知识点30直角三角形、勾股定理2018--2

1、一、选择题1. （2018海南省，12, 3分）如图，在4ABC中，AB=8,AC=6, / BAC=30 ,将 ABC绕点A逆时针旋转 60得到 ABiCi,连接BCi,则BCi的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】 根据旋转的性质， 得 AC仔AC=6, ZCAC1=60 ,/ BAC = /BAC +/CAC1=30 +60 =90 .在 RtAABC1 中，BC1 V,AB2 AC12 =J82+ 62=10,故选择 C.【知识点】旋转的性质，勾股定理A处沿圆2. （2018山东省东营市，8, 3分）如图所示圆柱的高 AB=3 ,底面直径BC=3,现在有一只蚂

2、蚁想从柱表面爬到对角 C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A 卡 B. 3 2 C. 3dHD. G【答案】C.【思路分析】 将圆柱侧面展开得到一个矩形，可知蚂蚁爬行的最短距离就是展开图中线段AB的长。利用勾股定理可求。【解题过程】 将圆柱沿AB侧面展开，得到矩形如下：则有AB=3,BC=,在RTAABC中，由勾股定理，得:2AC= . AB2 BC2 = , 32 (3 )2 =3,；故选C.【知识点】 圆柱侧面展形，勾股定理，最小值。BAC=90AD=AE,AB=AC,给出下歹U 结论： BD=CE ; / ABD+Z ECB=45 ; BD，CE;2_2_ 22BE 2 2(AD2 AB2

3、) CD2.其中正确的是()A.B. C. D.【答案】 A.【思路分析】 由 AB况 ACE可证得正确，再利用勾股定理和等腰直角三角形的直角边与斜边的关系可 证得第个也正确。【解题过程】 / DAE4 BAC=90 , AD=AE,AB=AC, / DAE+/ EAB=Z CAB+Z EAB,/ ABCh ACB=45 ,即：/ DABh EAC AD=AE,AB=AC, . DAB AEACBD=EC,Z DBA4 EAC 故 正确 / ABD+/ ECB4 ACE+Z ECBh ACB=45 ,故正确 / ABC=45 , 在 EBC中，/ EBA+Z ABC+Z ECB=90 ,，/B

4、EC=90 ,即 BDL CE,故正确， 在 RTA BEC 中，BE2=BC2 CE2在 RTA DEC中，CE2 DC2 DE2222222222 BE2=BC2 CE2 = BC2 (DC2 DE2) = BC2 de2 DC2 .RTA ABC! RTA ADE都是等腰直角三角形 BC2 2AB2, DE2 2AD2,2222_ 2_ 2_ _2 BE 2AD 2AB DC =2(AD AB ) DC，故正确。故选A.【知识点】 全等三角形，等腰直角三角形，勾股定理。5. （2018四川乐山，7, 3）九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成 就，它的算法体系

5、至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”.问这块圆形木材的直径是多少？” 如图3所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13 寸 B.20 寸 C.26 寸 D.28 寸图3【答案】C【解析】本题主要考查圆的相关知识,解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理.如图，根据题意可知,2 _2,2ED=1 寸，AB=1 尺=10 寸，.ODLAB,，AD = BD=5 寸，不妨设

6、。的半径为 r,在 4AOD 中，r 5 r 1 ,解得r 13, 圆形木材的直径 AC的长为26寸，故答案为 C. 【知识点】勾股定理；垂径定理6J2018 江苏扬州，7, 3）在 RtAABC 中，/ ACB=90 , CDXAB 于 D, CE 平分 / ACD 交 AB 于 E,则下列结论一定成立的是（）D. AE=ECA. BC=EC B. EC=BE C. BC=BE【答案】C【解析】 根据同角的余角相等可得出/BCD= /A,根据角平分线的定义可得出/ACE=/DCE,再结合/ BEC=/A+/ACE、/ BCE= / BCD+/ DCE即可得出/ BEC= / BCE ,利用等

