2020年中考专题练习梯形的存在性问题

1、最新 精品Word梯形的存在性问题内容分析梯形是相对限制较少的一类四边形， 要使得一个四边形是梯形，只需要有其 中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较 高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利 用各个条件，才能求出最后的结果.知识结构MiM2C模块一：一般梯形的存在性问题知识精讲1、知识内容:梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多， 在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC,另一点M在某固定直线上，形成的四边形 ABCM为梯形，则会有两种情况：AM/BC;CM/AB,如图所示。2

2、、解题思路：(1) 根据题目条件，求出已知 3个点的坐标；(2) 分情况进行讨论；(3) 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；(4) 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；(5) 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答.注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等.例题解析2 o【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线y - x bx c与x轴交于点A ( 1,0)和点3B,与y轴交于点C (0,2).(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点E为该抛物线的对称轴与 x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；(3)点D为该抛

3、物线的顶点，设点 P (t, 0),且t > 3,如果 BDP和 CDP的面积相等，求t的值.【答案】见解析.【解析】(1)将A、C代入抛物线解析式，一，2 24解得抛物线解析式为：y -x -x 2 .33对称轴为：直线x 1 .(2) E点为(1, 0),分情况讨论： AC / EF直线AC的解析式为y 2x2.，直线EF的解析式为y 2x 2.，与对称轴的交点为（1, 0）,与E点重合（舍）. AF / CE直线CE的解析式为y 2x 2 ,，直线AF的解析式为y 2x 2 .，与对称轴的交点为（1,4）.F 点为（1 , 4）.综上，F点为（1, 4）.（3）抛物线顶点D为1,

4、8 ,与x轴另一交点B为（3, 0）,3当 BDP和 CDP的面积相等（t > 3）时，有BC / DP.2直线BC的解析式为y 2x2,3，八一，,210直线DP的解析式为y -x -0 . 33解得：P点为（5, 0）,即t的值为5.【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结.【例2】在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx c过A(1,0)、B(3,0)、C (2,3)三点，与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；(2)分别联结AD、DC、CB,直线y = 4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求

5、 m的值；(3)设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标.【答案】见解析.【解析】解：(1)二函数过点A (-1, 0), B (3, 0),可将函数设为y a x 1 x 3 .2将C(2, 3)代入，可得函数解析式为：y x 2x 3,对称轴为x=1 ;(2)函数与y轴交点D为(0, 3).四边形ABCD为梯形，下底 AB = 4,上底CD = 2,直线y = 4x + m要平分ABCD的面积，必与 AB、CD均有交点，分别设为 M、N.，M的纵坐标为0, N的纵坐标为3.、， m3 m c二. M 为一,0 , N为,3

6、.44一,11可得 AM DN - AB CD 3 , 2解得：m 5 ； 2(3)分三种情况讨论当CF/AB时，AB的解析式为y=0,所以F点纵坐标为3, F点为(1, 3);当AF/BC时，BC的解析式为y 3x 9 ,所以AF为y 3x 3, F点为（1,-6）;当BF/AC时，AC的解析式为y x 1 ,，BF为y x 3 ,，F点为（1 , -2）;综上，F点可能为（1, -6）或（1, 3）或（1,-2）.【总结】本题一方面考查有关面积的计算，另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结.模块二：特殊梯形的存在性问题知识精讲1、知识内容：特殊梯形主要分成等腰

7、梯形和直角梯形两种.对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件.2、解题思路：直角梯形：(1) 根据题目条件，求出已知 3个点的坐标；(2) 寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；(3) 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；(4) 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标;(5) 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答.等腰梯形：(1) 根据题目条件，求出已知 3个点的坐标；(2) 分情况讨论；(3) 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；(4) 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标;(5) 验证所有形

