陕西省高考数学试题及答案及解析

1、2015 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 . （5 分）（2015 陕西）设集合 M=x|x 2=x , N=x|lgx & 0 ,M则 N=（）A. 0, 1B. （0, 1 C. 0, 1 ）D. （ 8, 12 （ 5 分） （ 2015 陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A 93B 123C 137D 1673 （ 5 分） （ 2015 陕西） 如图， 某港口一天6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+。）+k .据此函数可知，这段时

2、间水深（单位：m ）的最大值为（）A 5B6C8D 1 04 . （5分）（2015陕西）二项式（x+1 ） n （ n CN + ）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A 7B6C5D 45 （ 5 分） （ 2015 陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.3ttB.4ttC.2兀+4D.3tt+46 . （5 分）（2015 陕西） sin a =cos a是 cos2 a =0）的（A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7 （ 5 分） （ 2015 陕西）对任意向量、 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A.| |B.|pD

3、. p=r q10 （5 分） （2015 陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、 B 两种原料已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产一吨甲、 乙产品可获得利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（甲乙A （吨） 32B （吨） 12A 1 2 万元B 1 6 万元11 （5 分） （2015 陕西）设复数（）A +B +原料限额128C 17 万元z= (xT ) +yi (x, y CC.一D 1 8 万元R）若团 1 ,y赠x的概率为D.一12 （5 分） （2015 陕西）对二次函数f （ x ） =ax 2 +bx+c（ a 为

4、非零整数） ，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A. - 1是f （x）的B. 1是f （x）的极零点值点C. 3是f （x）的极D.点（2, 8）在曲值线 y=f （ x ）上4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. （5分）（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015 ,则该数 列的首项为.14. （5分）（2015陕西）若抛物线 y2=2px （p0）的准线经过双曲线 x2 - y2=1的一个 焦点，则 p=.15. . （5分）（2015陕西）设曲线y=ex在点（0, 1）处的切线与曲线 y= （x0）上点P 的

5、切线垂直，则 P的坐标为.16. （5分）（2015陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面 边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值 为.三、解答题，共5小题，共70分17. . （12分）（2015陕西）ABC内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.向量二（a,b）与=（cosA , sinB ）平行.（I ）求 A；（n）若 a= , b=2 ,求 ABC面积.18. . （12 分）（2015 陕西）如图，在直角梯形 ABCD 中， AD/ BC, / BAD=AB=BC=1 , AD=2 , E是AD的中点，。是AC与BE的

6、交点，将ABE沿BE折起到 AiBE的位置，如图 2.（I）证明：CD,平aiOC;（n）若平面 A1BE,平面BCDE,求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值.19. （12分）（2015陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T, T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25303540频数(次) 20304010(I )求T的分布列与数学期望 ET;(n)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率20. (12分)(2015陕西)已知椭圆 E:

7、 +=1 (ab0)的半焦距为c,原点。到经过两 点( c， 0) ， (0 ， b )的直线的距离为 c(I )求椭圆E的离心率；(n)如图，AB是圆M : (x+2 ) 2+ (y-1) 2=的一条直径，若椭圆 E经过A、B两点，求椭圆 E 的方程21. . (12分)(2015陕西)设fn (x)是等比数列1, x, x2,，xn的各项和，其中x0, n C N, n 2 .(I )证明：函数Fn (x) =f n ( x) - 2在(，1 )内有且仅有一个零点 (记为xn),且xn=+x ；(n)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x),比较fn

8、 (x)和gn (x)的大小，并加以证明.四、选修题，请在22 、 23 、 24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分选修4-1 ：几何证明选讲22 . (10分)(2015陕西)如图，AB切。0于点B,直线AO交。0于D , E两点，BC, DE, 垂足为 C(I )证明：/ CBD=Z DBA;(n)若 AD=3DC , BC=,求。0 的直径.五、选修 4-4 ：坐标系与参数方程23 （ 2015 陕西）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数） ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为P =2sin 9.（I）写出OC的直角坐标方程；（

9、n） P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求 P的直角坐标.六、选修 4-5 ：不等式选讲24 . （2015陕西）已知关于 x的不等式|x+a| vb的解集为x|2vx4（I）求实数a, b的值；（n ）求+的最大值.2015 年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （5 分）考点 ： 并集及其运算专题 ： 集合分析： 求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案解答： 解：由 M=x|x 2=x=0 ， 1 ，N=x|lgx 0=0, （1,得 MU N=0 , 1 U （0, 1=0 ,

