几何难题精选中考压轴题带答案和详细解析30道解答题

1、几何难题精选解答题(共30小题)1. (2015例南)如图 1,在 RtAABC 中，/B=90°, BC=2AB=8 ,点 D、E 分别是边 BC、AC的中点，连接 DE,将4EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现 当a=0°时，祟； 当“二180。时，祟.BDBD(2)拓展探究试判断：当0° y360°时，越的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.BD(3)问题解决当4EDC旋转至A, D, E三点共线时，直接写出线段BD的长.2. (2015喻南)如图 1,在 4ABC 中，/ACB=90°, AC=BC , /EA

2、C=90°,点 M 为射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM ,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转 90得到线 段CN,直线NB分别交直线 CM、射线AE于点F、D.(1)直接写出/NDE的度数；(2)如图2、图3,当/ EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；(3)如图4,若ZEAC=15 °, / ACM=60 °,直线CM与AB交于G, BD二更电工,其他条2件不变，求线段 AM的长.3. （2015?岳阳）已知直线 m/n,点C是直线 m上一点，点 D是直线n上一点，CD与

3、直 线m、n不垂直，点P为线段CD的中点.（1）操作发现：直线l，m, l±n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时（如图 所示）， 连接PB,请直接写出线段 PA与PB的数量关系： .（2）猜想证明：在图 的情况下，把直线l向上平移到如图 的位置，试问（1）中的PA 与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）延伸探究：在图 的情况下，把直线l绕点A旋转，使得/ APB=90。（如图所示）， 若两平行线 m、n之间的距离为 2k.求证：PA?PB=k?AB .4. （2015?重庆）在 4ABC 中，AB=AC , / A=60 °,点 D 是

4、线段 BC 的中点，/EDF=120°,DE与线段AB相交于点E. DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点 F.（1）如图1,若DFLAC,垂足为F, AB=4 ,求BE的长；(2)如图2,将(1)中的/EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点 F.求证：BE+CF=JiAB;2(3)如图3,将(2)中的/EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使 DF与线段AC的 延长线相交于点 F,作DN，AC于点N ,若DN，AC于点N ,若DN=FN ,求证：BE+CF= (BE -CF).83 / 79图1唐P图35. (2015?烟台)【问题提出】如图，已知4ABC是

5、等腰三角形，点 E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC , 将 BCE绕点C顺时针旋转60°至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】(1)如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段 AB, DB, AF之间 又有怎样的数量关系？请说明理由(2)如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图 的基础上将图形补充完整, 并写出AB, DB, AF之间的数量关系，不必说明理由.6. (2015小田)在 RtAACB 和 RtAAEF 中，/ ACB= / AEF=90 °,若点 P 是 BF 的中点， 连接PC, PE.特殊发现：如图1,若点E

6、, F分别落在边AB, AC上，则结论：PC=PE成立(不要求证明). 问题探究：把图1中的4AEF绕着点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(3)记黑=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出 k的值，不必说明理BC由)图17. (2015?襄城区模拟)如图，正方形 ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点 B坐标为(3, 3).将正方形 ABCO绕点A顺时针旋转角度 & (0°&

7、lt; e< 90°),得到正方形 ADEF , ED交线 段OC于点G, ED的延长线交线段 BC于点P,连AP、AG .(1)求证：AOGADG;(2)求/PAG的度数；并判断线段 OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；(3)当/1 = /2时，求直线PE的解析式；(4)在(3)的条件下，直线 PE上是否存在点 M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰 三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.8. (2015?重庆校级一模)已知，四边形 ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线 AD上(P、G不与正方形顶点重合，且在 CD的同侧)，PD=PG, D

8、FXPG于点H, DF交直 线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE,连结EF.(1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1,计算出DG的长；(2)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形 DFEP为菱形； (3)如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，(2)的结论：四边 形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.9. （2015?房山区二模）在 4ABC中，AB=BC=2 , /ABC=90°, BD为斜边 AC上的中线，将4ABD绕点D顺时针旋转 a （0°<

9、; a< 180°）得到 EFD ,其中点A的对应点为点 E,点B的对应点为点 F. BE与FC相交于点H.(1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系:(2)如图2, M、N分别为EF、BC的中点.求证： MN=（3） 系：连接BF, CE,如图3,直接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE与AC之间的数量关10. （2015?衢州校级模拟）图1是边长分别为 蓊和2的两个等边三角形纸片 ABC和ODE 叠放在一起（C与O重合）.（1）操作：固定 4ABC ,将ODE绕点C顺时针旋转30°后得到ODE,连结AD、BE, CE的延长线交AB于F （图2）;探究：在图2中，线

