(浙江专用)2020高考数学三角函数、平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形教案

1、第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值核心提炼1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(± § ) = sina cos (3 ± cos(2)cos(a cos (3 ?sin(3)tan(tan士 § ) = 1?tana ±tan 3 tan (3 .2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2a = 2sin(2)cos 2c cos a ；2a = cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin(3)tan 22tan a民=A J. _ 2 -1 tan a典型例题八 兀.已知 cos

2、 0 + sin,则 sin7兀口e +的值是（）4A- 5C.D.4.35(2)若 sin=，且一兀£ 4,兀,B e兀，芋，则a + B的值是（）9兀 B.47兀A.一4因为cos,3所以-cos3e +2sin e4,35 ,即.3 2cose+乎sin4 ；3即 msin0兀4/3+ 6 = 5 ,所以sin 0兀 4 66 =5,所以sin 97兀十万八兀一sin e+-4 ，一-5.故选C.(2)因为a兀,所以2 a兀2,2口，又sin 245 w. - 兀La =、-,故 2aC-2",兀，aC了，彳，所以cos 2 a一半.又B3兀"2"

3、是 cos( B a )=,所以 cos( a +) ) = cos2+ ( B a ) = cos 2 a cos( B a ) sin 2s sin( 310-浮”考且a +邛 51027 714【答案】(1)C(2)A常值代换：特别是“三角函数恒等变换1”的代换,1 = sin 2 0“四大策略”(2)项的分拆与角的配凑：如 sin 2 a2+ 2cos a+ cos2 0 = tan 45 ° 等；=(sin 2 a + cos? a ) + cos? a ,(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化：一般是切化弦.对点训练x x)x1 .(2

4、019 杭州市局二模拟 )函数f (x) = 3sin 2cos万+ 4cos 2 ( x R)的取大值等于()9一2 2 B D解析：选 B.因为 f(x) = 3sin xcos x+4cos2x 222=|sin x+2cos x+ 2=f sin x+：cos x + 2 22 555 .=2sin( x+ 6 ) + 2,其中sin,46 =二,cos593 =3sin(2 a + § ),则 tan( a所以函数f(x)的最大值为2.2. (2019 浙江五校联考 )已知3tan 方+tan 2"2"= 1,sin+ 3)=()A.3B.C. -2D.

5、 33解析：选 B.因为 sin 3 =3sin(2 a + B),所以 sin(a + § ) - a = 3sin( a + B ) + a ,所以 sin( a + 3 )cos a COS( a + 3 )sin a = 3sin( a + 3 ) , cos 3 )sin a ,所以 2sin( a + 3 )cos a = 4cos( a + 3 )sin a ,b,、，sin ( a + B ) 4sin a所以 tan( a + B ) =-(' 5= = 2tan a ,cos ( a + B ) 2cos a又因为 3tan "2-+tan 22

6、= 1,所以 3tan -2- = 1 tan 2-2-,a + 3cos( a +2t a所以 tan a =不，所以 tan( a + § ) = 一 2tan a =1-tan2? 333. （2019 宁波诺丁汉大学附中高三期中检测）若sin（兀+ x） + cos（兀+1 + tan x兀sin xcos x 4解析：sin(兀 + x) + cos(.、.1兀+ x) = sin xcos x= 2,1即 sin x+ cos x= 2,两边平方得：sin 2x+2sin xcos x + cos 2x = 4,即 1 + sin 2 x=1 贝Usin 2 x=

7、77; 44,1 + tan x由兀sin xcos x 4x (cos x+ sin x)sin x cos x22 .,22 .,28,2一sin xcos x- sin 2 x-3 3-438 2答案：-4利用正、余弦定理解三角形核心提炼1.正弦定理及其变形在ABC43 ,二= = =J = 2RR 为ABC勺外接圆半径）.变形：a=2RSin Asin sin A sin B sin C aA= 2r, a - b - c= sin A . sin B sinC等.2.余弦定理及其变形在ABC中，a2=b2+c22bccos A；2,22b + c a变形：b + c a = 2bcc

