimator & estimated value)：用来估计总体特征的样本指标，也叫统计：用来估计总体特征的样本指标，也叫统计量量：（：（待估计的总体指标也叫总体参数） 如样本均值、样本方差、样本成数（成数）等如样本均值、样本方差、样本成数（成数）等 其中样本均值就是总体均值其中样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计

7、量 估计量是一个变量（直观而言，是一个计算公式）估计量是一个变量（直观而言，是一个计算公式）n 总体参数用总体参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示：估计总体参数时计算出的估计量的具体值：估计总体参数时计算出的估计量的具体值 如果样本均值如果样本均值 x =52.94，则，则52.94就是总体均值就是总体均值 的估的估计值；样本均值就是估计量（统计量的名称）计值；样本均值就是估计量（统计量的名称） 对应不同的样本，计算的估计值不同；对应不同的样本，计算的估计值不同；参数点估计的概念参数点估计的概念：用样本的估计量：用样本的估计量 的值直接作为总体参数的值直接作为总体参数 的估计值的估计

8、值如：用样本均值（方差、成数）直接如：用样本均值（方差、成数）直接作为作为总体均值总体均值 （方差、成数）的估计（方差、成数）的估计如：用两个样本均值之差直接如：用两个样本均值之差直接作为两个作为两个总体均值之差总体均值之差的估计的估计v 例：抽样调查宁波人认可某饮料的比例。例：抽样调查宁波人认可某饮料的比例。直接把样本中认可该饮料的比例当作全宁直接把样本中认可该饮料的比例当作全宁波人认可该饮料的真实比例。波人认可该饮料的真实比例。常用的参数估计方法常用的参数估计方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计参数的点估计参数的点估计点估计点估计(point estimate)：用样

9、本的估计量：用样本的估计量 的值直接作为总体参数的值直接作为总体参数 的估计值的估计值如：用样本均值（方差、成数）直接如：用样本均值（方差、成数）直接作为作为总体均值总体均值 （方差、成数）的估计（方差、成数）的估计;用两个样本均值之差直接用两个样本均值之差直接作作为两个为两个总体均值之差的估计。总体均值之差的估计。优点：简单直接；优点：简单直接；缺点：没有给出点估计值与总体参数的真实值接近缺点：没有给出点估计值与总体参数的真实值接近程度的信息程度的信息点估计的方法有点估计的方法有矩估计法矩估计法、顺序统计量法顺序统计量法、最大似、最大似然法、然法、最小二乘法最小二乘法等等（一）（一）矩估计法

10、矩估计法 1、基本思想、基本思想v矩估计法矩估计法是基于一种简单的是基于一种简单的“替换替换”思想建立起思想建立起来的一种估计方法来的一种估计方法 。是英国统计学家。是英国统计学家K.皮尔逊最皮尔逊最早提出的早提出的 。 由于样本来源于总体，样本矩在一定程度上反映了总体矩。因此，只要总体X的k阶矩存在，就可以用样本矩作为相应总体矩的估计量。 矩：矩： P161 （P100统计动差）：统计动差）： 按矩估计法，样本均值样本均值 是总体均值是总体均值的点估的点估计量，样本方差计量，样本方差s2是总体方差是总体方差 2的点估计量的点估计量。XkniiknikikXXnXnm11)(1,1（一）（一）

11、矩估计法矩估计法 2、计算公式、计算公式例：例：P161例例6-2：样本平均寿命估计全体灯泡的平：样本平均寿命估计全体灯泡的平均寿命；样本标准差均寿命；样本标准差s估计总体标准差估计总体标准差niiniiniiXXnsXXnsXnX1212221)(11)(111前面的矩估计法没有用到（或者不关心）总体分布前面的矩估计法没有用到（或者不关心）总体分布的信息。有的情况我们知道的信息。有的情况我们知道总体分布的形式总体分布的形式F(x, 1, 2 , k),但是参数但是参数 i未知。而参数与总体的原点未知。而参数与总体的原点矩或者中心矩有关。矩或者中心矩有关。u正态分布有两个参数，一个对应均值、另