10、段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（2）在（1）的条件下将的ODE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的4CDE设为PaR,当点P与点F重合时停止运动（图 3）探究：设4PQR移动的时间为x秒，4PQR与4ABC重叠部分的面积为 y,求y与x之间 的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（3）将图1中4ODE固定，把4ABC沿着OE方向平移，使顶点 C落在OE的中点G处, 设为4ABG ,然后将4ABG绕点G顺时针旋转，边 BG交边DE于点M ,边AG交边DO 于点 N,设/BGE=a （30°< a<90°）;（图 4

11、）探究：在图4中，线段ON?EM的值是否随a的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON?EM的值，如果有变化，请你说明理由.图1图2图3和11. (2015?武义县模拟)(1)将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点。为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8, OC=10,点E为OA边上一点，连结 CE,将 EOC沿 CE折叠.如图1,当点。落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；如图2,当点。落在矩形 OABC内部的点D处时，过点 E作EG/x轴交CD于点H, 交BC于点G,设H(m, n),求m与n之间的关系式；(2)如图3,将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将

12、EOC沿CE折叠.点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T,若典，求AT的A0 2长.12. (2015?石家庄校级模拟)如图 1,在菱形 ABCD中，AC=6, BD=6j3, AC, BD相交 于点O.(1)求边AB的长；(2)如图2,将一个足够大的直角三角板 60°角的顶点放在菱形 ABCD的顶点A处，绕点 A左右旋转，其中三角板 60°角的两边分别于边 BC, CD相交于E, F,连接EF与AC相交 于点G. 判断4AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由； 旋转过程中是否存在线段 EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由.13. (2015春？泰安校级期中)

13、如图，正方形 OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角 线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N.(1)求证：OM=ON ;(2)设正方形 OEFG的对角线 OF与边AB相交于点P,连结PM .若PM=13 ,试求AM 的长；(3)连接MN ,求4AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系.14. (2014?天津)在平面直角坐标系中， O为原点，点 A (-2, 0),点B (0, 2),点E, 点F分别为OA, OB的中点.若正方形 OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形 OE D F记 旋转角为a.(I )如图，当a=90°时，求AE ； BF

14、9;的长；(II)如图，当 “=135° 时，求证 AE=BF',且 AE T BF'(出)若直线AE与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可)H为AF15. (2014春？青山区期末)已知正方形 ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF , 的中点，连EH,正方形EBGF绕点B旋转.(1)如图1,当F点落在BC上时，求证：EH=FC;2(2)如图2,当点E落在BC上时，连 BH,若AB=5 , BG=2 ,求BH的长；(3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求电的值.16. (2013?盐城)阅读材料如图，4ABC与4DEF

15、都是等腰直角三角形，/ ACB= Z EDF=90 °,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为 O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明 BOFACOD ,贝U BF=CD .解决问题(1)将图中的RtADEF绕点。旋转得到图，猜想此时线段 BF与CD的数量关系， 并证明你的结论；(2)如图，若4ABC与4DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为 O,上述(1)中 的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；(3)如图，若4ABC与4DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0,且顶角ZACB= Z EDF= &quo

16、t;，请直接写出 壁的值(用含a的式子表示出来)CD17. (2013?梅州)用如图， 所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题:(1)当点P运动到/CFB的角平分线上时，连接 AP,求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现 PA=FC时，求/ PAB的度数.探究二：如图，将4DEF的顶点D放在4ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中 心旋转DEF,使4DEF的两直角边与 4ABC的两直角边分别交于 M、N两点，连接MN .在 旋转4DEF的过程中，4AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不 存在，请说明理由.18. (2015?

