江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

1、江苏省第一届1991年高等数学竞赛本科竞赛试题有改动一、填空题每题 5分,共50分1 .函数y sin x sin x 其中x 一的反函数为.22 .当x 0时,3x 4sin x sin xcosx x与xn为同阶无穷小,那么 n 3 .在x 1时有极大值6,在x 3时有极小值2的最低哥次多项式的表达式是4 .设 p(x)nm、nd (1 x )dxn,m,n是正整数,那么p15 . 2 x/ 2 x.cos(x )sin xdx6 .假设函数x x(t)由 t2x 2 一,、一,一 一. d xe t dt 0所确定的隐函数,那么 -41dt27 .微分方程y,yU)有特解yx那么xx 2

2、z8 .直线绕z轴旋转,得到的旋转面的方程为y 19 .v为单位向量,a 3b垂直于7a4b垂直于7a 2b ,那么向量a、b的夹角为10 . lim 1n12n222 n2 n2 n二、7 分 设数列an满足an2,anan2, n1,求 lim an.nb三、7分求c的值,使 x ccosx c 0 ,其中b a. a2222四、12分求由曲面x y cz, x y a,b,c为正实数.22a ,xy b和z 0所围区域的体积其中1,如此不断重复 试问该极限位置与20 f(x)dx五、12分一点先向正东移动 am,然后左拐弯移动 aqm 其中0 q 左拐弯,使得后一段移动距离为前一段的 q

3、倍,这样该点有一极限位置, 原出发点相距多少米？六、12分fx在0,2上二次连续可微,f1 0,证实其中 M maxfx,江苏省第二届1994年高等数学竞赛本科一级竞赛试题有改动一、填空题每题 5分,共50分,11.11.limL.1nm 4n 1 4n 2 4n 2n2 .设z是由方程组 x t 1C0sz确定的隐函数,那么 cy tsinzx23 .设 fx x2一,0 a b,求曲线y x ax与直线y bx所 3x 2ncosa ,贝U fn2.164 .设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为xy xe cos2x,贝U通解为5.平面 Ax By Cz 0 (C0与柱面2 y b21(

4、A,B0相交成的椭圆面积为6.a, b是非零常向量br r2, (a, b)r ra xb一,贝U lim3 x 0 x7.1(cot x)3dx8.椭球面x2 2y2 4z2 1与平面x yz币0之间的最短距离为. 一, .- b、10分a, b满足 x dx a、8分试比拟,与的大小.四、10分设区域D : x2y2 t2, (t 0), f (x, y)在 D上连续.求证:f (0, 0).1lim = f (x, y)dxdy t 0 2Dxcosx .-dxosin x、xe )1五、10分求不定积分x1六、10分通过线性变换2x ay, x by将方程一ux24y0化简成求a,b的

5、值.七、12分1fx在0,1上具有二阶连续导数,且f 0f(1) 0, f(x)0,证实：0f (x).江苏省第三届(1996年)高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、填空题(每题 5分,共40分)1 x t2L.1.右 a 0 , lim dt limsin( 一 x)tan3x,那么 a .x 0 x sin x 0at x _62 .假设 f(x) x(2x 1)(3x 2)(100x 99),那么 f (0) .1113 .当x大于一且趋向于一时, -3arccosx与a(x )b为等价无穷小,那么222a , b .4 .5 .直线x 2y 3z 2在平面z 1上的投影为直

6、线 L,那么点(1,2,1)到直线L的距离为2x y z 36.设 与 均为单位向量,其夹角为 面积为.那么以+ 与+为邻边的平行四边形的d7 .设当 x0时 一 f (sin x)dx8 .设函数y y(x)是由x3d 一 2一 f 2(sin x), f (0) 0,那么 f (0) dxy3 3axy 0 (a 0)确定,那么 lim x二、(10分)x x x 0设y f (x) x,x 0;讨论f(x)的连续性,求单调区间、极值与渐近线.0 ,x 0三、(10分)设f(x)=x 2(x 1)2(x 3)2.(1)(本科三级考生做)试问曲线yf(x)有几个拐点,证实你的结论 .(2)(

