数列培优讲义(1)

1、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义an+1-an=d(nNl)； an-anJ=d(n > 2)a ,a3=q(n > 1), j=q(n > 2)anan-l2、通项 公式an = 4 + ( - l)da = a + (a m)d(n, m g N*) 12Bat=acqat=aniq3、前n项和S" 2 nn -1)S小 +2'q=l ,Sn=na,;is =(h) n i-q H4、中项a、A、b成等差数列。A=坐；an是其前k项an.k与后k项ak的等差中项， 即：a° = a.k ；n+k_4 Aa、A、b成等

2、比数列O= a A（不等价于A.ab,只能=）ian是其前k项an.k与后k项ak的等比中项，即：a台5、下标和公式若 m+n=p+q,则以 + q” =% + a(/特别地，若 m+n=2p,则 am+an = 2ap若m+n=p+q,则Q j。“ = dp见特别地，若m+n=2p,则 a)n= q j6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾 两项的和，即：“+a“ = +an-= =ak+等比数列的第k项与倒数第k项的积等于 首尾两项的积，即：Cl ' Cln = Cll , “I ="“ID7、结论a为等差数列，若叫n, p成等差数列，则a“，a“q成等差

3、数列 Un为等比数列，若叫n, P成等差数列，则a"成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列）人”的公差分别为，/, e,则数现4+b,也为等差数列，公差为+e（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列 4,打,的公比分别为p,q,则数列a., /?J仍为等比数列，公差为 pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的 新数列仍为等差数列，且公差为24取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新 数列仍为等比数列，且公比为若Am=n,an=m(m Wn),则册=0无此性质；若Sm =n,Sn =m(m ¥ n),则 S”心=一(? + n)无此性质；若 S,” = 

4、3;9*)，则 $时,” =°无此性质；Sm，S2mSm>Sam - S2m，成等差数列，公差为 12 dS”，S2bsM £加一 S2“J成等差数列，公比为q当项数为偶数2时，£禺一snds -=S 偶 Q+i当项数为奇数2 -1时，右-跖=a中S2“T（2 1）。中'1S偶 1当项数为偶数2时，s = qs .当项数为奇数2 一1时，S奇=。| +。偶8、等差（等比） 数列的判断方 法定义法：4 - a=d 2 2）等差中项概念；24=4T + （刀之2）函数法：an = pn + q（p, q为常数）关于n的 一次函数。数列区是首项为p+q,公

5、差为p （* 0）的等差数列；数列伯口 的前n项和形如s“ =（/ + bn（a，b为常数），那么数列a"是等差数列，定义法：& "等差中项概念；44+2 =q：（4“，O） 函数法：4” =cq （c, q均为不为0的 常数，eN+）,则数列%是等比数列. 数列伊"的前n项和形如 Slt=Aqn-A（A, 4均为不等于。的常 数且qWl）,则数列是公比不为1的 等比数列.9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列等差数列一、填空题1 .在等差数列中已知ai=12z朋=27,则d=2 .在等差数列中已知4 = 一！，a7=8,则a尸33 .（4+匕了与5一

6、力了的等差中项是4 .正整数前n个数的和是5 .数列q的前n项和S.=3 2,则勺=二、选择题1 .在等差数列4中% +”11 = 4。，则%出 +4+“7 +。8 - “9 +”10的值为（）A.84B.72C.60D.482 .在等差数列”中，前15项的和S15=90，册为（）A.6B.3C.12D.43 .等差数列an中，卬+/=一24, +须+%（）= 78,则此数列前20项的和等于A.160B.180C.200D.2204 .在等差数列q中，若%+%+%+4+4=450,则%+4的值等于（） A.45B.75C.180D.300三、计算题1 .根据下列各题中的条件，求相应的等差数列q

7、的有关未知数：（1） % =*"/= 一5,求 n 及"“：（2） </ = 2, = 15,% =-10，求及S 662 .设等差数列的前n项和公式是S,=5“2+3，求它的前3项，并求它的通项公式3 .如果等差数列。的前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n项和的公式。等比数列一、填空1 .若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是2 .在等比数列'中，若产，工二瞪，则为若 Hi + a? + 23=-3, a1a2a3=8，则 S4=3 .在等比数列3。中,(1)若 a； alc=5,则 as a9 a10 an=：若 ai + a

