浙教版九年级数学寒假精选四十五题

1、寒假精选四十五题一、 选择题1、几何原本的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作（ ）A、欧几里得 B、杨辉 C、笛卡尔 D、刘徽2、如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长随他与点A之间的距离的变化而变化，那么表示与之间的函数关系的图像大致为（ ）3、如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为（ ）A、40 B、50 C、60 D、80 。4、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（AOB）为

2、120º，AO的长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ） A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm25、某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是（ ）6、定义新运算： ab=，则函数y=3x的图象大致是（ ）7、两个不相等的正数满足a+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)2 ,则S关于t的函数图像是（ ）A、射线（不含端点） B、线段（不含端点） C、直线 D、抛物线的一部分8、设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为，则，满足（ ）A、1<

3、<<2 B、 1<<2 < C、<1<<2 D、<1且>29、已知a，b为实数，则解可以为 2 < x < 2的不等式组是（ ）A、 B、 C、 D、10、如图，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径记为，扇形的半径记为R，那么（ ）A、R2B、RC、R3D、R4二、 填空题1、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是_2、如果=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于_3、如图以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中

4、，圆心角AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是_ 第3题 第4题 第5题4、如图，ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出_5、如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作O的

5、切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.，若，则BK_6、用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形，折纸过程如图所示，则等于_7、按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若，则运算进行_次才停止；若运算进行了次才停止，则的取值范围是_8、已知a+b=3，则ab有最_值，为_9、如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为_10、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_三、 解答题1、已知函数÷，无论n取何值，函数

6、一定经过定点A和B，求直线AB的解析式。2、我们把对非负实数x四舍五入到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，。如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4试解决下列问题：（1）填空：=_（为圆周率）；如果的取值范围为_（2）当；举例说明不恒成立；（3）求满足的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y为整数的个数记为；的个数记为b. 求证：（此小问看不懂没必要做）3、如图，RtABC中，C=90°，BC=6，AC=8点

7、P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQAB于Q，交AC于点H当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动设BP的长为x，HDE的面积为y（1）求证：DHQABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，HDE为等腰三角形？4、给出下列命题：命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;（1）请观察上面命题，猜想出命

8、题(是正整数);（2）证明你猜想的命题n是正确的.5、如图，在ABCD中，DAB60°，AB15已知O的半径等于3，AB，AD分别与O相切于点E，FO在ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止试求O滚过的路程 6、如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB.（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。7、如图1，抛物线yax 23axb经过A(1，0)，C(3，2)两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析

9、式；（2）若直线ykx1(k0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点E(1，1)作EFx轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180°得MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MGx轴于点G，若线段MG : AG1 : 2，求点M，N的坐标8、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且ACB=DCE(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tanACB=，BC=2，求O的半径9、为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯已知太阳能路灯售价为500

10、0元/个，目前两个商家有此产品甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个乙店一律按原价的80销售现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？10、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. 求证

11、：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.11、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系

12、式，并写出自变量t的取值范围12、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上(1)判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)13、如图.O 中，AB、AC是弦，O在ABO的内部，求、之间的数量关系。14、（1）请在图的正方形ABCD内，画出使APB90°的一个点P，并说明理由。（2）请在图的正方形ABCD内（含边），画出使APB60°的所有的

13、点P，并说明理由。（3）如图，现在一块矩形钢板ABCD，AB4，BC3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB和CPD钢板，且APBCPD60°，请你在图中画出符合要求的点P和P。 图 图 图15、如图，将ABC的三边分别扩大一倍得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，求点P的坐标。16、已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点。 求的值； 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。17、如图，RtAB ¢C ¢

14、 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由18、联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心.应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=，求APB的度数.探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的

15、长.19、如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R。求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状20、如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（）（1）当=60°时，求CE的

16、长；（2）当时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。连接CF，当取最大时，求tanDCF的值。21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1,0），B（3,1），C（3,3），反比例函数的图像过点D，点P是一次函数y=kx+3-3k的图象与该反比例函数的一个公共点。（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=kx+3-3k，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）。22、已知：y关于x的函数y(k1)x22kxk2的图象与x轴有交点(1)求k的取值范围；

17、(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x122kx2k24x1x2求k的值；当kxk2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值23、已知，点E是矩形ABCD的对角线BC上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为EC上的一动点，且PQBC于点Q，PRBD于点R 如图（甲），当点P为线段EC中点时，求证：PR+PQ=； 如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由； 如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量

