极化恒等式在数量积中的应用

1、极化恒等式在数量积求值中的应用1 .极化恒等式的概念:极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析,它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得:极化恒等式：设a,b是平面内的两个向量，则有uuu uuri）极化恒等式的几何意义：在ABC中，AD是BC边上的中线，AB AC AD BD .我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.2 .极化恒等式在数量积求值中的应用:极化恒等式对研究数量积问题有着怎样的帮助呢？我们通过对比几道例题的解题思路来思考这个问题

2、.例1. （2016年江苏数学高考第13题）如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是uur uirA D上的两个三等分点，BA CAuuu4, BFuuuCFuur uurD法一：（坐标法）解：以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,如图：设A(3a,3b), B(c,0) ,C(c,0),则有E(2a,2b), F(a,b)uir uirBA CA3a c,3b3a c,3b 9a2 c29b2 4uui uuiBF CF(a c, b)g(a222c,b) a c b1 ,则 a2 b25 2 13一 ,c 一88uur uuuBE CE

3、2a c,2b2a c,2b224a c4b2法二:（基向量）uir uir 解：BA CAuuu uuuDA DBuuu uuuDA DCuuu2 4AD4uuu2 BCuur2 uuu236FD BC , 44uuu BFuuuCFuuu DFuuuDBuuu DFuuu DCuuu2 uuu24FD BC4uuu25 uur213因此 FD 5,BC , 82uurBEuiuCEuuu DEuuuDBuuu DEuuu DCuuu 2 uuu24ED BCUUU216FDuuu2BC 7上面的解法采用基向量的思想，将平面内向量用FD, BC表示.而这样一个转化的过程可以用“极化恒等式”直

4、接描述.如下:设 BD x, DFuur uurBA CA 9y2uur4 , BFuuu.CF y2 x21,则有y25 213,x 88uur uuu 2BE CE 4y2我们看到极化恒等式其实是一种基向量思想的公式化表达,当题目需要从中线与底边这两个方向寻找基向量时，运用极化恒等式可以更好，更快的达到解题的目的从前面的题目，我们看到极化恒等式对研究共起点（终点）向量数量积问题有很大的帮助，但是对于有些不共起点（终点）向量数量积问题，我们是否可以用极化恒等式来探索呢?比如：例2 （南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013届高三三模第13题改编）在平面四边形 ABCD中，点E, F分别是

5、边AD,CD反uuu urnuuu uuu若AD BC 15 ,贝U AC BD的值为法一:（坐标法）解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ,设 A(0,0), B(1,0),D(Xi,yi),C(X2,y2)uuu uuu uuuQBC OC OB (x2 1,y2)uuu uuuAD BC (得，)S2 1佻)X& VCh X 15uuuQBDuuu ODuurOB (x1i,yi)uuuACuuuBD（X2, 丫2）。为1,yi) X1X2yi V2 X215 天 x2uur2 QEFX2 1)2-2-)2,则（XiX21)2(yi y2)28 ， (XiX2)2 (yiy2)

6、22(xi X2) 1 8uuu 2 又QCD(Xi2/X2)(yi2 y2)uuuACunBD15XiX214uuu uu解：Q2EF AEr uuu3 DCuuu2 m24EF ABuuu2 DCuuu 2ABuuu DC又 AB=1,DC= 5:,EFuimABuuuDC 1uuu uuuQ AD BC 15uuu (ACuuu uuuCD)g(BDuuuDC) 15uuu uuu uuu 则 ACgBD ACuuu DCuuu uuu CDgBDuuu2DC 15uuiu uur 可化为ACgBDuuuABuuuBCuuuDCuuu uuuCDg BCuuu urnuuu CDuuu

7、uuuuiu uuu法二：（基向量）15FACgBD AB DC 15,故ACgBD=14法三（极化恒等式）解：如图，取 AB,AC,CD,BD 中点 H,I ,J,K .四边形ABCD中，易知EF,KI ,HJ三线共点于Ouuu uuuQ AD BC 15uur HKuurHI15 HO2IO24uuu 又Q ACuiuBDuuu4HEuuuHF22HO2 FO2在EFI中,Q EF4I2由中线长公式知io2工，从而HO24uuu uuu 1AC BD =4(4 -)214.本题对于学生来说思路较难发现，但从极化恒等式的角度对条件、目标进行探索，思路清晰，过程自然，很轻松就解决了问题。3.巩