12、一个正态分布有两个参数，一个对应均值、另一个对应方差，直接计算原点矩或中心矩估计参数；对应方差，直接计算原点矩或中心矩估计参数；u指数分布只有一个参数指数分布只有一个参数lambda，既等于均值又，既等于均值又等于方差。此时用一阶矩估计和二阶矩估计的结等于方差。此时用一阶矩估计和二阶矩估计的结果有可能不同，一般取低阶矩得到的估计值。果有可能不同，一般取低阶矩得到的估计值。u而均匀分布的两个参数与均值和方差有较复杂而均匀分布的两个参数与均值和方差有较复杂的关系。的关系。 = (a+b)/2, = (a+b)/2, 2 2 = (= (b-ab-a ) )2 2 /12 /12，计算均值，计算均值

13、与方差之后，还需求解方差计算参数与方差之后，还需求解方差计算参数a,b.a,b.（一）（一）矩估计法矩估计法 u顺序估计量法：用样本中位数顺序估计量法：用样本中位数MeMe来估计总体的数学来估计总体的数学期望，用样本的极差期望，用样本的极差R R来估计总体的均方差的方法。来估计总体的均方差的方法。l样本的中位数与极差的定义同第三章；样本的中位数与极差的定义同第三章；l课本课本P162P162例例特点：特点：计算简单，需要排序；计算简单，需要排序；分布对称时中位数可较好的估计均值；分布对称时中位数可较好的估计均值；极差估计总体均方差不可靠，样本越大越不可靠，极差估计总体均方差不可靠，样本越大越不

14、可靠， 样本较大时样本较大时(10)(10)需要分组，各组极差的平均值来需要分组，各组极差的平均值来 估计。估计。（二）（二）顺序估计量法顺序估计量法 1-6163;/;表见PddRMnneu极大似然估计是在总体类型已知条件下使用极大似然估计是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法的一种参数估计方法 。它首先是由德国数学家高它首先是由德国数学家高斯在斯在1821年提出的年提出的 ,费歇在费歇在1922年重新发现了这一方年重新发现了这一方法，并首先研究了这法，并首先研究了这 种方法的一些性质种方法的一些性质 。u最大似然法的基本思想：最大似然法的基本思想：已发生的事件具有最大概率。（三）极大

15、似然估计（三）极大似然估计MLE进行一次具体的抽样之后，进行一次具体的抽样之后， (X1, X2, , X n ) 得到一组观察值得到一组观察值 (x1, x2, , x n )。设总体分布设总体分布(以离散型为例以离散型为例)为为P(X=x)=F(x, 1, 2 , k), （ 1, 2 , k )未知，未知，样本样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 X，则则样本样本(X1, X2, , X n )的概率的概率(分布函数分布函数)为：为： nikiniiikn),x(F)xX(P),x,x,x(L12112121 nikikn),x(F),x,x,x(L1212121 为为（

16、 1, 2 , k )的函数。因为的函数。因为(x1, x2, , x n )在一次观察在一次观察中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数 nikik),x(F),(L12121 取得最大值的最大值点，以此作为取得最大值的最大值点，以此作为（ 1, 2 , k )的估计。的估计。发发生生的的概概率率为为：事事件件,11nnxx XX（三）极大似然估计（三）极大似然估计MLE使得：的估计值，即取，作为达到最大的参数挑选使概率（似然度）固定 );,(,11nnxxxxL);,(max);,(11nnxxxxLL。极大似然估计值极大似然估计值。极大似然

17、法极大似然法的方法称为的方法称为这种求未知参数这种求未知参数 );,(,11nnxxxx 有关，记为有关，记为与与的的称称其其为为参参数数 的的称称为为参参数数 ),(1nXX （三）极大似然估计（三）极大似然估计MLE 一般而言，极大似然估计优于矩估计，因而在应用中，一般而言，极大似然估计优于矩估计，因而在应用中，应尽可能使用极大似然估计估计。应尽可能使用极大似然估计估计。评价估计量优劣的标准评价估计量优劣的标准 6.1.3 点估计的优良性准则点估计的优良性准则 我们知道，一个未知参数的估计量可能不止我们知道，一个未知参数的估计量可能不止一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么一个。究竟采