7、角对等边即可得出 BC=BE , : /ACB=90 , CD AB ,/ ACD+ / BCD=90 , /ACD+/A=90,/ BCD=/A. CE 平分/ ACD ,/ACE= / DCE.又. / BEC=/A+/ACE, / BCE= / BCD+ / DCE , . / BEC= Z BCE, . BC=BE .故选 C. 【知识点】 直角三角形的性质，三角形外角的性质，余角，角平分线的定义以及等腰三角形的判定二、填空题1. （2018黑龙江省龙东地区， 9, 3分） 在Rt ABC中，Z ABC = 90 , AB = 3, BC = 4,过点B的直线把4ABC分割成两个三角形

8、，使其中只有一个是等腰三角形.则这个等腰三角形的面积是.答案迎或优或24.2555【思路分析】 先画出基本图形4 ABC,考虑到分割后的要求，所以用圆规帮助找等腰三角形的顶点.由于其中只有一个是等腰三角形，因此排除作AB或BC的垂直平分线.【解题过程】（1）如图1,以B为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D1,连接BD1,则 ABD1是等腰三角形，AC= J32 42且 BCD1 不是等腰三角形.作 BEX AC,则 AD1 = 2AE. / Z ABC= 90, AB=3, BC=4,=5, - Saabc= 1ABBC= 1ACBE,，BE = ABgBC= 12 ,在 RtABE中,由勾

9、股定理得AE= _9, . . ADi22AC 55= 18,SvABD1 = 3ADi BE= 1 18 12= 108 .522 5 525(2)如图2,以A为圆心，AB长为半径画圆，交 AC于点D2,连接BD2,则 ABD2是等腰三角形，且 BCD2121112不是等腰二角形.作 BFXAC,同(1)理可得 BF=12,又 AD2 = AB=3,Svabd2 = -AD2 BF= - 3 522518 =.5(3)如图3,以C为圆心，BC长为半径画圆，交 AC于点D3,连接BD3,则 ABD3是等腰三角形，且 BCD3不是等腰三角形.作 BGXAC,SVABD3 = 1CD3 BG= -

10、 4 = -24 .2255综上，这个等腰三角形的面积是唾 或18或24 .2555图1图2图3【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质与判定；三角形的面积公式；尺规作图2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中,A ABC的顶点|C均在格点上,1kAe巳的大小为 （度）；|A为中心，取旋转角等于kBAC|,把点P逆时针旋转，点P的对应 回，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）,2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点 点为P.当CP最短时，请用无刻度.的直尺，画出点,【答案】（1）. 9必 （2）.见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题;（2）如图，取格点BI，E,连接

11、De交.XB于点1；取格点M，|n,连接MS交浮延长线于点G；取格点F,连接FG 交C延长线于点；，则点J即为所求.详解：（1）二每个小正方形的边长为1,，AC=3瓦 BC=/ AB=|5衣,.3m产+ （2）2=50 = （5也AC” : L?丁 :上： A ABC是直角三角形，且/ C=90故答案为90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化 的思想思考问题.3. （2018贵州铜仁，17, 4）在直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , D, E是边AB上两点，且 CE所在直线垂直平 分线段 AQ CD平

12、分/ BCE，BC=2a/3,则 AB=.【答案】4,【解析】根据CE垂直平分AD,彳导AC=CD再根据等腰三角形的三线合一得/ ACE=/ ECD结合角平分 线定义和/ ACB=90 ，得/ACE=Z ECDW BCD=30 ，所以/ ACDW ADCW A=60 , / B=/ BCD=30 , . AD=AC=CD BD=CD AB=2AD=2AC在 RtMCB中，Z B=30 , BC=2T3 , . AC=BC装an30 =2, . AB=2AC =4.4. （2018江苏徐州，15, 3分）如图，Rt祥BC中，/ ABC=90, D为AC的中点，若/ C= 55,则/ ABD =5

