八年级数学下册18.2.3第2课时正方形的判定教案

1、第2课时正方形的判定小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确 呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定类型利用“一组邻边相等的矩 形是正方形”证明四边形是正方形1 .掌握正方形的判定条件；（重点）2 .能熟练运用正方形的性质和判定进 行有关的证明和计算.（难点）一、情境导入老师给学生一个任务： 从一张彩色纸中 剪出一个正方形.小明剪完后，这样检验它：比较了边的 长度，发现4条边是相等的，小明就判定他 完成了这个任务.这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验： 量对角线，发 现对角线是相

2、等的，小兵就认为他正确地剪 出了正方形.这种检验对吗？如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90°, CD 为/ ACB的平分线，DELBC于点 E,DF XAC于点F.求证：四边形CEDF是正方 形.解析：要证四边形 CEDF是正方形，则 要先证明四边形 CEDF是矩形，再证明一组 邻边相等即可.证明：.CD 平分/ ACB, DEXBC, DF XAC, DE = DF , Z DFC =90°, / DEC = 90°.又. / ACB=90°, .四边形 CEDF 是 矩形.DE = DF, .矩形CEDF是正方形.方法总结：要注意判定一个四边

3、形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.类型二 利用“有一个角是直角的 菱形是正方形”证明四边形是正方形解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下： EF 垂直平分 BC, BF=FC, BE=EC, .Z 3=Z I.1. / ACB=90° ,，/3+/4 = 90°, Z1 + Z2=90°, .-.Z2 = Z4, .-.EC = AE, BE= AE. / CF = AE,，BE=EC=CF = BF,，四边形BECF是菱形；(2)当/A=45°时，菱形 BECF是正方 形.证明如下：.一/ A=45°, /ACB=90°

4、;, .,-7 3=45°, ./ EBF = 2Z3=90°, .菱形 BECF是正方形.方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；还可以先判定四如图，在四边形 ABFC中，/ ACB=90°, BC的垂直平分线 EF交BC于点D ,交AB 于点E,且CF = AE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当/ A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定.探究点二：正方形的判定的应用类

5、型正方形的性质和判定的综 合应用解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上 的点到线段两个端点的距离相等，有BE =EC, BF = FC" CF = AE, .可证 BE= EC =BF = FC.根据“四边相等的四边形是菱 形”，四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当 /ABC = 45°时，/EBF = 90°,有菱形为正 方形.根据 “直角三角形中两个角锐角互 余”得/A=45°.如图，点E, F, P, Q分别是正方形 ABCD 的四条边上的点，并且 AF = BP=CQ = DE. 求证：EF=FP=PQ=QE;(2)四边形EF

6、PQ是正方形.解 析： (1) 证 明 apfa dfea ceqa BQP,即可证 得 EF=FP=PQ=QE; (2)由 EF = FP=PQ = QE,可判定四边形 EFPQ是菱形，又由 APFABQP,易得/FPQ = 90°,即可证 得四边形EFPQ是正方形.证明：(1)二.四边形 ABCD是正方形，A=Z B=Z C=Z D = 90°, AB=BC =CD = AD.AF= BP=CQ= DE,，DF = CE = BQ = AP.在APF 和ADFE 和 CEQ 和AF =DE = CQ = BP, BQP 中， / A= / D=/ C=/ B, ap=d

7、f = ce = bq,apfa DFEA CEQA BQP(S AS) , EF=FP=PQ=QE;(2) . EF = FP = PQ = QE , .四边形 EFPQ 是菱形.-. APFABQP, Z AFP =/ BPQ. / / AFP + / APF = 90°,. / APF + Z BPQ=90°,FPQ = 90°, 四边形EFPQ是正方形.方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意解题 的 关 键 是 证 得 APFA DFEA CEQA BQP.类型二与正方形的判定有关的综 合应用题如图，4ABC中，点O是AC上

8、的一动点， 过点 O作直线 MN / BC,设 MN交/ BCA 的平分线于点E,交/ BCA的外角/ ACG的 平分线于点F,连接AE、AF.(1)求证：/ ECF = 90°(2)当点O运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形， ABC应该满足条件： (直接添加条件， 无需证明).解析：(1)由CE、CF分别平分ZBCO 和/GCO,可推出 / BCE= / OCE, /GCF1= /OCF,则 / ECF = 2* 180 = 90 ; (2)由MN / BC ,可得 / BCE = / OEC , / GCF = /

9、OFC,可推出 /OEC= /OCE, /OFC = ZOCF,得出EO=CO=FO,点O运动到 AC的中点时，则EO = CO=FO = AO,这时 四边形 AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到 的结论，点O运动到AC的中点时，1.AABC 满足/ ACB为直角时，则推出四边形 AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF是 正方形.(1)证明：.CE平分/ BCO, CF平分 / GCO ,/ OCE = / BCE , / OCF =习惯.，一 ，一 1。ZGCF, ECF = -X 180 = 90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四 边形AECF是矩形.理由如

10、下：.MN / BC,/ OEC = / BCE , / OFC = / GCF.又 / OCE = / BCE , / OCF = / GCF , ./ OCE = Z OEC, / OCF = Z OFC, EO = CO,FO=CO,，OE = OF.又当点。运 动到 AC的中点时，AO = CO,一.四边形 AECF是平行四边形./ECF = 90°, 四 边形AECF是矩形.(3)/ACB=90 °.方法总结：在解决正方形的判定问题 时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线.从中发现与正方形有关联的条件求解.三、板书设计1 .正方形的判定方法一组