18、用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准：标准： 1）无偏性；）无偏性； 2）有效性；）有效性； 3）一致性。）一致性。一）、无偏性一）、无偏性 根据样本推得的估计值与真值可能不同，根据样本推得的估计值与真值可能不同， 然而，然而，如果由一系列抽样计算出一系列估计值，则如果由一系列抽样计算出一系列估计值，则u这些估计的期望值与未知参数的真值相等，这些估计的期望值与未知参数的真值相等，u直观意义：样本估计量的数值在参数的真值直观意义：样本估计量的数值在参数的真值附近波动。附近波动。估计值的期望值无误差，这就是估计量的无

19、偏性。估计值的期望值无误差，这就是估计量的无偏性。 定义：定义：如果对一切如果对一切 ，有，有 ，成成立立)E(简简称称无无偏偏估估计计。的的无无偏偏估估计计量量为为参参数数则则称称，量的估计 为参数是指样本估计量的均值应等于被估计总体是指样本估计量的均值应等于被估计总体参数的真值，即参数的真值，即 。)(E一）、无偏性一）、无偏性 一）、无偏性一）、无偏性 nEXEnnnnnEnEXEnXXEnXEnXnEsEXXnEiniiniiiniiniin22222221222122121221)()(11)(2)()(11)(2)()(11)()(11)(11)().2).(1).)XXXXXXX

20、XE(E(X1).E(Xn1，其中用到 证证： 例例：设总体：设总体X 有期望有期望 E(X)= 与方差与方差 D(X)= 2， 与与 2 都未都未知。知。 样本样本(X1, X2, , X n)来自来自 X，试证样本均值，试证样本均值 是是 的无偏的无偏估计；估计；样本方差样本方差s2是是 2的无偏估计；的无偏估计；X二）、无偏估计的有效性二）、无偏估计的有效性 一般地，未知参数一般地，未知参数 的无偏估计量往往不止一个，的无偏估计量往往不止一个， 在这些估计量中，当然是取值对于在这些估计量中，当然是取值对于 的离散程度越小的离散程度越小的越好，即方差越小的越好。的越好，即方差越小的越好。

21、定义：定义： 21DD如如果果的的无无偏偏估估计计都都是是参参数数和和设设， 21。有有效效比比则则称称21)无偏估计。)无偏估计。的最小方差(的最小方差(为为则称则称的方差达到最小的方差达到最小的一切无偏估计中的一切无偏估计中如果在如果在最佳， 作为优良的估计量，除了满足无偏性外，其方作为优良的估计量，除了满足无偏性外，其方差应比较小。差应比较小。 二）、无偏估计的有效性二）、无偏估计的有效性 有有效效比比21解解：D(X1) =D(X)= 2 n2)XD(nnaaaXXX 2211 例例：设总体：设总体X 有期望有期望 E(X)= 与方差与方差 D(X)= 2， 与与 2 都都未知。未知。

22、 样本样本(X1, X2, , X n)来自来自X，比较，比较 的两个的两个无偏估计无偏估计X1 和和 X 的有的有 效性。效性。有有效效。比比所所以以 1XX 例例：条件同上，试证：条件同上，试证X在在 的所有线性的所有线性无偏估计中方差最小。无偏估计中方差最小。 解解：所谓线性估计是指：所谓线性估计是指 为样本的线性函数。为样本的线性函数。 niiniiiniiiaa)a(111 EXXEE的的无无偏偏估估计计，即即是是由由11 niia知知，必必有有niiniiiniiiaaa122121)()D(XXDD(21)nXD( niiniininiianaa1212121)(1()(1 D

23、XD二）、无偏估计的有效性二）、无偏估计的有效性 的一致估计。是则称，时当，如果对于一切的估计量为参数：nPnnn,定定义义三）、一致性（相合性）三）、一致性（相合性）,1E(X)XXX的样本，是总体若n01lim1 niinnXP的的一一致致估估计计量量。是是总总体体期期望望因因此此，样样本本均均值值 X，有意给定的由大数定律，知对于任0例：例：的一致估计量。不是总体期望而1X也称相合性，是指随着样本容量的增大，估计也称相合性，是指随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数量越来越接近被估计的总体参数三）、一致性（相合性）三）、一致性（相合性）xn 6.1.3 点估计的优良性准则点