8、?=324, a3+ai=36,则 a5+a$=：4 . 一个数列的前n项和Sn=8一3,则它的通项公式&n=一.二、选择题3、已知an是等比数列,且an>o, a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么+的值等于A. 5 B. 10C. 15 D. 204、 .等差数列&n的首项a：=i,公差dwo,如果ai,a2, a5成等比数列，那么d等于 A. 3 B. 2 C. -2 D. 2 或-25、 .等比数列an中，氏+ 氏 = &7一&尸48,那么这个数列的前10项和等于A. 1511 B. 512 C. 1023 D. 10246、 .等比数列中，a

9、2=6,且a2aa3=T2,则须等于a. 6 B. 6 , (-l)n< c. 6 2n< d. 6 或6 (T)x或 6 2数列的通项求法一、知能要点1、求通项公式的方法：观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式”：Sic = l ,利用前n项和与通项的关系an=, 、ISn-Sc 1n>2 :公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如onil-an=f(n).累积法，如与'=/(")：转化法：an=Aan+B(AO,且AX).公式法1、等差数列公式q = q推论公式：an = am + (n- m)d(n, me n > m

10、)例1、(2011辽宁理)已知等差数列/满足。2=0,期+。8=；0(I)求数列外的通项公式;2、等比数列公式4 =401推论公式：an = amqnm(nfm e N“且n > m)例2. (2011重庆理)设仅“是公比为正数的等比数列，q=2, 4="2+4。(I)求4的通项公式二、知能运用典型例题考点1:求数列的通项题型 1 an=an+ f(n)( 解法：把原递推公式转化为-% =/()，利用累加法(逐差相加法)求解。【例1】已知数列*满足/, /+=&+二一，求明。2 n + n题型2N=/()/(累乘法解法：把原递推公式转化为也= /()，利用累乘法(逐两相

11、乘法)求解。 %例2 已知数列/ 满足6 =,册7=% ,求品3 7? + 1题型3 a2=P4+g(其中p，q均为常数，且夕(一 1)工。)0 (构造等比数列) 【例3】已知数列%中，6/1=1,。计=24,+3,求明0【题型4=（构造等差数列）【例4】已知数列明中，6=24川=!“+（?严，求明。o 225避王公式，.七系；（或S, =/（）解法：这种类型一般利用%S(n= 1)WSt(心 2)9【例5】已知数列册前n项和Sa = 4 % -白 乙求明川与%的关系：（2）求通项公式.题型6倒数法一般地形如=一七一、4 =q- -4等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项

12、公式。例11 .己知数列研满足：s = l,a =3f7/r -1 + 1,求卜加的通项公式。题型7对数法 例14、若数列%中，“小3且6田(n是正整数)，则它的通项公式是叫=数列求和常用的方法(1)公式法: s一 ”212q (q = 1)(X)(2)裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以 下常见的裂项：一_ = 土_ n(w + l) n /i + l-)(+) k n n + k小 111/1I、1111111(3)-r < -;= ()；=< -r <=k2 k2-1 2 k-l k + 1 k k + l (k + l)

13、k k1 (k-l)k k-l k1= i-!1n(n +1)( + 2) 2 n(n +1) (n +1)( + 2)G + J + l4n G + yjn l(3)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常 选用错位相减法（这也是等比数列前n项和公式的推导方法）.倒序和加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其 共性的作用求和（这是等差数列前n项和公式的推导方法）.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时，常将”和式中"同类项先合并在一起，再运用公 式法求和.题型1公式法例1已知册是公差为3的等差数列，

14、数列也满足伉=1也=；，。也7=叫/（1）求“的通项公式；求4的前项机题型2裂项求和【例2】S”为数列“的前项和.已知4>0,4s “+3.求4 的通项公式：（2）设“=一，求数列2的前项和.的计题型3错位相减求和【例3】已知数列勺和bn满足，4=2e=1,2+=2%(111),.1. 1. 1.4+十-l(n e N*).求4与2： (2)记数列anbn的前n项和为7；,求7；.题型4分组求和【例4】已知的是等差数列,满足ai=3, g=12,数列瓦满足4=4,加=20,且例”一如为等 比数列.(1)求数列S”和瓦的通项公式：(2)求数列瓦的前项和.，的前项和为一 2/7 + 1针对训