7、专科考生做)试问f (x) 0在区间(0,3 )上有几个实根,证实你的结论四、(10分)假设f (u)是连续函数,证实0 xf(sinx)dx=- f (sin x)dx,并求 2xSinx一厂 dx.2 0 '0 3sin2x 4cos2 x五、(10分)|arctanx-arctany|,又 f(1)=0,设f(x)在区间0,1上可积,当0 x<y 1时,|f(x)-f(y)|-11求证：|°f(x)dx| -ln 2.六、(10分)x y 0x 3y 1 0求过点(11, 9, 0),而与两直线Li :、L2 :相交的直线方xyz40y z 2 0程.七、(10分

8、设f(t)连续函数,求证 f(x y)dxdyAI I I A AAf(t)(A t)dt,D:x 2 y 1江苏省第四届(2002年)高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)、填空题(每题 5分,共40分)1.xm0,1 x . 1 xJ x223 .设 f(x)=_22.函数 f(x)= X3x 2 x x的不可导点的个数为4.(本三考生做)设变量x,y,t满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f, F的一阶偏导数连续,那么dy一=.dx,_ ,1 1 (专科考生做)设岖)的导数连续,且f (0) =0,那么lim f(xt)dtx 0x 02x z 1 十5(本三考生做)直

9、线l过点 M (1,-1, 0)且与两条直线11:和x y 3z 5x 2 t,l2: y 1 4t,垂直,那么l的参数方程为. z 36. ln x dx .2n 12,x ax bx7 .设 f (x) lim 加(n N),极限 limf(x)与 lim f(x)都存在.,那么nx 1x 1x 1a、b8 .设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f (a) 2, g (a) 3 (a 0),那么 f ( a) g ( a).、(9分)求 lim sin( vn2n).、(9分) 为正常数,使得不等式 xex对任意正数x成立,求 的最大值.四、设函数f (x)在a,b上二阶可导,对于a,

10、b内每一点x, f (x) f''(x) 0,且在a,b的子区间上f (x)不恒等于零.试证f (x)在a,b中至多有一个零点.o 1o 2五、(9 分)设连续函数 f (x)满足 f(x) = x x 0 f (x)dx x ° f (x)dx,求f (x).1 x六、9分设fx x x x表布不超过x的最大整数,求极限lim 1 fxdx.x x 0七、9 分有一形状为直角三角形的薄铜片,其密度fx,y k1 x 2y,x 0, y 0,1 x 2y 0,k为常数.今 从中截取一矩形铜片该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上使其质量最大,求该矩形铜片质量与原直角三

11、角形铜片质量之比.这里假设八、6分地面虽然不太平坦,但请证实一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳 小方凳四条腿的端点 A, B, C, D为正方形四个顶点.江苏省第五届(2000年)高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题(有改动)、填空题(每题 3分,共15分)一 d 311. 一f (x3),那么f (x) dxx12. lim(tan x)1nxx 0Q1 X3. - dx .x . x2 14 .设z z(x,y)由方程F x y, y z, z x 0所确定,F为可微函数,那么z zx ya,5 . f(x) f ( x)sin xdx a二、选择题(每题 3分,共15分)2xe 1 一

12、1.函数f(x)的可去间断点为()x(x 1)A、x 0,1B、x 1 C11 y2.改变积分次序 0 dy 丫21f (x, y)dx (A、1dx cf(x,y)dyc 0dx .1Ff(x,y)dyD、x 0 D 、无可去间断点)0- fx11 xB、1dx 0f (x, y)dy 0dx ° f(x,y)dy11 x、1dx cf(x, y)dyB、连续但不一定可微D、不一定可微也不一定连续处取()eB、极小值 一23 .设f(x)可导,F(x) f (x)(1 sinx),欲使F(x)在x 0处可导,那么必有()A、f (0)0B、f (0)0C、f (0)f(0) 0D、