24、估计的优良性准则 u样本均值作为总体期望的估计量、样本方差（注样本均值作为总体期望的估计量、样本方差（注意意n修正为修正为n-1）作为总体方差的估计量、样本比例）作为总体方差的估计量、样本比例作为总体比例的估计量，满足作为总体比例的估计量，满足 1）无偏性）无偏性 和和 3）一）一致性两个标准；比较满足致性两个标准；比较满足2）有效性的标准。）有效性的标准。u三个标准是对估计量的评判标准，而不是估计值。三个标准是对估计量的评判标准，而不是估计值。u一个总体可以抽出很多样本，不同样本得到的点一个总体可以抽出很多样本，不同样本得到的点估计值一般不同，所有样本的估计值满足某种分布估计值一般不同，所有

25、样本的估计值满足某种分布（抽样分布），一个样本的点估计不一定可靠。（抽样分布），一个样本的点估计不一定可靠。u参数估计的可靠性问题参数估计的可靠性问题区间估计区间估计。6.2 一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体成数二、总体成数(成数成数)的区间估计的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计、区间估计的概念区间估计的概念 v 当估计一个人的体重时，你一般可能不会说这个人是76.3公斤，你会说有百分之九十的把握这个人是七八十公斤（或者是在70公斤到80公斤之间）。v区间估计：区间估计：是根据样本估计量以一定可靠程度可靠程度推断总体参数总体参数所在

26、的区间范围。区间范围。 这种估计方法不仅以样本估计量为依据，而且考虑了估计量的分布（抽样分布），所以能给出估计精度，也即能说明估计的把握程度。 设总体参数为 ， L、U为由样本确定的两个统计量，对于事先给定的 （01），有： P(LU) = 1-; P(L) = /2, P(U ) = /2 则称（ L,U ）为参数 的置信度为1- 的置信区间置信区间。L,U 分别为置信下限和置信上限置信下限和置信上限，通称为置信限置信限。 为显著性水平显著性水平，1- 则称为置信水平或置信度置信水平或置信度。1. 总体参数的真值是固定的、未知的，但用样本构造总体参数的真值是固定的、未知的，但用样本构造的置信

27、区间是不固定的，选取的置信区间是不固定的，选取不同的样本会得到不不同的样本会得到不同的置信区间同的置信区间，因此，因此置信区间置信区间可以看作是一个可以看作是一个随机随机区间区间。置信区间会因样本的不同而不同，而且不是。置信区间会因样本的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。所有的区间都包含总体参数的真值。2. 置信区间是大量置信区间是大量(占占1- 的比重的比重)包含总体参数真值的包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数（区间中的一个，但它也可能是少数（ 比重比重 ）不包）不包含参数真值的区间中的一个。含参数真值的区间中的一个。置信区间置信区间 对不同的样本计算置信区间

28、，则这些置信区间中包对不同的样本计算置信区间，则这些置信区间中包含总体参数真值的次数所占的成数称为置信水平表示含总体参数真值的次数所占的成数称为置信水平表示为为 1 - 。 为是总体参数不在区间内的成数为是总体参数不在区间内的成数 实际上只抽取一个样本，置信水平实际上只抽取一个样本，置信水平1 - 可以可以理解理解为对总体参数真值在置信区间范围内的把握度。为对总体参数真值在置信区间范围内的把握度。 常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%，相应的相应的 为为0.01，0.05，0.10。相应的临界值还与抽样分布有。相应的临界值还与抽样分布有关。正态分布依次为关。正态分布

29、依次为2.58，1.96，1.645置信水平置信水平 置信区间的构造置信区间的构造/2/2z Z,Z1-对一个随机样本，标准化后的样本均值落在范围内的概率是/2Z/2Z(0,1)/XzNn置信区间的构造置信区间的构造/2ZP427可以通过正态分布表(附表1)得到，对常用的置信度置信区间的构造置信区间的构造/2/2/2/2/2/2/2/2-Z, Z1-Z-Z-Z, Z-Z,ZXXXXzzXXzXX一 个 样 本 ， 在内 的 概 率 是如 果 刚 好 在 下 限 ， 则如 果 z刚 好 在 上 限 ，只 要 在范 围 内 ，一 定 在内/2Z/2Z(0,1)/XzNn置信区间的构造置信区间的构造