10、 1.故选： A 点评： 本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题2 （ 5 分）考点 ： 收集数据的方法专题 ： 计算题；概率与统计分析： 利用百分比，可得该校女教师的人数解答： 解：初中部女教师的人数为110 X 70%=77 ;高中部女教师的人数为40 X 150%=60 ,，该校女教师的人数为77+60=137,故选： C 点评： 本题考查该校女教师的人数， 考查收集数据的方法， 考查学生的计算能力， 比较基础3 （ 5 分）考点：由y=Asin （ w x+（）的部分图象确定其解析式.专题 ： 三 角函数的图像与性质分析： 由 题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值

11、解答：解：由题意可得当sin （ x+（）取最小值-1时，函数取最小值y min = - 3+k=2 ,解得k=5 ,y=3sin （ x+ （+5 ,当当sin （ x+取最大值1时，函数取最大值ymax =3+5=8 ，故选： C点评： 本 题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题4 （ 5 分）考点： 二 项式定理的应用专题： 二 项式定理分析： 由 题意可得 =15 ，解关于 n 的方程可得解答：解：,.二项式（x+1 ） n （nCN+）的展开式中x2的系数为15,=15 , lf=15 ,解得 n=6 ,故选： B点评：本 题考查二项式定理，属基础题5 （ 5 分）

12、考点：由 三视图求面积、体积专题：计 算题；空间位置关系与距离分析：根 据几何体的三视图， 得出该几何体是圆柱体的一部分， 利用图中数据求出它的表面积解答：解 ：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为S几何体=兀12+兀X 1 X 2+2 X 2=3 兀 +4 .故选： D 点评： 本 题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目6 （ 5 分）考点： 必 要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简 易逻辑分析：由C0S2 a =C02a-Sin2a,即可判断出.解答： 解：由 cos2 a =co2asin2a, sin a =cos a是C0S2

13、 a =0 的充分不必要条件.故选： A 点评： 本 题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题7 （ 5 分）考点 ： 平 面向量数量积的运算专题 ： 平 面向量及应用分析 由 向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得解答：解：选项 A 正确，.|二|1111cos|, 又 |cos V, | 1 ,| |-选项 C 正确，由向量数量积的运算可得（）2=| 2 ；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）（）=2-2.故选 B点评 本 题考查平面向量的数量积，属基础题8 （ 5 分）考点 ： 程 序框图专题 ： 图 表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环

14、得到的x的值，当x= -2时不满足条件x 0,计算并输出 y 的值为 10 解答 解 模拟执行程序框图，可得x=2006 ，x=2004满足条件x 0,x=2002满足条件x 0,x=2000满足条件x 0 ,x=0满足条件x 0 ,x= - 2不满足条件x 0 ,y=10输出 y 的值为 10 故选： C点评：本 题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题9 ( 5 分)考点：不等关系与不等式专题：不等式的解法及应用分析： 由题意可得p= (lna+lnb ), q=ln () ln =p , r= (lna+lnb ),可得大小关系.解答： 解：由题意可得若 p=f () =ln () =

15、lnab= ( lna+lnb ) ，q=f () =ln 0 ln 即，r= ( f ( a) +f ( b ) ) = ( lna+lnb ) ，1- p=r q故选： B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题10 (5 分)考点：简单线性规划的应用专题：不等式的解法及应用分析：设每天生产甲乙两种产品分别为 x ， y 顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为 x ， y 顿，利润为z 元，则，目标函数为z=3x+4y 作出二元一次不等式组所表

16、示的平面区域（阴影部分）即可行域由 z=3x+4y 得 y= - x+ ,平移直线y= - x+由图象可知当直线 y= - x+经过点B时，直线y= - x+的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即 B 的坐标为 x=2 ， y=3 ，- zmax =3x+4y=6+12=18即每天生产甲乙两种产品分别为 2 ， 3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元，故选 D 点评 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11 （5 分）考点：几何概型专题：概率与统计分析由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得解答： 解：:复数

17、z= （x1） +yi （x, y e R）且 |z| 1 ,忆尸 1,即-（1） 2+y 20)上点P的切线垂直点P处的切线斜率为-1 .又 y=-,设点 P (xo, yo)xo= 1 , 1.- xOx0=1-yo=1，点 P (1,1)故答案为 ( 1 ， 1 )点评 本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中16 (5分)考点：直线与圆锥曲线的关系专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果解答解 如图 建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为 y=ax 2，