8、os Acos A=2bc3.三角形面积公式c 11LS；aabn -absin C=二bcsin A= -acsin B 222典型例题例1（1）（2018 高考浙江卷）在 ABC中，角A B,C所对的边分别为a,b,c.若a=S，b=2, A= 60 ，则 sin B=, c =.（2）在 ABC3，内角A B C所对的边分别为 a, b, c.已知b+ c= 2acos B证明：A= 2B;若cos B= 2,求cos C的值.3【解】（1）因为a=J7, b=2,A= 60。，所以由正弦定理得 sin B=由余弦定理 a2= b2+c22bccos A可得c22c3=0，所以c=3.故

9、填:bsin A 2" 2 y12 a 7 - 7 .口 37(2)证明：由正弦定理得 sin B+ sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B= sin B+ sin( A+ B) = sin B+sinAcosB+cosAsinB,于是 sinB= sin(AB).又 A, BC (0,兀)，故 0vA Bv 兀,所以 B=兀一(A- B)或 B= A- B因此A=兀(舍去)或A= 2B,所以A= 2B.由cos B=得sin B= 号， 3322B= 27.cos 2 B= 2cos2B 1 = 1,9故 cos A= ；,sin A= -, 99cos C

10、= cos( A+ B) = cos Acos B+ sin Asin正、余弦定理的适用条件(1) “已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理.(2) “已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理.对点训练1 .(2019 高考浙江卷)在ABB，/ABC= 90 , AB= 4, BC= 3,点 D 在线段 AC±.若 / BDC=45，则 BD=,cos / ABD=.解析：在RkABCf，易得AC= 5,sin C= AB=:.在 BC计，由正弦定理得 BD= g. BC.AC 5sin z_ BDC34 12 2 .x sin / BCD=

11、m * 5= 5，sin / DBC= sin兀一(/ BCDF / BDC = sin (/ BCID- / BDC = "2" 4 x/2 3 J2 7J2_兀sin / BCDos / BD& cos / B“n ZBDC= 5x5 X 小又/ ABDF /DBC=万，所以12 .2 7 “2答案:cos Z ABD= sin / DBC= -.102 . (2019 义乌高三月考)在4ABC中，内角 ABC对应的三边长分别为a, b, c,且满足c bcos A-a =b2-a2.(1)求角B的大小；(2)若BD为AC边上的中线,cos A= 7, BD=

12、哼9,求ABC勺面积.a . 22解：(1)因为 c bcos A- 2 = b -a, 即 2bccos A- ac= 2( b2 a2), 所以 b2+ c2- a2-ac= 2( b2- a2), 所以 a2+ c2 b2 = ac,cos B= J, B=".23（2）法一：在三角形AB计,由余弦定理得T2=c2+b 2 b2 2c 2cos A，1292b2 1_所以=c +4- 7bc,在三角形 ABN，由已知得sin A= 平,所以 sin C= sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B=。,由正弦定理得c=b.由，解得b= 7,c= 5.

13、1.所以 Sabc= 2bcsin A= 1法二：延长 BD至ij E, DE= BD连接AE在 ABE中，/ BAE= 1",bE = A戌+A= 2 - AB- AE- cos / BAE因为AE= BC129= c2+ a2+ a c,由已知得，sin /BAC= 473,所以sinC= sin( A+ B)=5*314c sin / ACB 5_=a sin / BAC 8.由解得c=5, a = 8,Saabc= 2c. a , sin / ABC= 10/3.解三角形中的最值（范围）问题典型例题例3（1）在 ABC43，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知

14、2ccos B= 2a- b.求角C的大小；1右CA- CB = 2,求 ABCW积的取大值.(2)(2019 杭州市高考数学二模 )在AB8，内角A B, C所对的边分别为a,b, c,若msinA =sin B+ sin q me R).当mi= 3时，求cos A的最小值；兀当A=不时，求m的取值范围.3【解】(1)因为2ccos B= 2ab,所以 2sin(cosB=2sinAsinB= 2sin(B+C) sinB化简得 sin B= 2sin Bcos C一,一， 一 1因为 sin Bw 0,所以 cos C= 2.1兀因为0V Cv兀,所以C=.3取BC的中点D则 条 2cb