17、营口)如图，点 P是。外一点，PA切。于点A, AB是。的直径，连接OP,过点B作BC / OP交。O于点C,连接AC交OP于点D.(1)求证：PC是。的切线；（2）若PD=U？, AC=8,求图中阴影部分的面积;3（3）在（2）的条件下，若点 E是标的中点，连接 CE,求CE的长.19. （2015?永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形 EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.（二）问题解决： 已知OO的半径为2, AB , CD是。O的直径.P是它上任意一点，过点 P分别作AB

18、 , CD的垂线，垂足分别为 N, M.（1）若直径ABXCD,对于BU上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形 PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB ± CD,在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明 MN的长 为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角.当点P运动到BC的中点P1时（如图二），求MN的长； 当点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.（4）试问当直径 AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.国一020. （2015?盘锦）如图1, 4ABC和

19、4AED都是等腰直角三角形，/ BAC= / EAD=90 °,点B在线段AE上，点C在线段AD上.（1）请直接写出线段 BE与线段CD的关系： ;（2）如图2,将图1中的4ABC绕点A顺时针旋转角 & （0v “V 360°）,(1)中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由;当AC=JlED时，探究在4ABC旋转的过程中，是否存在这样的角”，使以A、B、C、D2四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角”的度数；若不存在，请说明理由.21. (2015?朝阳)问题：如图(1),在 RtAACB 中，2ACB=90 °, A

20、C=CB , 2DCE=45°, 试探究ad、de、eb满足的等量关系.探究发现小聪同学利用图形变换，将 ACAD绕点C逆时针旋转90彳导至IJCBH,连接EH,由已知条 件易得 / EBH=90 °, / ECH= / ECB+ / BCH= / ECB+ /ACD=45 °.根据 边角边"，可证aceh,彳导eh=ed .在 RtAHBE 中，由 定理，可得 BH2+eb2=eh2,由 BH=AD ,可得 AD、DE、EB 之间的等量关系是.实践运用(1)如图(2),在正方形 ABCD中，4AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高 AG与 正方形的

21、边长相等，求 /EAF的度数；(2)在(1)条件下，连接 BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2 , DF=3 , BM=2点， 运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长.S (1)图322. (2015?自贡)在 4ABC 中，AB=AC=5 , cos/ ABC=£,将 4ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到 Aibic.(1)如图，当点B1在线段BA延长线上时. 求证：BB1 / CA1; 求4AB1C的面积;(2)如图，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在 4ABC绕点C顺时针 旋转过程中，点 F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差.图2

22、3. (2015?吉林)两个三角板 ABC, DEF,按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内).其中，/C=/DEF=90°, / ABC= / F=30°, AC=DE=6cm .现固定三角板 DEF ,将三角板 ABC 沿 射线DE方向平移，当点 C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x (cm),两个三角板重叠部分的面积为y (cm2).(1)当点C落在边EF上时，x=cm；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平

23、移过程中，点M与点N之间距离的最小值.24. (2015?汕尾)在 RtAABC 中，Z A=90 °, AC=AB=4 , D, E 分别是边 AB , AC 的中点, 若等腰RtAADE绕点A逆时针旋转，得到等腰 RtAADiEi,设旋转角为a (0< ”180。)， 记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1,当 户90。时，线段BDi的长等于 ,线段CE1的长等于;(直接填 写结果)(2)如图 2,当 a=135°时，求证：BDi=CE1,且 BDHCE1;(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)25. (2015?赤峰)如图，四边形 AB

24、CD是边长为2, 一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA (或它们的延长线)于点 E、F, /EDF=60°,当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是 DE=DF .(1)继续旋转三角形纸片，当CE池F时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图 3请直接写出DE与DF的数量关系；(3)连EF,若4DEF的面积为y, CE=x ,求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有 最小

25、值，最小值是多少？26. (2015?海南)如图，菱形 ABCD中，点P是CD的中点，Z BCD=60 °,射线AP交BC 的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.(1)求证：ADPECP;(2)若BP=n?PK,试求出n的值；(3)作BM ± AE于点M ,作KN ± AE于点N,连结MO、NO,如图2所示，请证明 MON 是等腰三角形，并直接写出 ZMON的度数.27. (2015?丹东)在正方形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点 O;在RtAPMN中， /MPN=90 °.(1)如图1,若点P与点O重合且PMAD、PNXAB

26、 ,分别交 AD、AB于点E、F,请 直接写出PE与PF的数量关系；(2)将图1中的RtAPMN绕点。顺时针旋转角度 a (0°< a< 45°).如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由； 如图2,在旋转过程中，当 /DOM=15 °时，连接EF,若正方形的边长为 2,请直接写出 线段EF的长；如图3,旋转后，若RtAPMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD=3BP 时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当 BD=m?BP时，请直接写出 PE与PF 的数量关系.z)28. (201