30、在点估计的基础上，在点估计的基础上，加加 / 减减 抽样误差的倍数可以得到置抽样误差的倍数可以得到置信区间，倍数信区间，倍数(临界值临界值)由置信水平由置信水平(及抽样分布及抽样分布)决定。决定。X/2Z-X/2ZXX/2ZXX/2Z-置信区间的构造置信区间的构造v置信区间：未知参数在区间内概率1- P(LU) = 1-; P(L) = /2, P(U ) = /2其中未知参数固定，区间随机。 样本统计量在某一区间内（含未知参数）概率1- （区间外上下各 /2） 反解得到参数的置信区间-1)ZZ-(/2/2XXXP/2/2(-ZZ)1-Pz/2/2/2/2-ZZ-ZZXXXXXXX区间估计的步

31、骤区间估计的步骤其步骤可概括为以下几步：其步骤可概括为以下几步： 1、抽取样本、抽取样本 x1,x2,xn ;计算样本统计量计算样本统计量; 2、给定置信度、给定置信度1-，根据，根据抽样分布抽样分布确定一个确定一个样本统计量的区间（含参数）样本统计量的区间（含参数） ，统计量在区，统计量在区间内概率间内概率1-（区间上下限以外各（区间上下限以外各/2）。一）。一般需要查临界值表或者分布函数表。般需要查临界值表或者分布函数表。 3、反解得到参数的置信区间。、反解得到参数的置信区间。 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计指标指标总体总体样本样本

32、均值均值成数成数方差方差或P估计的指标（参数）估计的指标（参数）一个总体的抽样分布一个总体的抽样分布v样本均值、成数的抽样分布：样本均值：正态总体、非正态总体大样本 正态分布 若正态总体方差未知：成数： 二项分布；大样本 正态分布方差： 正态总体 卡方分布) 1 , 0 (/)/,(2NnXnNX或者) 1(/) 1(222nSn (1)/Xt nSn(1)( ,)PPpN Pn一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计单个总体的区间估计：单个总体的区间估计：1、总体均值的区间估计、总体均值的区间估计 （1）总体方差已知时，正态（或者大样本）总体方差已知时，正态（或者大样本非正态）总体均值的

33、区间估计。非正态）总体均值的区间估计。（2）总体方差未知时，正态总体均值的区）总体方差未知时，正态总体均值的区间估计。间估计。2 、总体比例的区间估计、总体比例的区间估计3、 总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计（方差已知）（方差已知）P166-1681.假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 已已知，不论样本大小，知，不论样本大小，样本均值的抽样分布均服从正态分布样本均值的抽样分布均服从正态分布或者总体不是正态分布，但是大样本或者总体不是正态分布，但是大样本 (n 30) ，且方差，且方差( )已知已知,样本均值的抽样分布

34、可由正态分布来近似样本均值的抽样分布可由正态分布来近似2. 使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z3. 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为(P167, 6.15)总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差已知方差已知) )/2/2,XZXZnn例：见课本例：见课本P167-168，P167例例6-4，正态总体，正态总体P168例例6-5，非正态总体，大样本，非正态总体，大样本总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差已知方差已知) )/2/2,XZXZnn影响总体均值置信区间宽度的因素影响总体均值置信区间宽度的因素总体均值置信区间计算公式：总体均

35、值置信区间计算公式：1. 总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度2. 样本容量，样本容量，3. 置信水平置信水平 (1 - )，影响，影响 z临界值临界值 的大小的大小 （置信水平越高，（置信水平越高，z 值越大值越大 ）总体均值的区间估计总体均值的区间估计（方差未知）（方差未知）P168-170总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) )1.假定条件假定条件 总体服从正态分布总体服从正态分布, ,样本均值满足正态分布；样本均值满足正态分布； 但是方差但是方差 未知；未知； 直观的方法是用样本标准差代替总体方差。直观的方法是用样本标准差代替总体方差。 由