15、 = |da = 2.在ADC3 ,aD=aC+ CD2AC CDcos C2即有4= b +所以ab< 8,当且仅当a= 4, b= 2时取等号.所以及 ABC= ；absin C= -4abw 2 3,所以 ABC面积的最大值为2 . 3.(2)因为在 ABCP msin A= sin B+ sin C当 m= 3 时，3sinA= sin B+ sin C,由正弦定理可得3a = b+c,再由余弦定理可得a 22 b2+c2-1(b+c)b + c -a92bc8- 9172c+2 Ibbe2- 98- 9be2be2be2719当且仅当b = c时取等号故cos A的最小值为9.

16、当 A= 3时，可得 ¥m= sin B+ sin C号sin3sinB+ 卒:3升sin3sin C升号/os1B+ 2sin B3 .B+ cos B+ 可sin B=：3sinB+ cos_. r 兀B= 2sin B+ ,因为Be0,所以所以兀sinB+ 12, 1 ,所以兀2sin B+ （1,2,所以m的取值范围为(1,2.(1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如a2+b2-2abcos C= c2)且a2+b2>2ab,因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题1E般利用S= 2absin C型面积公式及基本不等式求解，

17、有时也用到三角函数的有界性.(2)求三角形中范围问题的常见类型求三角形某边的取值范围.求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围.求与已知有关的参数的范围或最值.对点训练3 211.在ABC3, XC- XB= | AC-Ab =3,则 ABO 积的最大值为（）A. 21D. 3.21解析：选B.设角AB,C所对的边分别为a,b,c,因为AC Ab= | AC-AB =3,所以 bccos A= a= 3.又 cos A=b2+c2a292bc>1_2bc=13cos A2,一 2所以ss A>5,所以 0Vsin Aw W，1.3所以 ABC的面积 S= 2b

18、csin A= 2tan3A 2X.21 3 21故ABC0积的最大值为-12. (2019 浙江“七彩阳光”联盟联考其面积满足Sab- -a2,则2的最大值为( 4 b'A.y2-1C.淄+ 1)已知a, b, c分别为 ABC勺内角A B, C所对的边)B. 2D. 2+ 2解析：选C.根据题意，有SLab= 4a2=2bcsin A,应用余弦定理，可得 b2+c22bccos A= 2bcsin A,令 t=c,于是 12+1 2t cos A= 2t sin bA.于是 2tsin A+ 2tcos A= 12+ 1,L兀1.1 L . 一 一一L所以242sin A+ =t+

19、从而t + tW22，解得t的最大值为42+1.3. (2019 浙江绍兴一中模拟)在 ABC中，a, b, c分别为角 AB,C的对边，且满足b2+ c2 -a2= bc.求角A的值；(2)若a=#,记 ABC勺周长为y,试求y的取值范围.解：(1)因为 b2+c2a2=bc,所以由余弦定理得cos A=b2+ c2 a22bc12,因为AC （0 ,兀）,兀所以A=.3(2)由a=小,A=及正弦定理3sin B sin C sin A2得 b=2sin B, c=2sin0,方B,其中BC3所以周长y=国+ 2sinB+ 2sin2兀-3"B = 3sin B+ 避cos B+

20、邓=2sin_ 兀B+ - +3,由于BC。，下，得计一5兀T从而周长ye(2舟43.专题强化训练1.已知sin7t6兀=cos -+ a6,贝U cos 2 a =()A. 1B. 1D. 0解析：选D.因为sin兀a = cos6一，1,所以-cos a乎sin a= jcos1 .oc sin2一sin acos2 a sin 2 a2唱cos a ,所以21 tan asin 2 a + cos2 a tan 2 a + 1 0.tansinacos丁=- 1,所以cos 22 a = cos a2.A.f (x)的最小正周期为兀,最大值为3B.f (x)的最小正周期为兀,最大值为4C

