2011年上海市高考数学试卷(理科)

1、2011年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（2011上海）函数的反函数为f1（x）=_2（2011上海）若全集U=R，集合A=x|x1x|x0，则CUA=_3（2011上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=_4（2011上海）不等式的解为_5（2011上海）在极坐标系中，直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为_（结果用反三角函数值表示）6（2011上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75°，CBA=60°，则A、C两点之间的距离为_千米7（2011上海）若圆锥的侧面积为2

2、，底面面积为，则该圆锥的体积为_8（2011上海）函数的最大值为_9（2011上海）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123P（=x）？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E=_10（2011上海）行列式（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是_11（2011上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=_12（2011上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为_（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）13（2011上海

3、）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，则f（x）在区间10，10上的值域为_14（2011上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|2）（|OR1|2）0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，则=_二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（2011上海）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立

4、的是（）Aa2+b22abBCD16（2011上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ABy=x3Cy=2|x|Dy=cosx17（2011上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D1018（2011上海）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等

5、比数列，且公比相同三、解答题（共5小题，满分74分）19（2011上海）已知复数z1满足（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z220（2011上海）已知函数f（x）=a2x+b3x，其中常数a，b 满足ab0 （1）若ab0，判断函数f（x） 的单调性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x） 时的x 的取值范围21（2011上海）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱

6、ABCDA1B1C1D1的高22（2011上海）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式23（2011上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D=P|d（

7、P，l）1所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，2）A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）2011年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（2011上海）函数的反函数为f1（x）=考点：反函

8、数。专题：计算题。分析：直接利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案解答：解：设，可得xy2y=1，xy=1+2y，可得将x、y互换得故答案为：点评：本题考查了求函数的反函数的一般步骤，属于简单题2（2011上海）若全集U=R，集合A=x|x1x|x0，则CUA=（0，1）考点：补集及其运算。专题：计算题。分析：由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出CUA解答：解：集合A=x|x1x|x0=x|x1，或x0CUA=x|0x1=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键3（2011上海）设m是常数，若点F（0

9、，5）是双曲线的一个焦点，则m=16考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值解答：解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m0从而得出m+9=25，解得m=16故答案为：16点评：本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型4（2011上海）不等式的解为考点：其他不等式的解法。专题：计算题。

10、分析：通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可解答：解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为点评：本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法5（2011上海）在极坐标系中，直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点：简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题。专题：计算题。分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可解答：解：（2cos+s

11、in）=2，cos=12x+y2=0与x=12x+y2=0与x=1夹角的正切值为直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题6（2011上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75°，CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米考点：解三角形的实际应用。专题：计算题。分析：先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得ACB，进而表示出AD，进而在RtABD中，表示出AB和AD的关系求得x解答：解：由A点向BC作垂线

12、，垂足为D，设AC=x，CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°AD=x在RtABD中，ABsin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：下由正弦定理求解：CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°又相距2千米的A、B两点，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：点评：本题主要考查了解三角形的实际应用主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得A

13、C7（2011上海）若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积解答：解：根据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2，又，圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××=故答案为点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力8（2011上海）函数的最大值为考点：三角函数的最值。专题：计算题。分析：利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值解答：解：=

14、cosxcos（x）=cos+cos（2x）=cos（2x）+故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值考查了考生对三角函数基础公式的熟练记忆9（2011上海）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123P（=x）？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E=2考点：离散型随机变量的期望与方差。专题：计算题；整体思想。分析：根据已知设出P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，且根据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，根据离散型随机变量分布

15、列的期望求法即可求得结果在计算过程中注意整体性解答：解：设P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，则2a+b=1，E=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为2点评：此题是个基础题考查离散型随机变量的期望和方差，在计算过程中注意离散型随机变量分布列的性质和整体代换10（2011上海）行列式（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是6考点：二阶行列式的定义。专题：计算题。分析：先按照行列式的运算法则，直接展开化简得adbc，再根据条件a，b，c，d1，1，2进行分析计算，比较可得其最大值解答：解：，a，b，c，d1，1，2ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：1

16、×2=2，adbc的最大值是：6故答案为：6点评：本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题11（2011上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=考点：向量在几何中的应用。专题：计算题；数形结合；转化思想。分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值解答：解：AB=3，BD=1，D是BC上的三等分点，=9=，故答案为点评：此题是个中档题考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想12（2011上海）随机抽取的9位同学中，至

17、少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）考点：古典概型及其概率计算公式。专题：计算题。分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，要求的事件的概率是1=1=0.985，故答案为：0.985点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个