8、固练习:1.（2012 浙江高考）在 ABC 中边 BCAM 3, BCuur uuu10, ABgACuuu uuu 解：ABgAC2_2AM BM9 25162. （2017苏锡常镇一模）ABC 中,若点P满足uuu uuuAP ABuuuiuurAC ,且 BPuirCP的值为解：取BC的中点D,连接DP由 AB 1 AC 2A 60BC2知：uur uir2BP CP 1 OPOPBO2,则2 ，又uirBPuuuAC3. （2017南通二模）如图，在平面四边形 ABCD中，O为BD的中点,AB AD 7,则BC-DC的值是解：AB AD AO2 BO27,又 OA 3则有 OB 4,

9、OC 5.若且OA 3BC DC CO2 BO2 25 16 9uuu uuu4.（自编）在梯形 ABCD 中，满足 AD/BC, AD 1,BC 3 , ABgDCuuu uuu2,则 ACgBD =解：过A点作AE平行于DC,交BC于E,取BE中点F连接AF,过D点作DH平行于AC,交BC延长线于H,取BH中点G,连接DG,uuu uuu uur uurABgDC ABgAE AF 2 BF2 AF2 1 2,uuu uuu uuu uuir222ACgBD DBgDH BG DG 4 DG又FG BG BF 1,AD/BC,则四边形ADGF为平行四边形uuu uuuAF DG , ACg

10、BD 1极化恒等式在数量积求最值中的应用【教学目标】1 .能利用极化恒等式解决数量积中的求最值问题：2 .思考使用极化恒等式解决数量积最值问题时，有何区别法一:（坐标法）解：以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,如图：则 A(0,3), C(c,0), B(b,2), uuuuuuc c则 AB (b, 1), AC (c, 3),从而(b c)2 ( 4)252,即(b c)29,uuu uuu又 ABgAC bc+3(b + c)2+3=巴4y 'AxO CBm【教学过程】例1 （2016届南通、扬州、泰州二模第12题）如图（2）,在同

11、一平面内，点 A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1, 3.点B,C分别在m,n,uuu uuuurn uuuAB AC 5 ,则AB AC的最大值是uiur uuu 22AB AC AD BD又ADuuuuuuACuuu 故ABuuuAC25BD2251 BC24又因为BCmin 3urn uuur1 2 ,所以(AB AC)max214BD当且仅当b c时等号成立法二.（极化恒等式）解：连接BC ,取BC的中点DA例2中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们 BC边上的中线长为5 ,故易联系到极化恒等式，只需求底边BC的最小值即可.2例2 （2016

12、届南京三模第13题）在半径为1的扇形AOB中，/ AOB = 60o, C为弧上 的动点，AB与OC交于点P,则OP-BP的最小值是 法一.（坐标法）解：以直线OB为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴, 建立如图所示的平面直角坐标系，311如图：则 A(0,),O(,0), B( ,0)222可得AB直线方程为2x 2- y 1 ,设P (x, (1 2x)32uuu 1 3ULr 13OP (x 2，y(1 2x)，BP (x -(1 2x)uuu uur -13 2 1OP BP 4x -3x+=4(x- ) 2816. q 一，一一 1当x= 3时，OP BP的取小值是一.816法二：

13、(基向量)luuu uuu uur解：OP OB BP, BP x,x 0,1uuu uur uur uir uir2 x贝U OP BP OB BP BP x -,2所以当x=-时，取得最小值.416法三：(极化恒等式)解：如图取OB的中点D，连接PDuuu uur 222 1OP BP PD OD PD 4即求PD的最小值.由图可知：当PD AB时 PDmin 4则Op .Bp的最小值是 .16例1与例2通过将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题，极化恒等式从中起到 重要的桥梁作用.但区别于例1,例2将数量积的最值问题转化为相应三角形的中线长最值问 题.例2中求PD的最小值还可以看成“