27、5?成都)已知AC, EC分别是四边形 ABCD和EFDC的对角线，点E在4ABC内, /CAE+ / CBE=90 °.圄图图(1)如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接 BF .(i)求证：CAEscbf；(ii)若 BE=1 , AE=2 ,求 CE 的长；(2)如图，当四边形 ABCD和EFCG均为矩形，且纯理 二k时，若BE=1 , AE=2 , CE=3 ,BC FC求k的值；(3)如图，当四边形 ABCD和EFCG均为菱形，且 / DAB= /GEF=45°时，设BE=m , AE=n, CE=p,试探究m, n, p三者之间满足的等量关系.(直接

28、写出结果，不必写出解答过程)29.(2015供帛州)如图，/QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，/ QPN= ", 将/ QPN绕点P旋转，旋转过程中/ QPN的两边分别与正方形 ABCD的边AD和CD交于 点E和点F (点F与点C, D不重(1)如图，当妹90°时,DE,DF , AD之间满足的数量关系是(2)如图，将图中的正方形ABCD改为/ADC=120 °的菱形，其他条件不变，当“=60°时，(1)中的结论变为 de+df=_!ad ,请给出证明； 百(3)在(2)的条件下，若旋转过程中/QPN的边PQ与射线AD交于点巳其他条件不变

29、， 探究在整个运动变化过程中，DE, DF, AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.30. (2014?绵阳)如图1,矩形ABCD中，AB=4 , AD=3 ,把矩形沿直线 AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F,连接DE.(1)求证：DECEDA;(2)求DF的值；(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点 P作4AEC的内接矩形，使其顶点 Q落在线 段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？ 并求出其最大值.几何难题精选（1）旋转 圆 四边形参考答案与试题解析.解答题（共30小题）1. （2015例南）如图 1,在 RtAAB

30、C 中，/B=90°, BC=2AB=8 ,点 D、E 分别是边 BC、AC的中点，连接 DE,将4EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.（2）拓展探究试判断：当0° 360°时，越的大小有无变化？请仅就图 2的情形给出证明.BD（3）问题解决当4EDC旋转至A, D, E三点共线时，直接写出线段 BD的长.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.里:的值是多少.BD【分析】（1）当炉0。时，在RtAABC中，由勾股定理，求出 AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出 AE、BD的大小，即可求出 a =180。时，可得AB / DE

31、,然后根据 年考，求出落的值是多少即可.（2）首先判断出/ECA=/DCB,再根据旦£=型Zq/5,判断出ECAsDCB,即可求出DC BC 2里的值是多少，进而判断出BD邂的大小没有变化即可.BD（3）根据题意，分两种情况：点A, D, E所在的直线和BC平行时；点A, D, E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段 BD的长各是多少即可.【解答】解：（1）当炉0。时，. RtAABC 中，ZB=90°,ac= JaB2+BC2二J'g,Xs/?，点D、E分别是边BC、AC的中点, .心4&+2=2心 BD=8,2=4维区L近BD 42当 “=18

32、0°时， 可得 AB / DE,二-匕I . AE 二 =一.BD BC 8 - 2故答案为：亚、亚.22如图2, 图2当0° y360°时，回的大小没有变化,BD / ECD= ZACB ,/ ECA= / DCB ,又DC-BC_ 2.ECAADCB ,.AE EC VS一 二 .BD DC 2(3)如图3CD LAD,. AC=4 . ", CD=4 ,.AD=Vac5-cd- 16 =S. AD=BC , AB=DC , / B=90 °,四边形ABCD是矩形,.BD=AC=4V5.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点

33、B作AC的垂线交AC于点P,图 4,. AC=4 V5, CD=4 , CD LAD,- AD= 7aC?-OD2=72- 4230-16= 3，点D、E分别是边BC、AC的中点，-DE=-jX (g+幻二,X4=2,.AE=AD - DE=8 - 2=6 , 由（2）,可得综上所述，BD的长为 埼或丝匹.5【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握.(2)此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.(3)此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握.2. (2015