21、.f (x)的最小正周期为2兀,最大值为3D.f (x)的最小正周期为2兀,最大值为4解析：选 B.易知 f (x) = 2cos2x sin 2x+2 = 3cos2x+1 =2(2cos 2x1)+ 2+ 1 =_cos 2 x+52,则f(x)的最小正周期为兀，当x=k兀(ke Z)时,f (x)取得最大值，最大值为4.3. (2019 台州市高考一模)在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a, b, c,已知a=1,2bq3c=2acos Csin C=兴则ABC勺面积为()b.TC.半或半D. 3或产解析：选 C.因为2b43c =2acos C所以由正弦定理可得 2sin B

22、3 sin C= 2sin Acos C所以 2sin( M C)，3sin C= 2sin Acos C所以 2cos Asin C= 3sin C所以cos A=乎，所以A= 30° ,因为sin C=，所以C= 60或120 .A= 30° ,C= 60° ,B= 90° ,a=1,所以 ABC的面积为 2*1*2*申=乎，A= 30° ,C= 120° ,B= 30° ,a= 1,所以ABC勺面积为2*1*1*=*,故选C.4 .在4ABC中，三个内角 AB,C所对的边分别为a,b,c,若 Sibc= 273,a+

23、b =acos B+ bcos A6,= 2cos C 则 c=()cA. 2 7B. 2 3C. 4D. 3 3“l 3-E4acos B+ bcos A sin Acos B+ sin Bcos A sin (A+ B)解析：选 B.因为=: =-一=二 =1,所以 2coscsin Csin (A+ B)C= 1,所以 C=.又 Saabc= 2斓，则2absin C= 2，3,所以 ab= 8.因为 a+ b= 6,所以 c2= a2+ b22abcos C= (a+ b) 2ab ab = (a+ b) 3ab= 6 3x 8= 12,所以 c= 2y3.5.公元前6世纪，古希腊的毕

24、达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割土匀为 0.618,这一数值也可以表示为m 2sin 18 ° ,若n1= 4,则2cosm7n _ 1 =()A. 8B. 4C. 2D. 1解析：选C.因为亦2sin 18 ° , 2 .右 m + n= 4,贝U n= 4n2= 44sin 218° = 4(1 sin 218° ) = 4cos218° ,mjn 2sin18 ° 44cos218°4sin 18 ° cos 18 0 2sin 36 °所以 2cos227° 1

25、= cos 54 °= sin 36 °= sin 36 °6. （2019 杭州市高三期末检测）设点P在 ABC勺BC边所在的直线上从左到右运动 ,设 ABP与 ACP勺外接圆面积之比为 人,当点P不与B C重合时（）A.人先变小再变大B.当M为线段BC中点时,入最大C.人先变大再变小D.入是一个定值解析：选D.设4ABP与4八。巾勺外接圆半径分别为 ri,2,则 2r i =ABACsin / APB2 r2=sin / APC因为/ AP跳 / APC= 180 , 所以 sin Z APB= sin /APCABAC22I 1 AB > , 所以入=

26、y = Ag.故选D.7 （2019 .福州市综合质量检测）已知但tan，若sin 2（a + Y）=3sin 21A.23C.2D.2解析：选 D.设 A= a + 3 + Y , B= a - B + Y , 则 2( a + 丫)= A+ B2 § = A B因为 sin 2( a + y ) = 3sin 2 (3 ,所以 sin( A+ E) = 3sin( A- E),即 sinAcosB+cosAsinB=3(sinAcosB cosAsinB),即 2cos Asin B= sin Acos B,所以 tan A= 2tan B_, tan A 一，所以m二2,故选D

27、.tan b8.（2019 咸阳二模）已知 ABCW三个内角 A B, C的对边分别为a, b, c,且22f+告sin A sin B2c2,sinA(1- cosC)= sinBsinCb= 6, AB边上的点M满足XM= 2MB过点M的直线与射线CACB分别交于P, Q两点,则MP + MQ最小值是（）A. 36B.37C. 38D.39-L "， r、»e A a2b22 rr2 ，、，解析：选 A.由正弦定理，知snA+ snB= 2c2,即2=2sin2C,所以兀“rtsinC= 1,0 2，所以sinA（1 cosC） = sinBsinC 即 sinA=si

28、nB,兀所以A= B=彳.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M2,4),一 兀 。，万，贝UmP+ mQ= sin16e + cos42J = (sin 2 e2+ cos10.右 a e 0, ,cos a 解析：由已知得 平(cos a +sin 所以 cos a + sin a = 0 或 cos 由 cos a + sin a = 0 得 tan a所以sin 2 a1516.答案:15160 ) . 16A +42 A =20+ 4tan 2 0 + -6 > 36,当且仅当 tan 0 =庭时等号成立，即 MP+sin 0 cos 0tan 07MQ最小值为36.