18、关系？请直接写出你的猜想24、如图，抛物线F：yax 2bxc的顶点为P，抛物线F与轴交于点A，与直线OP交于点B过点P作PDx轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F ：yax 2bxc，抛物线F 与x轴的另一个交点为C（1）当a1，b2，c3时，求点C的坐标（直接写出答案）；（2）若a、b、c满足b 22ac求b : 的值；探究四边形OABC的形状，并说明理由25、如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样

19、的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 答案与说明：补充说明：1、共选了45个题目，没有按照难易程度编排，编排顺序是随意的。2、题目的难度不算很大，多是一些有趣的思维训练题，概念理解题和简单的综合应用题。3、答案中红色问题希望能引起重视。4、标注的题目非常推荐，值得一看。一、选择题1、A （你知道剩下三位数学家的成就吗？）2、A 3、A 4、C 5、A 6、B 7、B （这个题能自己做出来的不简单）8、D （这是一个构造函数的题目，你看出来了吗？）9、D （这个题很久以前出现过很多次，还记得吗？）10、D二、填空题1、742、10 （这个题研究数的外形）3、

20、4a24、 （这个题绝对经典）5、，6、90° （折过就知道了）7、4, 1<x48、最大值，为9、或10、三、解答题1、y=3（这条直线是函数吗？为什么？另外，定点问题你能理解本质吗？）2、（1）3；（2）（证明要严谨）证明：设为其小数部分.举反例略（3）作的图象，如图（的图像是难点） （绝对好方法，你能想到吗？）（4）（此小问看不懂没必要做）为整数，当的增大而增大， 则 比较，得： 3、（1）证明略；（2）y与x之间的函数解析式为；y的最大值是（3）当x的值为时，HDE是等腰三角形4、(1)命题n: 点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数)

21、. (2)把 代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，左边 =右边点(n，n2)在直线上.同理可证：点(n，n2)在双曲线上，点(n，n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确.（证明要严谨）5、6、（1）略；（2）略；（3）87、（1）yx 2x2；（2）k；（3）M (3，2)， N (1，3)（旋转180°意味着什么？你还记得吗？）8、（1）直线CE与O相切；（2）r=（又是一道可勾股可相似的题目）9、解：（1）由题意可知，当x100时，购买一个需元，故；当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500

22、元/个，所以x+100=250 即100x250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；当x>250时，购买一个需3500元，故；所以， (2) 当0<x100时，y1=5000x500000<1400000；当100<x250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000；所以，由，得； 由，得 故选择甲商家，最多能购买400个路灯10、略；当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. （只有对两点之间线段最短有着深刻的

23、理解，才能准确作图从而得到答案）正方形的边长为.11、(1)当t=1.5时，矩形面积为.(2)（亲爱的同学们，你们画图了吗？画了几个图呢？简单的动态分类讨论问题。）当0t1时，S=；当1<t<2时，S= 为定值；当2t3时；S= 12、(1)ABC和DEF相似根据勾股定理，得，BC=5 ；，ABCDEF（格点问题基本都是用三边成比例证明相似，你还记得有类似的题目吗？）(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可P2P5D，P4P5F，P2P4D，P4P5D，P2P4 P5，P1FD13、14、如图所示：（你能深刻理解作图本质吗？）15、（4，3）16、 （2）解：当、两点在上运

24、动时（与点不重合），的值不变过点作于，并延长交于，连接，交于。因为为等腰三角形， ，所以平分所以弧BN=弧CN，所以， 所以 所以=即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。17、（1）略；（2）当时，ACEFBE18、（先根据准外心的概念可知，准外心位置应分三种不同的情况来分析：PB=PC；PA=PC；PA=PB，然后具体解题。）应用：APB=90°.探究：解：若PB=PC，设PA=x，则x=，即PA=.若PA=PC，则PA=2.若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能。故PA=2或.19、（1）y=x2；（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（

25、0，1），则：则：PF=a2+1，PR=a2+1PF=PR（这样的计算你能算得又快有准吗？）（2，3）、（2，3）SFR是直角三角形20、（1）如果ABC=60°，在RtABC中，CE=BCsin60°=10=5（2）取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CGAFBG,FDCG四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形又AB=5，BC=10，AB=BG=FG=CG=5，四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形3=4，ABFGABFG1=2设GF交CE于M则MGBEEM=MCBECEGMCEFM垂直平分CEFE=FC2=3=4=1EFD=3AEFk=3设BE=x，则AE=5-x过点F作AB的垂线，垂足为N，则N=BEC=90°AFBGNAF=BNAFEBCAN