(完整word版)阎守胜答案

1、固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思考题1 .如何理解电子分布函数f(E)的物理意义是：能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率？解答金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布,温度为T时，分布在能级E上的电子数目n =一 e(E -EF)/kBT1,g为简并度，即能级E包含的量子态数目.显然，电子分布函数f(E)= e(E ±F)/kBT是温度T时，能级E的一个量子态上平均分布的电子数一1.因为一个量子态最多由一个电子所占据，所以f(E)的物理意义又可表述为：能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几 率.2 .绝对零度时，价电子与晶格是否交换能量？解答晶格的振动形成格波

2、， 价电子与晶格交换能量， 实际是价电子与格波交换能量 .格波的能量子称为声子，价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量.频率为期的格波的声子数1ni =evn.从上式可以看出，绝对零度时，任何频率的格波的声子全都消失.因此，绝对零度时，价电子与晶格不再交换能量.3 .你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？解答自由电子论只考虑电子的动能 .在绝对零度时，金属中白自由(价)电子，分布在费密 能级及其以下的能级上，即分布在一个费密球内.在常温下，费密球内部离费密面远的状 态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状 态上，能够发生能态

3、跃迁的仅是费密面附近的少数电子，而绝大多数电子的能态不会改变.也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近4 .晶体膨胀时，费密能级如何变化？解答费密能级-202.2/3Ef 二一 (3n)2m,其中n是单位体积内的价电子数目.晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费密能级降低.5 .为什么温度升高，费密能反而降低？解答当T#0时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级.温度升高，费密面附近的电子从格波获取的能量就越大 ，跃迁到费密面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低也就是说，温度升高，费

4、密能反而降低.6 .为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？解答我们讨论绝对零度时电子的平均动由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近, 能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果.在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费密球中均匀分布.由(6.4)式可知,k0价电子的浓度越大费密球的半径就越大这一点从（6.5）密能又正比与电子浓度和(6.3)2/3 n式看得更清楚2、1/3= （3n 二），高能量的电子就越多，价电子的平均动能就0.电子的平均动能E正比与费密能 EF ,而费所以价电子的浓度越大E0Ei

5、E0-23n2m322 2/3H 110m2 2/33n 二,价电子的平均动能就越大7 .对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子，二者有何本质上的联系？解答对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子.能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子.因为，在常温下，费密球内部离费密面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子，这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上对电导有贡献的电子，即是对电流有贡献的电子，它们是能态能够发生变化的电子由（6.79）式f = f0 e （v ；）二 E可知，加电场后，电

6、子分布发生了偏移.正是这偏移开0e (v ；)部分才对电流和电导有贡献.这偏移部分是能态发生变化的电子产生的.而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子，这些电子能从外场中获取能量，跃迁到费密面附近或以外的空状态上 .而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒，这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上 电子仅是费密面附近电子的结论从（6.83）式.对电流和电导有贡献的和立方结构金属的电导率2ej x -24fvX2dS2e<T =4 二 2F "IdS,E看得更清楚.以上两式的积分仅限于费密面，说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之，仅仅是费

7、密面附近的电子对比热和电导有贡献，二者本质上的联系是：对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8 .在常温下，两金属接触后，从一种金属跑到另一种金属的电子，其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗？解答电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和，该电子将成为脱离金属的热发射电子.在常温下，两金属接触后，从一种金属跑到另一种金属的电子，其能量通常远低于费密能与脱出功之和.假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为EF1和EF2,且EF1>EF2 ,接触平衡后电势分别为V1和V2.则两金属接触后,金属1中能量高于efi -eV

8、i的电子将跑到金属 2中.由于Vi大于0,所以在常温下,两金属接触后,从金 属1跑到金属2的电子，其能量只小于等于金属1的费密能.9 .两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？解答两块同种金属,温度分别为T1和T2,且T1>T2.在这种#况下,温度为T1的金属高0 0于EF的电子数目，多于温度为T2的金属高于EF的电子数目.两块金属接触后，系统的 能量要取最小值，温度为T1的金属高于E0的部分电子将流向温度为T2的金属.温度未达到相等前，这种流动一直持续.期间，温度为T1的金属失去电子，带正电；温度为T2 的金属得到电子，带负电，二者出现电势差. 10.