15、练题1、己知数列“是首项为正数的等差数列，数列丁(1)求数列0的通项公式:设年=d+1),2%，求数列么的前项和却2、己知数列斯的前项和&=中，二N：(1)求数列斯的通项公式：(2)设bn= 24 +( 1)%,求数列为的前2”项和.13、等比数列4的各项均为正数，且2©+3/=1"T =9生必(1)求数列4的通项公式： 设 /? = log3 + log3 a2 + + log?4“，求数列, :，的前。项和.4、在公差为d的等差数列4中,已知。1=10,且矶左2+2,5成等比数列.(1)求d,如；(2)若d<0,求同+画+|。3|+.+同.5、已知册是首项

16、为1,公差为2的等差数列，S,表示的前项和。(2)设数列j求明及;的前项和为，求证：当 eN,都有成立。n+ 6、已知数列«的前项和33/+M,但是等差数列，且 =+/储.求数列的通项公式;令q =a+1)血+2)丁.求数列q的前“项和Tn.2 分数列求和常用的方法【例 1】解：(1)依题 462+62=61，bi=l, b2=- » 解得 s=2 3通项公式为 an=2+3(n-l)=3n-l.6 分(2)由同知3"bn+i="bc，bn=-bn,所以6是公比为，的等比数列.9分7" 3 1所以仇的前n项和Sn= 9=-.12分112 2x3

17、3例2解析：%=2 + 1 ：(2)由知,=一()(2+ 1)(2+ 3) 2 2n +1 2n + 3所以数列么前n项和为 ) + + ( 72/z +1)二2 + 36 4/?+ 6例 3 解析：(1)由 % = 2, %.1=2a，得 an = 2n.当 =1时，。"一 1,故/入=2.B/当 22时，Lb“=b”.b”,整理得生£ 二匕1,所以 bn 由知，。也=小2"所以=2 + 222 + 32+.+ 小2"27；i=22 +2-23+3-24+. + (n-l)-2/, + n-2,+,所以 7； - 27； = 7； = 2 + 2? +

18、 2' + + 2” - 2n+1 =(l-n)2n+, - 2所以 7；=(-1)2向 + 2.【例4】解：(1)设等差数列斯的公差为d,由题意得£74r7112 3d=3.所以。力=。1 + (-l)d=3( = l, 2,).设等比数歹|Jb一为的公比为g，由题意得n 儿一内 20-12. 心 c9=无二面=丰1=8'解付q=Z所以瓦一斯=(比一。1)/-1=2厂1.从而丛=3+2厂i(=l, 2,).(2)由(1)知丛=3"+2厂 1(=1, 2,).312W数列3的前项和为¥(+1),数列21的前“项和为1乂尸=2力一1,3所以，数列丛的

19、前，项和为¥(+1)+2力-1.练习答案1【解析】(1)设数列k/“的公差为4,令 =1,得一!一=1,所以44)=3 aAa2 311?令 =2,得+=,所以必=15.cixk 必 5解得4=1/= 2,所以%=2-1.(2)由(I)知a=2"i=4",所以 7； =1.4i+24?+. + 小4”,所以 4r =1闻2+243+. + (-1)4"+小4向，两式相减，得-37；, =4'+42+. + 4" -小 4,+,f3=匕4T 1-433,所以片宇句子小(K-1) 2+(” 1)22 解:(1)当 ”=1 时，m=Si =

20、l：.W2 + 77当后2 时，=SW-SW-1=5故数列而的通项公式为(2)由(1)知，仇=2"+(-1)，.记数列瓦的前2项和为An， 则 b=(2+2+2沙)+( 1+23+4 .+ 2).记4=21+22+.+2叫 8= - 1+2-3+4-+2,则,4 =2 (IT")1-25=( -1+2)+(3+4)+(2”- 1)+2=加故数列儿的前2项和八”=.4+8=22"+1+-2.3解析：(1)设数列an的公比为q,由得尺=9/所以9由条件可知a>0；故3由 2at + 3a2 = 1 得 24 + 3a2q = 1 ,所以q=g0故数列an的通项式为加=5。/ 、711«= (1 + 2 + . + 77)(2 ) 2 = log3 a + log3 /+ + Iog31G所以数列丁的前n项和为一- hn" + 14,解：(1)由题意得,6 543 = (242 + 2)2,由01 = 10, 析为公差为d的等差数列得，d2-3d-4=o,解得d= 1或d=4.所以检=一勿+11(口N)或 0?=4“+6GEN)(2)设数列为的前项和为S因为 dvO,由(1)得 d=T, 6rw=w+lb171所以当蟀11时，+|牝| + |。3| +.+同=5力=-5,2