14、以 D为圆心的圆与线段 AB有公共点，求圆半径最 小值”.从这种角度看较类似的还有 2016届盐城市三模第11题：uur uir例3.已知线段 AB的长为2 ,动点C满足CA CB （为常数），且点C总不在以点B为圆心.1为半径的圆内，则负数的最大值是.2解析：如图，取 AB的中点D,连接CDuir uurCA CB CD2 1CD 1,10 1 又由点C总不在以点B圆心，一为半径的圆内,2故石1 ,则负数 的最大值是 -.24Buur uir（为常数）”通过极化本题我们将条件“线段 AB的长为2 ,动点C满足CA CB恒等式转化为C点的轨迹为圆，题目就转化为圆与圆的位置关系问题，较易解决例4

15、.设。是ABC外接圆的圆心，a,b,c分别为角A, B,C对应的边，已知2_2b 2b c0,则uurBCuurAO的范围是解析一：设D为BC的中点,uuur uuu则 AO ADuuuDOuuir uur uur uuu 得 BC AO BC (ADuuur uur uuuDO) BC ADuur uuur uuirBC DO) BCuurADuur uur 又由BC ACuuu uurAB, AD1 uur1 AC2uurABuuui uur 1 则 BC AD 2uurACuurABuurACuur ABuuur2 ACuurr2AB(2b b2)b22b b2uuur 合BCuurAD

16、b2可求得uurBCuurAD<2 ,解uur BC析uurAOuur uuuCB OAuur(OBABC uuur OC)uuuOA2R cos_2AOB RcosAOCR2_ 2_2 _ 2R (1 2sin C) R (12sin 2B)又因为b2 2b0,所以2buur uuu uuur uuu OB OA OC OAcos2 c222R2sin2b22R cos2B 2212B 2R2 sin2C b2 2uur所以BCuurAO1 h2 - b21l(2b 2(b 2)2b2)b2(b2)2(22)24(0 uur 故BCb 2)uuuAO的范围是4,2).由0 b24ABC

17、外接圆的半径为解析三：设得uur uurBC AOR,分别取AB、AC的中点E、F ,则依题意可uur uuu uur uuurCB OA (OB OC)uuuOAuur uuu uuur uuu OB OA OC OAuuu因为OBuur2 OEuur i uur uur uur uuu 22OA -(OB OA)2 (OB OA)241 UUU2 uui2-(4OE AB )(极化恒等式)同理可得1 2221 221212一c RAE-cR - c-c4444unr uuu1 uuruuuouuuruuu oOC OA(OCOA)2(OCOA)24R21 2-c21 UUU12 4(4OF

18、UUJT2AC )ULUF2 1 9OF-b24ULUl ULUr 所以BC AOR2R2AF21b24R21b241b2 4R21b2(R21岛2b)1b22又因为b2 2b c2 0,所以c2 2b b2 0ULUl ULUr 1c 1所以 BC AO -b2 (2b2211 o由0 b 2 (b )24222b2)b2b(22)21 21(b2)24(0b2)1UUUUUUU1一 2 ,故BC AO的范围是,2).44巩固练习:1.正方体ABCDAB1C1D1的棱长为2, MN是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦UUUl UUUMN最长

19、时，PM gPN的最大值为uuu uuu解：设球心为 O,当弦MN最长时，MN过O,此时PM gPNPO2_ 22MO PO 1uuur uuu又PO最大值为 布，故PM gPN的最大值为22. （2013北京市朝阳区二模）点P是棱长为1的正方体ABCDAB1C1D1 的底面 A1B1C1D1 ±uir uiu一点，则PAgPC的取值范围是 解;取AC中点O,连接PO1 八，又PO2uur uuuPAgPC PO2 AO2 PO2uur uiu1PAgPC的取值范围是 -,13 .设正方形 ABCD的边长为 4,动点P在以AB为直径的圆弧 ApB上（如图所示），则uuu uuuPDg

