雅可比迭代实验报告

1、雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告一、实验题目分别利用雅可比迭代法和高斯- 塞德尔迭代法求解以下线性方程组：10x1 x2 2x37.2x1 10x2 2x3 8.3x1 x2 5x34.2使得误差不超过。二、实验引言1. 实验目的掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran语言；了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。2. 实验意义雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。三、算法设计1. 雅可比迭代法原理：设有线性方程组Ax=b 满足aii0 , 将方程组变形为 : x=Bx+f, 则雅可比(Jacobi) 迭代法是指X (k 1) Bx

2、k f ，即 由初始解逐步迭代即可得到方程组的 解。算法步骤如下：步骤1.给定初始值xi(0), x20), x?,精度e,最大容许迭代次数 M令k=1步骤2.对i=1,2,n依次计算x1(bjei| xi(1)naijxj)/aii(aiij1xi(0) |0,i 1,2, ， n)(1)(0)步骤3.求出e maxei,若e ,则输出结果x?i 1,2, ,n),停止计算。 1in否则执行步骤 4.步骤4.若k M,k 1 k,转步骤2继续迭代。若k M,表明迭代失败，停止计算。2. 算法流程图四、程序设计program jacobi implicit none integer:i,jin

3、teger:ksave kreal,parameter:e=integer,parameter:n=3 real:x(n),y(n),b(n) data b/,real:D real:a(n,n) open (unit=10,file='')data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/ write(10,"(1x,/)")a forall(i=1:n)write(10,*)"*矩阵A 的形式为*"x(i)=0end forallk=0100 D=0do i=1,ny(i)=b(i)do j=1,nif(i/=j) y

4、(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end dodo j=1,nD=abs(x(j)-y(j)end doforall(i=1:n) x(i)=y(i) end forallif(D>=e) thenk=k+1write(10,*)" 迭代次数为： ",kgoto 100elsegoto 200end if200 write(10,*)""*”write(10,*)" 用 jacobi 方法解得的结果Xt 为：write(10,"(1x,/)")x(:)stopend p

5、rogram五、结果及讨论1. 实验结果矩阵 A 的形式为迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为： 迭代次数为：*用 jacobi 方法解得的结果Xt 为：2. 讨论分析（ 1）误差从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k 增大时，迭代值x1,y 1,z 1会越来越逼近方程组的精确解 x=,y=,z= 。（ 2）收敛性在本题目中 , 用雅可比迭代法和高斯- 塞德尔迭代法分别求解该线性方程组， 得到的近似根是收敛的六、算法评价优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。缺点：迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质（譬如是所谓对角占优阵）以保证过程的收敛性。高

6、斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快（ 达到同样的精度所需迭代次数少）, 但这个结论, 在一定条件下才是对的 , 甚至有这样的方程组 , 雅可比方法收敛，而高斯塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性方程组时， 只要误差截断设计的合理， 原则上可以得到很正确的解。 而通常我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。 由于它的准确性， 故在实际应用中比较常见， 对于解一般线性方程组非常有效准确。 通过该算法以及编程对求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A 始终不变，比较容易并行计算。 然而这种迭代方

7、式收敛速度较慢， 而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。附：高斯赛德尔程序 program G-S implicit none integer:i,j integer:k save k real,parameter:e= integer,parameter:n=3 real:x(n),y(n),b(n)data b/,real:Dreal:a(n,n)open (unit=10,file='') data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/矩阵A 的形式为*"write(10,*)"* write(

8、10,"(1x,/)")a forall(i=1:n)x(i)=0end forallk=0100 D=0do i=1,ny(i)=b(i)do j=1,nif(i<j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)if(i>j) y(i)=y(i)-a(i,j)*y(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end do do j=1,n D=abs(x(j)-y(j) end doforall(i=1:n)x(i)=y(i) end forallif(D>=e) thenk=k+1write(10,*)" 迭代次数为： ",kgoto 100elsegoto 200end if200 write(10,*)"write(10,*)""*”用 Gauss-seidel 方法解得