13、f(0)f (0)04 .假设事去而都存在,那么f(x,y)在%*是()A、连续且可微C、可微但不一定连续.2x 2, ,15 . f (x,y) e (x y 2y)在点一,12eA、极大值 一2C、不取得极值D、极小值e三、(8分)设2ln(1 x) (ax bx )x2 t2-e dt0dx ,2 ,求常数a,box(ln x)2四、(6分)设z (1xy)y,求 dz(1,1).五、(6分)f (x)g(x)设f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且对于(a,b)内的一切x均有f (x)g (x) 0,证实：假设f (x)在(a,b)内有两个零点,那么介于这两个零点之间

14、,g(x)至少有一个零点.六、6分计算二重积分|y x2 |dxdy,其中积分区域 D:x 1,0 y 2.D七、8分过抛物线 y x2上一点a,a2作切线,问 a为何值时所作切线与抛物线y x2 4x 1所围成的图面积最小？八、6分当x 0时,Fx ：x2 t2fdt的导数与x2为等价无穷小,求 f 0.,、一1.九、(8分)计算 -dx .022(1 x )(1 x )十、8分求两直线y 2x和y x 3之间的最短的距离.1 z x卜一、6分5+ x求F8xx ,dx.1十二、8分设f(x)在(上连续,且满足f(t) 222x yt2(x2 y2) f G/x2y2)dxdy t4 ,求

15、f(x).江苏省第六届2002年高等数学竞赛本科三级,民办本科竞赛试题、填空题每题5分,共40分c(c 0),那么 k,c2.设f(x)在1,+)上可导,以下结论中成立的是 .A.假设 lim f (x) 0,那么 f(x)在1,+)上有界x +B.假设 lim f (x) 0,那么f(x)在1,+)上无界x +C.假设 lim f (x)=1,那么 f(x)在1,+)上无界x +3. 设由 e y x(y x) 1 x确定y=y(x),那么y (0) .4. (arcsinx arccosx)dx .1 .5. dx .4 . x(1 x)26.z f()g(ex,sin y), f的二阶导

16、数连续,g的二阶偏导数连续,那么 xx y1 3 x7 .交换积分次序0 dx x2 f (x, y)dy .8 .函数f(x,y)=2x-y+1满足方程x2 y2 5的条件极大值为,条件极小值为二、(8 分)ba设f (x)在0 ,+ )上连续且单调减少,0 a b,证实：a a f(x)dx b ° f(x)dx.三、(9分)设 f(x)=kx+sinx.假设k 1,求证：f(x)在(-,+ )上恰有一个零点；假设0<k<1,且f(x)在(-,+ )上恰有一个零点,求常数k的取值范围.四、(8 分)求 2exUinxdx.01 cosx五、(9 分)设 f (x, y

17、),1,、yarctan-2 ,(x, y).x y(0,0)一 _,试讨论f (x, y)在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性.0,(x, y) (0,0)六、(8分)设z f (x, y), x(y), f的二阶偏导数连续,可导,d 2z(y求全导数1.dx七、(9分)设 f(u)在 u=0可导,f(0)=0,D:x2 y2 2tx, y 0,求 Jm土 f (Tx'y2 )ydxdy ° t D八、(9 分)求 |sin(x y) |dxdy, D : x 0, y 0,x y 一 d2江苏省第七届2004年高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题填空题每题5分,共

18、40分4.limn1n2 4.n2 1622n 4n2.limxxarctan! xx2k3 .右x 0时,x sin xcosxcos2x与cx为等价无否小,贝U c 4 . f x x4 ln 1 x ,那么 n 4 时,f n 0.x 一.5 .设函数 z arctan ,贝U dz1, 1 yx sin xcosx , 6. 2-dx .cosx xsin xa7. f x f x sin xdx a8.设 d ：x ,yx 0 x 10 其他f y f x y dxdy D、10分设f x在a,b连续,在 a,b可导；f aba, f xadx证：在 a,b内至少存在一点u ,使得f