36、于样本标准差本身也是随机变量，由于样本标准差本身也是随机变量，t不再是标准不再是标准正态分布。正态分布。) 1 , 0(/),/,(2NnXZnNXnsXt/总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) )2. 使用使用 t 分布统计量分布统计量则则t服从自由度为服从自由度为n-1的的t分布分布课本课本P132总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) ) t 分布也是一种对称分布分布也是一种对称分布， （P430附表3）1)-(n/2,t-1)-(n/2,ttnsXnsXnsXt1)-(n/2,1)-(n/2,1)-(n/2,1)-(n/2,tt-t/t-置

37、信区间计算公式（置信区间计算公式（P169, 6.17式）式）例：课本例：课本P169，例，例6-6，6-7注意注意t分布的临界值除了与置信度有关外，还与自由分布的临界值除了与置信度有关外，还与自由度（样本容量度（样本容量n-1）有关）有关总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) )/2,(n-1)/2,(n-1)-t,tssXXnn置信区间计算公式置信区间计算公式u 正态总体或非正态总体大样本，且方差已知正态总体或非正态总体大样本，且方差已知（P167, 6.15式）式）u 正态总体且方差未知正态总体且方差未知（P169, 6.17式）式）u 非正态总体大样本，且方差未知

38、？非正态总体大样本，且方差未知？u 非正态总体小样本？非正态总体小样本？总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) )/2,(n-1)/2,(n-1)-t,tssXXnn总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (分布、方差未知分布、方差未知) )v思考：总体分布未知，方差也未知，但思考：总体分布未知，方差也未知，但样本足样本足够大够大，此时用什么临界值构造置信区间？，此时用什么临界值构造置信区间？ 总体分布未知，但样本足够大，样本均值总体分布未知，但样本足够大，样本均值近近似似满足正态分布；满足正态分布； 但是方差但是方差 未知；未知； 分布未知（不再是分布未知（不再是t分布

39、）。分布）。 近似用正态分布临界值近似用正态分布临界值/Xsn2( ,/ )XNn 【课堂练习课堂练习】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析是否符合平均每袋重量为100g的要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25 袋袋 食食 品品 的的 重重 量量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.21

40、16.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计解：本题属于总体服从正态分布，且方差已知。 已知N(, 102), n=25, 1- = 95%, z/2=1.96。根据样本数据计算得： 总体均值 在 1 - 置信水平下的置信区间为食品平均重量95%置信水平下的置信区间为101.44109.28g总体均值的区间估计总体均值的区间估计课堂练习课堂练习已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下表。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。16 灯泡使用寿命的数据灯泡使

41、用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计总体均值的区间估计本题属于总体服从正态分布，但总体方差未知。 已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。 根据样本数据计算得 , 则总体均值 在 1 - 置信水平下的置信区间为灯泡平均使用寿命95%置信水平下的置信区间为1476.81503.2小时总体均值的区间估计总体均值的区间估计【课堂练习课堂练习】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。假设总体标准差为7.77

42、；试建立投保人平均年龄90%的置信区间 36 个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845325 .39X总体均值的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计解：本题属于总体非正态，但为大样本，故可由正态近似。 已知 n = 36, 1 - = 90%，Z/2 = 1.645。 根据样本数据计算得： 总体均值 在 1 - 置信水平下的置信区间为投保人平均年龄90%置信水平下的置信区间为37.3741.63岁27.7739.5 1.64539.

43、52.1337.37, 41.6336sxzn5 .39X总体成数的区间估计总体成数的区间估计( (只讨论大样本只讨论大样本) ) P174-175总体成数的区间估计总体成数的区间估计1. 假定条件假定条件 样本成数的抽样分布服从二项分布（确定样本成数的抽样分布服从二项分布（确定成数：两种：两种属性）属性） 样本样本成数的抽样分布可由正态分布来近似（大样本）的抽样分布可由正态分布来近似（大样本）2. 使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z 对于总体成数的估计，确定样本容量足够大的经验对于总体成数的估计，确定样本容量足够大的经验规则是：区间规则是：区间 不包含不包含0或或1；或者要求；或者要求