18、易错题，注意本题的运算不要出错13（2011上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，则f（x）在区间10，10上的值域为15，11考点：函数的周期性；函数的值域。专题：计算题；转化思想。分析：根据已知中（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间10，9，9，8，9，10上的值域，进而求出f（x）在区间10，10上的值域法二：可根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，研究函数f（x）=x+g（x）的性质，得f（x+1）f（x）

19、=1，由此关系求出函数在f（x）在区间10，10上的值域即可解答：解：法一：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又函数f（x）=x+g（x）在3，4的值域是2，5令x+6=t，当x3，4时，t=x+69，10此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=x+g（x）+6 所以，在t9，10时，f（t）4，11（1）同理，令x13=t，在当x3，4时，t=x1310，9此时，f（t）=t+g（t）=（x13）+g（x13）=（x13）+g（x）=x+g（x）13 所以，当t10，9时，f（t）15，8（2）由（1）（2）得到，f（x）在10，10

20、上的值域为15，11故答案为：15，11法二：由题意f（x）x=g（x） 在R上成立 故 f（x+1）（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，11点评：本题考查的知识点是函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性利用换元法将区间10，9上的值域转化为区间3，4上的值域问题，是解答本题的关键14（2011上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|2）（|OR1|2）0，记Q1R

21、1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，则=考点：数列与解析几何的综合；数列的极限。专题：综合题。分析：由题意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，中比有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，Pn，的极限为：（），然后求出解答：解：由题意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，中比有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于

22、P1，P2，Pn，是中点，根据题意推出P1，P2，Pn，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：点评：本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，Pn的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（2011上海）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD考点：基本不等式。专题：综合题。分析：利用基本不等式需注意：各数必须是正数不等式a2+b22ab的使用条件是a，bR解答：解：对于A；a2+b22ab所以A错对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时

23、，所以B，C错ab0故选D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等16（2011上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ABy=x3Cy=2|x|Dy=cosx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。专题：阅读型。分析：根据题意，将x用x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性解答：解：对于函数的定义域为xR且x0将x用x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x（0，+）时，在区间（0，+）上单调递减的函数故选A点评：本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用

24、导函数的符号判断函数的单调性17（2011上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D10考点：向量的加法及其几何意义。专题：计算题。分析：根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案解答：解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，则有x=，y=；只有一组解，即符

25、合条件的点M有且只有一个；故选B点评：本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案18（2011上海）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同考点：等比数列的性质。分析：根据题意可表示Ai，先看充分性，An为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，a2

26、n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同；再看必要性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得解答：解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质，

27、充分条件，必要条件和充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力三、解答题（共5小题，满分74分）19（2011上海）已知复数z1满足（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2考点：复数代数形式的混合运算。专题：计算题。分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2解答：解：z1=2i设z2=a+2i（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是实数4a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实

28、数的充要条件是虚部为020（2011上海）已知函数f（x）=a2x+b3x，其中常数a，b 满足ab0 （1）若ab0，判断函数f（x） 的单调性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x） 时的x 的取值范围考点：指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点。专题：计算题。分析：（1）先把ab0分为a0，b0与a0，b0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断（2）把ab0分为a0，b0与a0，b0两种情况；然后由f（x+1）f（x）化简得a2x2b3x，再根据a的正负性得或；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围解答：解：（1）若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为增函数，所以f（

29、x）=a2x+b3x在R上为增函数；若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为减函数，所以f（x）=a2x+b3x在R上为减函数（2）若a0，b0，由f（x+1）f（x）得a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化简得a2x2b3x，即，解得x；若a0，b0，由f（x+1）f（x）可得，解得x点评：本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法21（2011上海）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C

30、1D1的高考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算。专题：综合题；转化思想。分析：（1）此题由题意画出图形因为ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为，所以应先利用线面角及二面角的定义求出，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出解答：解：（1）由题意画出图形为：ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，又因为二面角AB1D1A1的大

31、小为，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，AO1A1=，而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，（2）O1为B1D1的中点，而AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，AO1B1D1B1D1平面ACC1A1平面AB1D1平面ACC1A1且交线为AO1，点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用RtAA1O1RtCHA 得到，而，AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2点评：此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力22（2011上海）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2

32、n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式考点：等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法。专题：综合题；分类讨论；转化思想。分析：（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项（2）对于数列an，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式（3）对an中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对bn中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项解答：解：（1）a1=3×1+6=9； a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于an=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7bn当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k1+7不属于bn在数列cn中，但不在数列b