19、' u f u u 1.、10分设D：y2 x24, y x, x y 2, x y 4.在D的边界y x上任意取点22一P,设P到原点的距离为t,作PQ垂直于y x交D的边界y x 4于Q.求：1将P,Q的距离PQ用t表示；2将D绕y x旋转一周所得立体的体积.四、10分设f x在 ,上有定义,f x在x 0处连续,且对一切实数 不？2有f x1 x2 f x1 f x2 ,求证：f x在 , 上处处连续.一、一 1_上恰有一根,求k的取值范围.五、10分设k为常数,方程kx 1 1 0在0,六、10 分设 fx,y 可微,f 1,21, fx 1,22, fy 1,23,x f f

20、 x,2x ,2 f x,2x ；求 12o sin x"4. f x 1 x x e ,那么 f0 .5.设函数由 x zeyz确定,那么 dz e,0.6.函数f x, y e x ax b y2中常数a, b满足条件 时,f 1,0为 其极大值.七、10 分求 d 2 1 e d0 2江苏省第八届2006年高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题二、 填空题每题5分,共40分2c22.12n1 - lim -tt-LT- 32.nm n1n2n nx 1 t22. 那么./ 1dt -3.假设 |im Mx2 3x 2 ax b .,贝U a ；b . x7.交换二次积分的次序2

21、dxex1xx, y dy一 dxdy y228.设 D： 2x x、8分设f x2axbsin xc, x0、问:0a,b,c为何值时,函数在x 0处一阶导数连续,但二阶导数不存在?三、9分过点1,5作曲线 ：y x3的切线L.的面积；3 D的x 0局部绕x轴求：1 L的方程；2 与L所围平面图形D 旋转一周所得立体的体积.四、8分f x在区间0,上有连续的导数,1；证实:ex1, x 0,五、8分1 arctan x r dx0 1 x六、9分设圆柱面x2y21, z 0被柱面z x2 2x 2 ,及平面z 0截下的部分为.为计算的面积,用铁片制作了的模型,A 1,0,5 ,B 1,0,1

22、 ,C 1,0,0为上的三点,现将 沿线段BC剪开并展开为平面图形 D.建立平面直角坐标系,使得D位于x轴的正上方,且点 A 1,0,5的坐标为0,5 .求：1 D的边界方程；2求D的面积.七、9分用拉格朗日乘数法求函数 f x, y x2 V2xy 2y2在区域x2 2y2 4上的 最大值与最小值.八、9分设D为y x；x -； y 0所围的平面图形,求,2cos x y dxdyD江苏省第九届2021年高等数学竞赛本科三级竞赛试题1、假设ljmax 2 xarctanxbx x一,那么a2; b 填空题每题5分,共40分2、lim1nm k 1 k k 3'3、f x x x 1

23、x 2 x 100 ,那么 f 1004、常数a , b的阶数最高.时,f x ax x2 -x在 x1 bx0时,关于x的无穷小5、2 sin2 x cos3 xdx06、dxnxz7、设 z ,那么一-| 2,1x y y8、设 D：由 y x, x 0 , y1 所围,贝Uarctan ydxdyD、8分设数列 xn为：x1 1,xn 1<6 xn ；求证：数列 xn收敛,并求极限.、8分设f x在区间a,b上连续,f x dx 0.a证实：存在 a, b ,使得 f x dx f .aa2, 0 a b绕直线x 3b四、8分将xoy平面上的曲线 x b 2 y2旋转一周所得立体的体积.五、8分设f x, y 222 x yx y 2 x, yx y0x, y0,0讨论f x,y在0,0处的连0,0续性,可偏导性,可微性.六、10分曲面4x2 4y2 z21与平面z x y 0的交线在xoy面上的投影曲线为一椭圆,求该椭圆的面积七、8分在平面 ：x2y z 20内作直线,使过另一直线L ： x 2y