34、喻南)如图 1,在 4ABC 中，/ACB=90°, AC=BC , /EAC=90°,点 M 为射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM ,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转 90得到线 段CN,直线NB分别交直线 CM、射线AE于点F、D.(1)直接写出/NDE的度数；(2)如图2、图3,当/ EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；(3)如图4,若ZEAC=15 °, / ACM=60 °,直线CM与AB交于G, BD=1切2,其他条2件不变，求线段 AM的长.E【考

35、点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)根据题意证明 MACNBC即可；(2)与(1)的证明方法相似，证明 MAC0NBC即可；(3)作GKLBC于K,证明AM=AG ,根据MACNBC,得到/ BDA=90 °,根据直角 三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案.【解答】 解：(1) . /ACB=90 °, Z MCN=90 °,/ ACM= / BCN ,在4MAC和4NBC中，M 二 BC1 Nacm 二 Nbch ,卡NC2 .MACANBC,/ NBC= / MAC=90 °,又 / ACB=90 °, / EAC=9

36、0 °,/ NDE=90 °(2)不变，在 MAC NBC 中，M 二 BC4 /ACM=NBCN, kMC=NC .MACANBC,/ N=Z AMC ,又 / MFD= / NFC,/ MDF= / FCN=90，即/ NDE=90 ° (3)作 GKXBC 于 K, / EAC=15 °,/ BAD=30 °, / ACM=60 °,/ GCB=30 °,/ AGC= / ABC+ / GCB=75 °, ZAMG=75 °, .AM=AG , .MACANBC,/ MAC= / NBC ,/ BD

37、A= / BCA=90 °, BD-二BD2 .AB= . :+ :AC=BC=；+1,设 BK=a ,贝U GK=a , CK4/Sa,a+ .；a=iY+1,a=1,KB=KG=1 , BG= 一AG= I , . AM= V&-【点评】 本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、 利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用.3. （2015?岳阳）已知直线 m/n,点C是直线 m上一点，点 D是直线n上一点，CD与直 线m、n不垂直，点P为线段CD的中点.（1）操作发现：直线l,m, l±n,垂足分别为A、B,当点A与点

38、C重合时（如图 所示）， 连接PB,请直接写出线段 PA与PB的数量关系：PA=PB .（2）猜想证明：在图 的情况下，把直线l向上平移到如图 的位置，试问（1）中的PA 与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(3)延伸探究：在图 的情况下，把直线l绕点A旋转，使得/ APB=90。(如图所示)， 若两平行线 m、n之间的距离为 2k.求证：PA?PB=k?AB .【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)根据三角形 CBD是直角三角形，而且点 P为线段CD的中点，应用直角三角 形的性质，可得 PA=PB,据此解答即可.(2)首先过C作CE，n于点E,连

39、接PE,然后分别判断出 PC=PE、/ PCA= / PEB、AC=BE ;然后根据全等三角形判定的方法，判断出PACspbe,即可判断出PA=PB仍然成立.(3)首先延长AP交直线n于点F,作AELBD于点巳然后根据相似三角形判定的方法， 判断出AEFsbpf,即可判断出 AF?BP=AE?BF,再个 AF=2PA , AE=2k , BF=AB ,可 得2PA?PB=2k. AB,所以PA?PB=k?AB ,据此解答即可.【解答】解：(1) . l±n,BCXBD ,三角形CBD是直角三角形，又.点P为线段CD的中点，PA=PB .(2)把直线l向上平移到如图 的位置，PA=PB

40、仍然成立，理由如下: 如图，过C作CEn于点E,连接PE,三角形CED是直角三角形，点 P为线段CD的中点, .PD=PE,又.点P为线段CD的中点，.PC=PD, .PC=PE;PD=PE,. / CDE= ZPEB,直线m / n,. / CDE= / PCA/ PCA= / PEB,又.直线 l，m, l±n, CE±m, CE±n,1 .l / CE,2 .AC=BE ,在APAC和PBE中，PCPE4C&二 NPEBAC=BE3 .PACAPBE,PA=PB .(3)如图，延长AP交直线n于点F,作AEXBD于点E,直线 m / n, AP-PQ

41、-.PF-PD-b.AP=PF ,4 / APB=90 °,5 BPXAF,又 AP=PF,BF=AB ;在 AEF和4BPF中， fZAEF=ZBPF=90fl ZAFE-ZBFF6 .AEFABPF,，一 27 .AF?BP=AE ?BF,8 . AF=2PA , AE=2k , BF=AB ,9 .2PA?PB=2k. AB ,10 .PA?PB=k?AB .【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用， 考查了从图象中获取信息， 并能利用获取的信息解答 相应的问题的能力.(2)此题还考查了直角三角形的性质和