20、PC的取值范围是解：取CD的中点E,连接PEuuu uuu_PDgPC PE2 DE2 PE2 4,又 PE 2, 5urn uuuPDgPC 0,14 .如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则 uuu uuuOBgOC的最大值为解：取BC中点E,连接OEuuu uuu 1OBgOC OE2 -由条件知O在以AD为直径的半圆上,取AD中点F连接OF,EFcc13OEOFEF122urn uuu OBgOC的最大值为25.（自编）在平面直角坐标系 xOy中，A,B分别在x, y正半轴上移动，AB 2 ,若P点满足ULT ULTPAgPB 2,则OP的取值范

21、围为 .解：取AB中点为C,连接PCULI ULT222_PAgPB 2 PC AC PC 1, PC 3故P在以C为圆心， 点为半径的圆上 由条件知O在以AB为直径的半圆上则 OP 3 1, 3 1极化恒等式在数量积问题的综合应用【教学目标】3 .能利用极化恒等式解决数量积中较复杂的综合问题：4 .反思使用极化恒等式解决数量积最值问题的好处【教学过程】例1. （2015年盐城市高三数学调研 14题）正方形ABCD边长为1,中心为O,直线l经uuuULUULT过中心O,交AB于M ,交CD于N , P为平面上一点，且 20P OB （1 ）OC ,则UUU UUUPM PN的最小值为.法一.（

22、坐标法）解：建立如图所示的平面直角坐标系,如图：则B（ 1, J,吗，设P（x,y）UUU因为20PUUUOB (1UUU )OC所以(2x,2y)(2, 2)又令M ( 1,21a),N( ,a),a221 0,211 2)，则 P(ADNMCUUIT UUU则 PM PN =(1 2 )2161616当且仅当1一,a2法二.（极化恒等式）解：如图连接OP并延长交BC线段于因为B,H,C三点共线uuu 所以20PuuuOB(1uuu )OCuuur OHuuur uuuPM PNPO2OMOH 22OM 2uuir (PMuuuPN )min(空min4716练习:（2012南京模拟）在AB

23、C中，点E , F分别是线段AB, AC的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为2,uur uuu uuu2PBgPC BC的最小值是解：取BC的中点D,连接PDULT UUUuur2PBgPC BCPD2 BD22 一4BD，又ABC的面积为2uur uuu uuu24_设ABC中bc边上的高为h, PBgPC BC h2 3万4M h问题也可以从“已知向量数量积的最值求相关参数”的角度发问，比如：例2 （扬州市2015届高三上学期期末考试第14题）已知A（0,1）,曲线C : y loga x恒uuu uur过点B ,若P是曲线C上的动点，且 ABgAP的最小值为2,则a =法一：（坐标

24、法）0,故auuu uuu解：由条件知：当0 a 1时，（ABgAP）min又由 A(0,1),B(1,0)，设 P(x,logax)则有:uuu uuuABgAP(1,1)g(x,loga x 1)x loga x令 f(x)loga x 1 f (x) 11xln a1ln ax0，x a因为0In a一， 一一 ，1 ,f （x） 0,故 f（x）在（0,）上减；ln a1x ln a1，f（x） 0故f（x）在（/，+）上增;1所以x而时，“正1,、&+loga(lna)1=2法二：（极化恒等式）令 In a t,有 Int t 1=0,解：易知a 1,如图B（1,0）ULU

25、uuu因为ABgAP的最小值为2,则有（AC2 BC2）min 2 （ 2）2 AB2等价于 AB2 BC2 AC2,即 ABP 900当且仅当P与B重合时，取等号此时曲线C在B处的切线斜率为1,即，=1 a e.In a例2需要抓住题目中隐含条件 AB 显，通过极化恒等式将数量积的最值转化为角的最 值，理清等号成立的条彳%从而求出参数.有的时候题目的条件会告诉数量积的最值对应的位置，然后求相关的量，比如：1 一例3.（2013年浙江局考第7题）在 ABC中，P0是边AB上一定点，满足F0B - AB4uir urn uuu uuu且对于边AB上任意一点P,恒有PBgPC F0BgP0C则下列选项中正确的是（）A ABC 900B BAC 900 C AB ACD AC BC.法一:（坐标法）解：以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，不妨设 AB