9、如果不存在碰撞机制，在外电场下，金属中电子的分布函数如何变化？解答如果不存在碰撞机制，当有外电场8后，电子波矢的时间变化率 dk _ 上 dt 一上式说明，不论电子的波矢取何值，所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同.如果没有外电场总时，电子的分布是一个费密球，当有外电场 名后，费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移，电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11 .为什么价电子的浓度越高，电导率越高？解答电导仃是金属通流能力的量度.通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数 (参见思考题18).但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费密面附近的电子.费密球越大，对导电有贡献的电子数目就越

10、多 .费密球的大小取决于费密半径kF =(3n二 2)1/3 .可见电子浓度n越高，费密球越大，对导电有贡献的电子数目就越多 ，该金属的电导率就越 tWj .12 .电子散射几率与声子浓度有何关系？电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系？解答设波矢为k的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为0(k,k,9),则0(k,k',9)即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数.如果把电子和声子分别看成单原子气体，按照经典统计理论，单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度若只考虑正常散射过程，电子的平均散射角谷与声子的平均波矢q的关系为由于k =k =kF ,所以在常温下,由于q<&l

11、t;ksin三二工2 2kF上式可化成如成正比.解答按照德拜模型，由(3.133)式可知，在甚低温下,固体的比热CV12二4NkB)3由上式可见，在常温下，电子的平均散射角与声子的平均动量13 .低温下，固体比热与T3成正比，电阻率与T5成正比，T2之差是彳S原因？而声子的浓度2 .3- m d；.【C 2 3 .0，用TT"2二 vp e B -1作变量变换运x =kBT得到甚低温下-AkB -n - o 2 3：3T2 二 Vnp其中二 x - m D( )d , n =J7 0，用FiT - Vc e B -1dxA = 0e -1可见在甚低温下，固体的比热与声子的浓度成正比按

12、照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知，纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动352量的平方成正比.可见，固体比热与T3成正比，电阻率与T5成正比，T2之差是出自声子平均动量的平方上.这一点可由(6.90)式得到证明.由(6.90)可得声子平均动量的平方其中2一 q2T6P -x3dxbex 一1 x2dx_xe 1。14 .霍耳电场与洛伦兹力有何关系解答霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的.设金属的长度方向为x轴，电场名沿x方向，磁场B沿z轴方向，金属的宽度方向为y轴方向.在此情况下，运动的电子将受到洛 伦兹力F = -e(v B)的作用.该作用力指向负y方向，使电子在运动过程中

13、向负y方向偏转，致使负y侧面的电子浓度增大，正y侧面的电子浓度减小.其结果，如下图所示，使得导体的宽度方向产生 了一个附加电场 *y,即霍耳电场.15 .如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴？解答由(6.109)可以看出，电子导电材料的霍耳系数是一负值.通过实验测定出材料的霍耳系数，若霍耳系数是负值，则可断定载流子是电子，若霍耳系数是正值，则可断定载流子 是空穴.16 .磁场与电场，哪一种场对电子分布函数的影响大？为什么？解答磁场与电场相比较，电场对电子分布函数的影响大.因为磁场对电子的作用是洛伦兹力，洛伦兹力只改变电子运动方向，并不对电子做功.也就是说，当只有磁场情况下，非磁性金属中价电子

14、的分布函数不会改变.但在磁场与电场同时存在的情况下，由于产生了附加霍耳电场，磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来.但与电场相比，磁场对电子分布函数的影响要弱得多.17 .为什么在开路状态下，传导电子能传输热流？解答在开路斗态下，温差引起的传导电流为0,说明单位时间内由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低白区域的电子数，等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子数.但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能，高于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能.也就是说，尽管在开路状态下，温差引起的传导电流为0,但仍有热能由温度高的区域传输到温

15、度低的区域.18 .电导大的金属热导系数也大，其本质联系是什么？解答以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是jx =Cx 电流密度jx就大.电导6成为金属通流能力的量度可见，电场强度“ 一定，电导仃大, 热导系数与热能流密度的关系是,dT qx = -k dx .可见，温度梯度一定，热导系数k大, 流能力的量度.热能流密度qx就大.热导系数k成为金属传输热能通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数.而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目.也就是说，二者传输能量的机制是相同的.因此，电导大的金属 热导系数也大.另外，由(6.126)可知，金属的热导系数.22_kB二 n fT.22