42、应用，要熟练掌握.(3)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.4. (2015?重庆)在 4ABC 中，AB=AC , / A=60 °,点 D 是线段 BC 的中点，/EDF=120°, DE与线段AB相交于点E. DF与线段AC (或AC的延长线)相交于点 F.(1)如图1,若DFLAC,垂足为F, AB=4 ,求BE的长；(2)如图2,将(1)中的/EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点 F.求证：be+cf=_!ab； 2(3)如图3,将(2)中的/EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使 DF与

43、线段AC的 延长线相交于点 F,作DN，AC于点N ,若DN，AC于点N ,若DN=FN ,求证：BE+CF=J1 (BE -CF).图1邸图3【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.【专题】压轴题.【分析】(1)如图1,易求得ZB=60 °, Z BED=90 °, BD=2 ,然后运用三角函数的定义就可 求出BE的值；(2)过点 D作DM ±AB于M ,作DN XAC于N,如图2,易证 MBD ANCD ,则有BM=CN , DM=DN ,进而可证到 EMD0FND,则有 EM=FN ,就可得到 BE+CF=

44、BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD>Cos60 =BD二BC±AB ;22II I(3)过点D作DM ±AB于M ,如图3.同(1)可得：/B=/ACD=60。，同(2)可得：BM=CN , DM=DN , EM=FN ,由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM ,从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM , BE - cf=bm+em - cf=bm+nf - CF=BM+NC=2BM .然后在RtABMD中，运用三角函数就可得至U DM=VSBM , IP BE+CF=J3 (BE - CF).【解

45、答】解：(1)如图1, . AB=AC , /A=60 °,. .ABC是等边三角形，Z B=Z C=60 °, BC=AC=AB=4 .点D是线段BC的中点，BD=DC= 7jBC=2 . . DFXAC ,即 ZAFD=90 °,/ AED=360 - 60 - 90 - 120 =90°,/ BED=90 °,BE=BD >Cos/ B=2 >Cos60 =2 £=1 ;(2)过点 D作DM ±AB于M ,作DN ±AC于N,如图2, 则有 / AMD= / BMD= / AND= / CND=9

46、0 °. / A=60 °,/ MDN=360 - 60 - 90° - 90 =120°. / EDF=120 °, . . / MDE= / NDF .在AMBD和ANCD中，ZBHD=ZCNDZB=ZC ,BD=CD.MBDANCD, .BM=CN , DM=DN . 在 EMD和4FND中， rZEMD=ZFND1 DM孙， ZHDE=ZWDF2 .EMDAFND,.EM=FN ,3 .BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD >Cos60°=BD=BC=AB ;22(3)过点D作DM

47、±AB于M ,如图3.同(1)可得：/ B= Z ACD=60 °.同(2)可得：BM=CN , DM=DN , EM=FN .4 .DN=FN, .1. DM=DN=FN=EM ,5 .BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DMBE - CF=BM+EM - CF=BM+NF - CF=BM+NC=2BM 在 RtABMD 中，DM=BM ?tanB=VBM , ，BE+CF=g (BE - CF).,0图1【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、 全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明

48、三角形全等得到BM=CN , DM=DN , EM=FN 是解决本题的关键.5. (2015?烟台)【问题提出】如图，已知4ABC是等腰三角形，点 E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC ,将 BCE绕点C顺时针旋转60°至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】(1)如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段 AB, DB, AF之间 又有怎样的数量关系？请说明理由(2)如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图 的基础上将图形补充完整， 并写出AB, DB, AF之间的数量关系，不必说明理由.【专题】压轴题.【分析】首先判断出4CEF是等边三

49、角形，即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF , / CAF= / BAC=60 °,所以 / EAF= / BAC+ / CAF=120 °, / DBE=120 °, / EAF= / DBE ;然 后根据全等三角形判定的方法， 判断出EDBFEA,即可判断出BD=AE , AB=AE+BF , 所以 AB=DB+AF .(1)首先判断出4CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC,再根据ED=EC ,可得ED=EF , / CAF= / BAC=60 °,所以 / EFC= / FGC+ / FCG , / BAC= / FGC+ /