29、9.已知 2cos2x+sin 2 x= Asin( cox+() + b(A>0),则 A=, b=.解析：由于 2cos2x+ sin 2 x=1+cos 2 x+sin 2 x=/2sin(2 x+4) + 1，所以 A= /2, b=1.答案：2 1=2J2cos 2 a ,则 sin 2 a =.a ) = 2/2(cos a - sin a) (cos a+sin a),a - sin a =,4=-1,一一一 一 兀因为a 0,所以cos a + sin a = 0不满足条件；由 cos a -sin a =；两边平方得 1 sin 2 a =,41611.（2019 金丽

30、衢十二校联考二模）在ABC,内角A、BC所对的边分别为a、b、c,acosB= bcos A,4 S= 2a2 c2,其中5是4 ABC勺面积,则C的大小为解析： ABC3, acos B= bcos A所以 sinAcosB= sinBcosA所以 sinAcosB cosAsinB= sin(A B)= 0,所以A= B,所以a= b;1又 ABC勺面积为S= absin C且 4S= 2a2c2,所以 2absin C= 2a2c2=a2+b2c2,所以sina2 + b2 c2C=2ab =cos C兀 所以C=.答案：:412. (2019 绍兴市一中高三期末检测) ABC中，D为线

31、段BC的中点，AB= 2AC= 2,tan / CAa sin / BAC则 BC=._ sin Z CAD _ _ _sin/CAD 解析：由正弦定理可知, /DArv 2,又tan / CAasin / BAC则sin ( / CARsin / BADcos / CAD/ BAD，利用三角恒等变形可化为1 .cos / BAC= 2,据余弦 te理 BC=，aC+ A、2 AC AB cos / BAC 1+4-2 =立答案：313. (2019 惠州第一次调研 )已知 a, b,ABC3角 A, B C的对边,a=4, be (4,6),sin 2A= sin C,则c的取值范围为 .1

32、6= b2+c22bccos A一，4 c 4 c ,一，解析：由痴飞=才飞倚忑下嬴二,所以c=8cos A因为所以 16 b2= 64cos2A 16bcos2A 又 b4,所以 cos2A=16-b264 16b(4 b) (4+b)16 (4b)4 + b 66所以 c2=64cos2A= 64X 416b=16+4b.因为 bC(4,6),所以 32<c2<40,所以 4叱2弋<2/10.答案：(4 .2,2 ,10)14. (2019 绍兴市一中期末检测 )设 ABC勺内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c且acos C1.-2c=b.(1)求角A的大小;

33、（2）若a= 3,求 ABC勺周长l的取值范围.11解：(1)由 acos C /c=b 得：sin Acos C-/sin C= sin B,又 sinB= sin(A+C)= sinAcosC+cosAsinC1 .所以 2sin C= cos Asin C,因为 sin Cw 0,.1所以 cos A= 2,又0v Av兀，2兀所以A= z-.3 asin B(2)由正弦定理得：b= s1n A = 273sin B, c= 2sin Cl =a+b+c= 3 +2第(sinB+ sin C)=3+ 2#sinB+ sin( A+ 场=3+2斓 2sin B+ 坐cos B=3+2/sin B+-3-,因为A= -3-,所以BC 0,所以所以则 ABC勺周长l的取值范围为（6,3 +2# .15. （2019 湖州模拟）在4ABC中，角AB, C所对的边分别为 a, b, c,已知（sin A+ sin B+ sin C)(sinB+ sin C sin A) = 3sin Bsin C.(1)求角A的值；(2)求3sin B- cos C的最大值.解：(1)因为(sinA+ sin B+ sin C)(sinB+ sin C sin A)=3sinBsin C,由正弦定理，得(a+ b+ c)(