18、因为抛物线经过(5，2)，可得 a= ，所以抛物线方程y= ，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为2X =2 ()二,等腰梯形的面积为：=16 ,当前最大流量的横截面的面积16-,原始的最大流量与当前最大流量的比值为： = 故答案为： 点评： 本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键三、解答题，共5 小题，共 70 分17 （12 分）考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示专题：解三角形分析： （I）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A;（n）利用A,以及a= , b=2 ,通过余弦定理求出c,然后求解ABC积.解答

19、： 解：（I）因为向量=（a, b）与二（cosA , sinB）平行，所以asinB - =0 ,由正弦定理可知：sinAsinB - sinBcosA=0 ,因为sinB 丰0,所以 tanA= ，可得 A= ；（n） a= , b=2 ,由余弦定理可得：a2=b 2+c 2 - 2bccosA ,可得 7=4+c 2 - 2c,解得 c=3 ， ABC勺面积为：=.点评： 本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力18 （12 分）考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：(I)根据线面垂直的判定定理即可证明:

20、ACOC乎面(II)若平面 AiBEL平面BCDE,建立空间坐标系，利用向量法即可求平面AiBC与平面 A1CD 夹角的余弦值解答： 证明：(I)在图1中，,AB=BC=1 , AD=2 , E是AD的中点，/ BAD=, BEX AC,即在图 2 中，BE, OA, BE OC,贝U BE,平面AiOC; CD/ BE,CD,平面 AlOC;(n)若平面 AlBE,平面BCDE,由(I )知 BEX OAi , BEX OC, /AiOC为二面角 Ai-BE-C的平面角， ZAiOC=,如图，建立空间坐标系， AiB=A iE=BC=ED=i . BC/ ED B (,0, 0), E (-

21、, 0, 0), Ai (0, 0,), C (0, 0),=(-,0), = (0,-),设平面AiBC 的法向量为 = (x，y， z) ，平面 AiCD的法向量为= (a， b， c) ，则得，令 x=i ，则y=i ， z=i ，即 = ( i ，i ， i ) ，由得，取 = (0， i， i)，贝 U cos =A1BC 与平面 A1CD 为钝二面角，平面AlBC与平面AiCD夹角的余弦值为一.点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法19 （12 分）考点 ： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题 ：

22、 概率与统计分析：（I）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数+样本容量，数学期望ET=25 X +30 X +35 乂 +40 X =32 （分钟）（II）设T1, T2分别表示往、返所需时间，事件 A对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”， 先求出P（）=P （T1=35 ， T2=40 ） +P （T1=40 ， T2=35 ） +P（T1=40 ，T2=40 ）=，即 P （A） =1 - P （）=.解答：解（I）由统计结果可得T的频率分布为T （分钟）25303540频率以频率估计概率得T 的分布列为T25303540P从而数学期望 ET=25 X +30 X +3

23、5 X +40 X =32 （分钟）（II）设T1, T2分别表示往、返所需时间，T1, T2的取值相互独立，且与 T的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，70 分钟”所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过P () =P (Ti+T270) =P (Tl=35 , T2=40 ) +P (Ti=40 , T2=35 ) +P (Ti=40 ,T2=40 ） = X + X + X =故 P （A） =1 - P （）=故答案为：（I ）分布列如上表，数学期望ET=32 （分钟）（n）点评：本题考查了频率=频数+样本容量，数学期望

24、，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题20 （ 12 分）考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程专题 ： 创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）求出经过点（0, b）和（c, 0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（n）由（I）知，椭圆 E的方程为x2+4y 2=4b 2,设出直线 AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3 ，即可得到椭圆方程解答： 解：（I）经过点（0, b）和（c, 0）的直线方程为 bx+cy - bc=0 ,则原点到直线的距离为 d=c

25、，即为 a=2b ，e= ；（n）由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y 2=4b 2,由题意可得圆心 M （-2, 1）是线段AB的中点，则|AB|二,易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y=k （ x+2 ） +1 ，代入可得（1+4k2） x2+8k （1+2k） x+4 （1+2k ） 2 - 4b 2=0 ,设 A （x1 ， y1） ， B （x2 ， y2） ，则 x1+x2= x1x2= ，由 xi+x 2= 4 ,得=4 ,解得 k=,从而 X1X2=8 2b2,于是 |AB|=|x 1 - X2|= ，解得b 2=3 ，则有椭圆 E 的方程为 +=1 点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题21 （ 12 分）考点 ： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合专题 ： 综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列分析： （I）由 Fn （x） =fn （x） - 2=1+X+X 2+Xn - 2 ,求得 Fn （1） 0, Fn （）0.再由导数判断出