50、 FEA , / FCG= / FEA , 再根据/ FCG= / EAD , / D= / EAD ,可得/ D= / FEA ;然后根据全等三角形判定的方法， 判断出EDBFEA,即可判断出 BD=AE , EB=AF ,进而判断出 AB=BD - AF即可.(2)首先根据点E在线段BA的延长线上，在图 的基础上将图形补充完整，然后判断出 CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC ,再根据ED=EC ,可得ED=EF , / CAF= / BAC=60 °, 再判断出/DBE=/EAF, /BDE=/AEF;最后根据全等三角形判定的方法，判断出 EDB AFEA,即可判断出 BD

51、=AE , EB=AF ,进而判断出 AF=AB+BD 即可.【解答】证明：ED=EC=CF , BCE绕点C顺时针旋转60°至 ACF ,/ ECF=60 °, / BCA=60 °, BE=AF , EC=CF ,. .CEF是等边三角形，EF=EC, ZCEF=60°,又 ED=EC ,.ED=EF , ABC是等腰三角形，/ BCA=60 °,. .ABC是等边三角形，/ CAF= / CBA=60 °,Z EAF= Z BAC+ ZCAF=120 °, Z DBE=120 °, / EAF= / DBE

52、, / CAF= / CEF=60 °, A、E、C、F四点共圆，/ AEF= / ACF ,又 ED=EC ,，/D= /BCE, /BCE=/ACF,/ D= / AEF , 在 EDB和AFEA中，ZDBE=ZEAF ZD=ZAEF (AAS) ED=EF.,.EDBAFEA, DB=AE , BE=AF , . AB=AE+BE , .AB=DB+AF .(1) AB=BD+AF ;延长EF、CA交于点G, BCE绕点C顺时针旋转60°至 ACF ,，/ECF=60 °, BE=AF , EC=CF,.CEF是等边三角形，.EF=EC ,又 ED=EC ,

53、ED=EF , / EFC= / BAC=60 °, / EFC= / FGC+ / FCG , / BAC= / FGC+ / FEA , / FCG= Z FEA ,又/ FCG=/ECD, /D=/ECD,/ D= /FEA,由旋转的性质，可得ZCBE= / CAF=120 °,/ DBE= /FAE=60 °, 在 EDB和AFEA中， ZDBE=ZEAFZD=ZAEF (AAS)ED=EF.,.EDBAFEA,BD=AE , EB=AF , BD=FA+AB , 即 AB=BD AF.(2)如图ED=EC=CF , BCE绕点C顺时针旋转60°

54、至 ACF ,，/ECF=60 °, BE=AF , EC=CF, BC=AC ,.CEF是等边三角形， .EF=EC ,又 ED=EC , .ED=EF , . AB=AC , BC=AC ,. .ABC是等边三角形，/ ABC=60 °,又 /CBE=/CAF,/ CAF=60 °,/ EAF=180 / CAF / BAC =180 -60 - 60° =60/ DBE= / EAF ; . ED=EC ,/ ECD= / EDC ,/ BDE= / ECD+ / DEC= / EDC+ / DEC,又 / EDC= / EBC+ / BED ,/

55、 BDE= / EBC+ / BED+ / DEC=60 + / BEC, / AEF= / CEF+ / BEC=60 + / BEC ,/ BDE= ZAEF ,在 EDB和4FEA中，ZDBE=ZEAFZBDE=ZAEF （aas）ED=EF.,.EDBAFEA, BD=AE , EB=AF , BE=AB+AE , .AF=AB+BD ,即AB , DB , AF之间的数量关系是： AF=AB+BD .【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力， 考查了空间想象能力,考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握.（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.6

56、. （20157W 田）在 RtAACB 和 RtAAEF 中，/ ACB= / AEF=90 °,若点 P 是 BF 的中点， 连接PC, PE.特殊发现：如图1,若点E, F分别落在边AB, AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）.问题探究：把图1中的4AEF绕着点A顺时针旋转.（1）如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由；（2）如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；（3）记生=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理EC由）图2【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）首先过点P作PMLCE于点M,然后根据EF，AE,BC，AC,可得EF/MP/CB,推得某2,再根据点P是BF的中点，可得 EM=MC ,据此推得PC=PE即可.MC PB（2）首先过点F作FDXAC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD,然后根据全等 三角形判定的方法， 判断出DAFEAF,即可