16、/2kBn T ne tf3e2*3m对于立方晶系金属来说2ne f可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比，自然电导大的金属热导系数也大1.1对于体积V内N个电子的自由电子气体，证明(1)电子气体的压强p =(2/3) m (/V),其中即为电子气体的基态能量。(2) 体积弹性模量K =7(印/卬)为10%/9V 。证明：(1)电子气体的基态能量(即绝对零度时的内能)2 -33 22m ； 2 d；(D2m(2)k3(3)综合(1)、(2)、(3)可得23ki 3 二2N0 二一N - 5 2m V-2(4)所以压强为寸 n=(2/3) (；0/V)(5)(2)对于自由电子气体(6)；012k

17、F5V 一 二2 10m而费米波矢kF与体积V的关系为2 M 工 M f nkF 3 = N (7)8二 33所以1.22 二，(小3 二 210m V代入模量表达式得(8)2 日2152： 1 :K = -V(?p/?V) =-V(-(工)(3二 N)3匕)33 二210m3V10 方2 1 3h2N J 10/-2() 一9 二 210m V 9 V(9)3He原子是具有自旋1/2的费米子，在绝对零度附近，液体 3He的密度为0.081g cm-3。计算费米能量 不和费米温度TF03He原子的质量为m咫x10-24g 解：3He原子密度为：7m0.081, . *2J3n = =24 =1

18、.62 10 cmm 5 10电子密度和费米波矢的关系为:,32kF = 3二 n(2)所以费米波矢为kF= 3.3二 2n = 7.72 107cmJ(3)费米能量为1.32m(6.58 1046eV s)2(7.72 107cm-242 5 10 g= 4.20 10 "eV费米温度为Tf=，F / kB4.20 10 “eV_ _-58.617 10 eV K低温下金属4)24 = 4.86K(4)(5)钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为Ce =2.08T mJ mol，-K,，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度 Tf及费米面上的态密度g(r)。解：电子热容量与费米温度关系为

19、2Cv =CeNAnkB T-T F(1)钾的电子密度为n=1.40 1022cm4(2)所以费米温度为二2TTf = NAkB 2Ce1.38 10'J K'TK2.08T(mJ mof K)(3)2二一 231一 6.02 10mol2= 1.97 104K电子热容量与费米面上的态密度的关系为八n cCvKCekBg(年)T(4)所以费米面上态密度为nCeg ( ； f ) =y2一 N AKbT312222.08T(mJ mol K ) 1.40 10 cm2(5)_ 232_ 231T(1.3810J K )26.0210 mol_40_3 _ 211_3= 7.72

20、10 J cm =6.20 10 eV cmcm o计算1.4铜的密度为Pm =8.95g/cm3,室温下的电阻率为= 1.55父10*0(D(2)导电电子浓度;弛豫时间；(3)费米能量“，费米速度v(4)费米面上的电子平均自由程If。解：(1)导电电子浓度为:m Mn = NAA(D8.95g/cm, 6.02 1023mol”163.5g mol_ _ 22-3= 8.48 10 cm(2)电导率与弛豫时间关系是CT(2)由此可得，弛豫时间为ne2 P(3)9.1 10/8g8.48 1022cm，(1.6 1019C)2 1.55 10?cm一14= 2.70 10 s(3)费米波矢和电

21、子密度之间关系为(4)k3 =3二 2n由此可得铜的费米波矢为kF ="312n二3；'3父，2 父8.28父1022cm.(5)= 1.35 108 cm费米能量为2kF2c2k2咛T2m 2mc(197nm eV)2 (1.35 108cm )2=6 (6)2 0.511 10 eV= 6.92eV费米速度为v F = 2 F / m=J2 M 6.92eV/(9.1 - 10"8g)= 1.56 108 cm s4(4)费米面上的平均自由程为lF =vF =1.56 108 2.70 10 44(8)=41.2nm8.5 考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气