8、成的梯形是否等腰，并作答.例题解析【例3】 如图，二次函数 y ax2 4的图像与x轴交于点A和点B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,且cos CAO . 2(1)求二次函数的解析式；(2)若以点。为圆心的圆与直线 AC相切于点D,求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1)AO = CO.根据y ax1 2.A点坐标为cos CAO 二24与图像，可得C点坐标为(0,(-4, 0),代入解析式,当OP/AD时，AD解析式为y x 4 OP解析式为

9、y x .y x1 2,解得:y x 442 2 5 (不为直角梯形，舍)2 2 5x2 2.5y2 25当AP/OD时， OD解析式为y x,，AP解析式为y x 4.x 41 2,解得x 44x 8 x或y 12 y(与A重合，舍)综上，P点坐标为2 2屈,2 2而或（8, -12）.【总结】本题主要考查二次函数的综合,注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.【例4】 如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，6OM = 6, ON = 3,反比例函数y 2的图像与PN交于C,与PM交于D,过点C作CAx轴于点

10、A,过点D作DBy轴于点B, AC与BD交于点G.(1)求证：AB / CD ;(2)在直角坐标平面内是否若存在点E,使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点 E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】(1) .矩形 OMPN , OM = 6, ON = 3,，点 P (6, 3).点C、D都在反比例函数 y 6图像上， x且点C在PN上，点D在PM上,点 C (2, 3),点 D (6, 1),又 DB，y 轴，CA，x轴,A (2, 0), B (0, 1). BG = 2, GD = 4, CG = 2,AG = 1AG BGGC GD，(2)PN

11、 / DB, .当 DEi = BC 时,四边形BCEiD是等腰梯形,此时 Rt CNB 且 Rt E1PD , PE1 = CN = 2,，点 Ei (4, 3);.CD AB,当E2在直线AB上,DE2 = BC = 272 ,四边形BCDE2为等腰梯形,1直线AB的斛析式为y x 12，设点E2（X,1-X21-X28,解得：X1285X24 （舍去）E2 ( 28 ,5综上所述，点E的坐标为（4, 3）或（”,5【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题,1)小问中也可利用解析式来判定平行，第（2）小问注意看清题意，已经已知腰，所以分两种情况讨论.【例5】 在平面直角坐标系xOy中

12、，二次函数y 1x2 bx c的图像与y轴交于点A,与双 3曲线y 8有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l x轴，与该二次函数图 x像交于另一点 C,直线AC的截距是 6 .(1)求二次函数的解析式；(2)求直线AC的表达式；(3)平面内是否存在点 D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由.【答案】见解析.【解析】(1)把* 4代入y e ,得y 2 .，点B的坐标为(4, 2). x直线AC的截距是 6, 点A的坐标为(6,0).1 2一次函数的y -x bx c的图像经过点A、B, 3116 4b c 2b，可得：3,解得：c

13、6c二次函数的解析式是 y 1x2 2x 6. 33(2) BC / x轴，点 C的纵坐标为2.把 y 2 代入 y 1x2 2x 6, 33解得：x 4, x 6 . (4, 2)是点B的坐标，点 C的坐标为(6,2).设直线AC的表达式是y kx 6 ,4点C在直线AC上，. k -.3，直线AC的表达式是y x 6 .3（3）当BC / ADi时，设点Di的坐标是（m,6）,一2由 DiC AB,可得：6 m 64 16 64 ,解得：m 2 , m 10 （舍）.，点Di的坐标是（2,6）.422当AC / BD2时，可得：直线 BD2的表达式是y -x 2 .33422.设点D2的坐

14、标是（n,-n 一），由AD2 BC ,332可得：n2-n 6100,解得：n1 14 , n2 10 （舍）.335.点D2的坐标是（1418）5 ' 5 AC = BC >CD3 / AB不存在.综上所述，点D的坐标是（2,6）或（:，18）.【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式，从而求出点坐标.随堂检测【习题1】如图，已知 A、B是双曲线y 2上的两个点，A、B的横坐标分别为 2和一1,xBC，x轴，垂足为C.在双曲线上是否存在点 D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形 是梯形？如果存在，求点 D的坐标；如果