44、np5、n(1-p)5。 成数成数p随着样本容量的增大，逐渐趋于正态分布，随着样本容量的增大，逐渐趋于正态分布，但样本容量的大小与但样本容量的大小与p值有关。值有关。成数成数 P P 值值成数近似正态分布要求的经验样本容量成数近似正态分布要求的经验样本容量0.5300.4 0.6500.3 0.7800.2 0.82000.1 0.9600总体成数的区间估计总体成数的区间估计置信区间计算公式（置信区间计算公式（P174, 6.29式）式）例：课本例：课本P174，例，例6-11总体均值的区间估计总体均值的区间估计( (方差未知方差未知) )/2/2(1)(1)-Z,Zppppppnn课堂练习课

45、堂练习某城市某城市想要估计下岗职想要估计下岗职工中女性所占的工中女性所占的成数，随机地抽成数，随机地抽取了取了100名下岗职名下岗职工，其中工，其中65人为人为女性职工。试以女性职工。试以95%的置信水平的置信水平估计该城市下岗估计该城市下岗职工中女性成数职工中女性成数的置信区间。的置信区间。总体成数的区间估计总体成数的区间估计正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计P176-178正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布3. 总体方差总体方差 2 的点估计量为的点估计量为s2, 且

46、由抽样理论且由抽样理论P132知知正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计2221/2/2221/222/2()1-()/ 2()/ 2PPP正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计利用课本利用课本P431附表附表4可查询可查询和和的数值，的数值，不过课本的表中没给出常用的显著水平不过课本的表中没给出常用的显著水平5%。例：课本例：课本P177，例，例6-13（下页）（下页）例例6-1325 袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4

47、 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计6.3 样本容量的确定样本容量的确定样本容量的确定样本容量的确定u参数的区间估计时，假定已经得到样本，样参数的区间估计时，假定已经得到样本，样本容量是已知的；本容量是已知的；u在调查之前，需要设计调查方案，即确定样在调查之前，需要设计调查方案，即确定样本的容量本的容量n： n太大，增加费用；（尽量小）太大，增加费用；（尽量小） n太小，误差增大。（无法避免，给定标准）太小，误差增大。（无法避免，给定标准）样本容量的确定：使抽样误差不超过给定的允许范围时至少应抽取的单位数目

48、（最小容量）。样本容量的确定样本容量的确定影响样本容量的因素：影响样本容量的因素：1. 允许的误差范围（置信区间的大小）允许的误差范围（置信区间的大小）精度要求；精度要求；2. 置信度（水平）置信度（水平）可靠度（把握度可靠度（把握度）；3. 抽样的标准误差（抽样分布的标准差）：抽样的标准误差（抽样分布的标准差）： 总体方差 抽样方法（简单随机抽样等） 抽样组织方式（重复、不重复）估计总体均值时估计总体均值时样本容量样本容量n为为样本容量样本容量 n 与总体方差与总体方差 2、允许误差、允许误差 E、z 临界值临界值 之间的关系为：之间的关系为：与总体方差成正比；与总体方差成正比；与允许误差的

49、平方成反比；与允许误差的平方成反比；与临界值成平方正比，与置信水平正相关，与显著与临界值成平方正比，与置信水平正相关，与显著性水平负相关。性水平负相关。估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 已知2=1800000，=0.05， Z/2 =1.96，=500 应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时

50、样本容量的确定 拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 1. 根据根据成数置信区间的估计公式，置信区间的估计公式，可得样本容量可得样本容量n为为估计总体成数时样本容量的确定估计总体成数时样本容量的确定 估计总体成数时样本容量的确定估计总体成数时样本容量的确定 【例例6-16】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计

51、值）。: 已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，当p未知时用最大方差0.25代替应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为估计总体成数时样本容量的确定估计总体成数时样本容量的确定 P182，习题，习题6.4，6.5, 6.6，6.114.均值均值2.125; 样本标准差样本标准差s=0.01713;11.均值均值5.21; 样本标准差样本标准差s=0.22026;样本方差样本方差0.04851.置信水平改为置信水平改为90%课后练习课后练习6.4 两个总体两个总体参数的区间估计参数的区间估计两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计均值之差均值之差成数之差成数之差方差比方差比两个独立总体均