13、. （2018黑龙江哈尔滨，19, 3）在4ABC中，AB = AC, /BAC=100,点D在BC边上，连接 AD,若 ABD 为直角三角形，则/ ADC的度数为 .【答案】90。或130。，【解析】情况1当/ADB = 90 时，/ ADC = 90;情况 2当/ BAD =90时，/ ADC = / BAD + / B=90+ ( 180 100) +2= 1306J2018湖北十堰，16, 3分）如图，Rt,ABC中，AB=3, AC=642,点D, E分别是边 BC, AC上的动点，则 DA + DE的最小值为 .【解析】 作A关于BC的对称点A；连接AA,交BC于F,过A作AE,

14、AC于E,交BC于D,则AD = AD,此时AD+DE的值最小，就是 AE的长；（如答图）ARt,ABC 中，,BAC=90, AB = 3, AC=6* ,BC=，32+(62)2=9,11S, ABC = 2AB?AC = 2BC?AF ,3X2=9AF,解得 AF = 2*,AA = 2AF =42,AFD = , DEC = 90 , , ADF = , CDE ,A= , C,AEA= , BAC = 90,AEA , ,BAC,AA BC 日口 4/29AE ACAE 6v2A E= 16-,即AD + DE的最小值是16; 33故答案为:163 7. （2018云南，6, 3分）

15、在4ABC中，AB = J34 , AC=5.若BC边上的高等于 3,则BC边的长为【答案】1或9.【解析】设边BC上的高为AD.当边BC上的高AD在 ABC的内部时，如答图1所示，在RtAABD中，由勾股定理得 BD= JXB2AD=7(734)2 32 =5,在 RtAACD 中,=9.在边如答图 2所示，同理 BD = 5, CD = 4,所以BC=5 4=1.BC上的高AD在 ABC的外部时,（第6题答图1）（第6题答图2）由勾股定理得 cd = Jac BD与CD在同一条直线上，且由于旋转使得 （2）参考 问题”中的方法，旋转会出现全等三角形, ad2 = J52 32 = 4,所以

16、 bc= 5+4三、解答题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，24, 10分）问题：如图，在 RtAABC中，AB AC, D为BC边上一点（不与点 B, C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BC, DC, EC之间满足的等量关系式为探索：如图，在 Rt祥BC与RtAADE中，AB AC, AD AE,将那DE绕点A旋转，使点 D落在BC边 上，试探索线段 AD, BD, CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形 ABCD中，/ ABC /ACB /ADC 45.若BD 9, CD 3,求AD的长.图图图第24题图【思路分析】 者是

17、和的关系； （3）图形类似,，类比前面的方法，设法构造出类似的图形，则问题得解.AD和AE相等，且 AB和AC相等，考虑三，考虑连接CE,构造全等三角形进行探索；【解题过程】 问题：BC = EC + DC因为 那BC为等腰直角三角形， ./ BAC = 90.又 ADXAE, ./ EAD = 90. / EAD / CAD = / BAC / CAD . ./ BAD = Z CAE.又 AB= AC, AE = AD, ABDA ACE.BD= CE, .BC=EC+DC.探索：线段 AD, BD, CD之间满足的关系是 BD2+CD2 = 2AD2.证明：如图，连接 CE. . / B

18、AC=/BAD+/DAC = 90, AB = AC, ./ ABC=Z ACB = 45. / DAE = / CAE + / DAC = 90, ./ BAD = Z CAE.在ABAD和ACAE中，AB AC/ BAD / CAE, AD AE . BADA CAE. .BD=CE, Z ACE=Z ABC=45. ./ BCE=/ACB + /ACE=90. BDXCE. . / EAD = 90, AE = AD,ED= 72 AD.在 ECD 中，ED （2018黑龙江哈尔滨，22, 7）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以线段 AB为一边的矩形 ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的项点上=CE2+CD2, BD2+CD2=2AD2.AB DC第24题答图E应用：如图，作 AEXAD于点A,交DC的延长线于点E,连接BE.7分 . Z ABC=Z ACB = Z ADC = 45, /EAD=90,，/BAC = 90, AB= AC, AE = AD.ED= 72 AD