15、不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：由题意，可得A点坐标为（2, 1）, B点坐标为（-1,-2）, C点坐标为（-1, 0）.若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，可分情况讨论:当AD/BC时,已知此情况下,当CD/AB时,AB解析式为y1,.CD解析式为y D在双曲线上,xy x 12 yx解得:当BD/AC时,.AC解析式为y BD解析式为y1-x 3 D在双曲线上,15-x 一332解得:（与B重合，舍）或综上,D点坐标可以为（1 ,2)或(-2,-1)或 6,- 3【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性,注意利用平行求出函数解析式，从而联立解析式求出点的坐标.【习

16、题2】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(- 1, 0)和点B(3, 0), D为抛物线的顶点，直线 AC与抛物线交于点 C(5, 6).(1)求抛物线的解析式；(2)点E在x轴上，且 AEC和 AED相似，求点 E的坐标；(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为 16,试求点F的坐标.【答案】见解析.【解析】(1)二抛物线过点 A (-1, 0)与点B (3, 0),，设抛物线为yax 1 x 3 ,将点 C (5, 6)代入, , ,1 23得抛物线解析式为：y -x2 x 22顶点D坐标为(1,-2);(2)分别过 C、D作CM、DNx轴于

17、 M、N,计算可得，AN = DN = 2, AM = CM = 6.DAN CAM 45 .又因为AE公共边，此两角为相似三角形对应角.D AD AC ,AC AE-AE ADACEs AED . AE 2V6 .，E点坐标为 1 2而,0或 1 2而,0 ;(3)可得，AD 2应，AC 6 V?, CAD 90 ,分情况讨论: 当DPAC时，二.梯形 CADF面积为16,此时DF直线为y x 3,且DF 22. . . F点坐标为(3, 0).当CFAD时，一一 2 -. . .17 16.CF 为 y x 11,且 CP -V2 ,，F 点标为 一，一 33 3当AF/CD时，此时不可能

18、.八， ,17 16综上，F点可能的坐标为(3, 0)或一,一3 3【总结】本题综合性较强，考查的知识点较多，包含了二次函数的性质，相似的性质以及梯形的有关性质，解题时注意分析.课后作业【作业1】已知二次函数的图象经过 A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线 x = 4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点 P的坐标;(2)如图1,在直线 y = 2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形？若存在,(2,x求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1) ;对称轴为x = 4,且抛物线过，B点坐标为(6, 0),设抛物

19、线为y a x将C (0, 12)代入，解得抛物线解析式为：y x2 8x 12 ,顶点P坐标为(4, -4);(2)若存在满足题意的 D点，直线BP解析式为y 2x 12. .BP/OD.，OP=BD.设D点为(d, 2d),OP 芳4 4& , BD J 6 x 2_0 2x2 .d6 x 20 2x 2 42 ,解得：x 2 (此时为平行四边形，舍)或 x 25 2 4 D 点为一，一 5 5即当D点坐标为 -,4时，四边形OPBD为等腰梯形.5 5【总结】本题主要考查二次函数的综合运用，求出二次函数解析式，研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键【作业2】如图，已知二

20、次函数 yx2 2mx的图像经过点 B (1, 2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛物线对称轴的对称点为C,过点B作直线BMx轴垂足为点 M.(1)求二次函数的解析式；3(2)在直线BM上有点P(1,3),联结CP和CA,判断直线CP与直线CA的位置关2系，并说明理由;(3)在(2)的条件下，在坐标轴上是否存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1)将B(1, 2)代入解析式，解得函数解析式为：yx2 3x .(2)抛物线的对称轴为x 3 .2.A 点为（3, 0）, C 点为（2, 2）, M 点为（1, 0）.连接BC ,过C作CH，OA于H ,1可得 BC 1 , BP - , CH 2, AH 1 . 2BC HCBC HC ,又 CBP CHA 90 , BP HACBPs CHA , BCP HCA .PCA 90 , CP± CA.（3） PC