52、值之差两个独立总体均值之差的区间估计的区间估计（大样本）（大样本）P170-171两个两个独立独立总体均值之差的估计总体均值之差的估计(大样本大样本)1. 假定条件：假定条件：v 两个两个总体都服从正态分布，且总体都服从正态分布，且 1、 2已知已知v 或或两个总体不是正态分布两个总体不是正态分布, 但但 1、 2已知，且已知，且两个样两个样本都是大样本本都是大样本(n1 30和和n2 30) , 可用正态分布来近似可用正态分布来近似v 两个样本是独立的随机样本。两个样本是独立的随机样本。2. 由抽样分布知识知，两个样本均值之差的抽样分布由抽样分布知识知，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布

53、。使用正态分布统计量服从正态分布。使用正态分布统计量 z1. 1， 2已知已知时，时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1- 2在在 1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两个两个独立独立总体均值之差的估计总体均值之差的估计(大样本大样本)课本课本P170，例，例6-8（见下页）（见下页）P182，习题，习题6.7两个两个独立独立总体均值之差的估计总体均值之差的估计(大样本大样本) 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1中学中学2n1=46n2=33S1=5.8 S2=7.2861x782x两个两个独立独立总体均值之差的估计总体均值之差的估计(大样本大样本)两个两个独立独

54、立总体均值之差的估计总体均值之差的估计(大样本大样本)两个独立总体均值之差的两个独立总体均值之差的区间估计区间估计(小样本小样本)P171-174两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本)1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差两个总体方差 1 , 2已知已知两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)2. 不论样本容量的大小，两个总体均值之差的置信区不论样本容量的大小，两个总体均值之差的置信区间同上，为间同上，为1. 假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差两个总体方差未知未知但但相等相

55、等： 1= 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)2. 合并两个样本的数据合并两个样本的数据, 给出总体方差的合并估计量给出总体方差的合并估计量两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本 1 1= = 2 2)1. 两个样本均值之差的标准化两个样本均值之差的标准化两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本 1 1= = 2 2)两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1 方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.

56、232.128.020.033.428.830.030.226.5两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本 1 1= = 2 2)两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本 1 1= = 2 2)1. 假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差两个总体方差未知未知，且，且不相等不相等： 1 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)两个两个样本容量相等样本容量相等：n1 = n2 = n2. 两个总体均值之差在置信水平两个总体均值之差在置信水平1- 下的置信区间下的置信区间两个独立总体均值之差的估计

57、两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本12 22 )1. 假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差两个总体方差未知未知，且，且不相等不相等： 1 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)两个两个样本容量不相等样本容量不相等：n1 n22. 两个样本均值之差经标准化后服从自由度为两个样本均值之差经标准化后服从自由度为 v 的的 t 分布，使用统计量分布，使用统计量两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本n n1 1 n n2,2, 1 12 2 2 22 2 ) 两个总体均值之差两个总体均值之差 1- 2在在1- 置信

58、水平下的置信置信水平下的置信区间为区间为两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本n n1 1 n n2,2, 1 12 2 2 22 2 )两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本n n1 1 n n2,2, 1 12 2 2 22 2 )两个独立总体均值之差的估计两个独立总体均值之差的估计(小样本小样本n n1

59、 1 n n2,2, 1 12 2 2 22 2 )两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计 (匹配样本匹配样本)补充内容补充内容 前面指派工人时，可能由于工人的技术水平不同造成不公平指派，从而掩盖两种组装方法所需时间的真正差异。如果对两种方法指派同一组工人，则消除了由于指派不公平造成的样本差异，形成匹配样本.两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配匹配 大样本大样本)1. 假定条件：假定条件：两个匹配的大样本两个匹配的大样本(n1=n2 30)则大样本下，均值之差服从近似正态分布。则大样本下，均值之差服从近似正态分布。2.两个总体均值之差两个总体均值之差 d = 1-

60、2 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配匹配 小样本小样本)1. 假定条件假定条件两个匹配的小样本两个匹配的小样本(n1=n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体各观察值的配对差服从正态分布当总体标准差当总体标准差 d已已知时，用正态分布描述；反之用知时，用正态分布描述；反之用样本差值的标准差样本差值的标准差sd 代替代替t 分布，即分布，即2.两个总体均值之差两个总体均值之差 d= 1- 2在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配匹配 小样本小样本) 1