22、体，电子系统相对于等量均匀 正电荷背景有一小的整体位移，证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这 一小振动问题的特征频率。解：8.6 在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？解：金属Al的电子密度223n = 18.1 父 10 cm(1)对应的特征频率ne0 D = Ip ：0 m_ 118.lMl022cm.m(1.6m10，9C)2一 丫8.85父10,七2 N i 父9.1父10玉= 2.40 1016rad s相应波长2二c 2二 3.0 108m s-“- 0 p 2.40m 1016s(3)=78.5nm当满足6Asp(4)时，金属Al是透明的。此时波长应小于 78.5nm

23、。8.7 对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化， 即横向磁阻为零。解：8.8 对于表面在2 = 0和2 = 1之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒 (1)证明单电子波函数比例于sin kzzexp i(kxx ky y)(2)证明在金属内r处的电荷密度为：(r) = ：。1 -3j1(u)/u其中u=2kpZ, P0是波函数比例于exp i(kxx+kyy+ kzZ)时的电荷密度,j1是一级球贝塞尔函数。第二章晶体的结构2.1 证明对于六角密堆积结构，理想的 c/a比为(8/3) 1/2定1.633 .又：金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆

24、积结构，假定相变时金属 的密度维持不变，已知立方相的品格常数a = 0.423nm,设六角密堆积结构相 的c/a维持理想值，试求其品格常数。解：理想的六角米堆积构成的六角棱柱如右图所示其中每4个不共面的近邻原子构成一个边长为 a的正四面体，而c正好是正四面体高的两倍，可以求得正四面体的高为萍a,所以c/ a u 8 3 1.633体心立方每个单胞的体积为Vbcc = a3cc =(0.4233 = 0.07569nm3每个单胞中含有两个原子，所以原子密度为2 0.07569 =26.42nm_3六角密堆积的单胞体积为1, 39QVhcp =6a c = 3 ,"2 ap 22每个单胞

25、里有6个原子，所以原子密度为6/（3.2a3）要求密度相等，相当于原子密度不变.2a ,，=26.42六角密堆积的晶格常数a= 0.377nm, c=0.615nm2.2 证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格子的品格常数。解：简单六角的基矢可以选为a1 = ax-a . 3a2 二一x ay 22KiI"?a3 =cz单胞体积为.、- .: 3 2= a1 , a2a3 = a c2倒格基矢应为2：二2二3:4.3 -：，31x y =（一 x - y）a3a 3a22b2b32二 a3 a1 _4.3二'J 一 3a2二 ai a22二/Ji符

26、合简单六角基矢特点，所以到给仍为简单六角，晶格常数分别为任一和3a2 二0c2.3 画出体心立方和面心立方品格结构的金属在（100）, （110）和（111）面上 原子排列。解：2.4 指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）的交线的晶向。 解：明：（1）对于体心立方格子, ni的和为偶数。2.5 如将布拉维格子的格点位置在直角坐标系中用一组数（%，1,%）表示，证Q全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，解：(1)体心立方格子基矢a .ai = -(y z -x)2一 a .a2 = (z x - y)2a , a3 =2(x y -z)任意格矢可写为Rm = ma

27、i m2a2 m3a3代入具体的基矢Rm = (m2 m3 一m1)x(m3 m1 一m2)y(m1 m2 -m3)z222an 二 m2m3 - min2 = m3n3 二m1m1 - m2m2 - m3当 m1，m2,m3为全奇或一奇二偶时，ni,1，心全为奇数；当m1，m2 ， m3为全偶或二奇一偶时，”，n2, n3全为偶数。(2)体心立方格子基矢- aai = -(y z)2aa2 = - (z x)2- aa3 =-(x y)2任意格矢可写为m2a2m3a3Rm5向代入具体的基矢Rm = -(m2 m«3)x(m3 m1)y(m1 m«2)z222an1 = m

28、2 m3n2 = m3 ml% = mi m2三数之和ni n2 n3 = 2(mi m2 m3)2.6 可在面心立方晶体中掺入外来院子，掺杂原子填入四面体或八面体为止，即 掺杂原子周围的品格原子分别处于正四面体和正八面体的顶点位置上。试给 出这些间隙位置的所在。解：2.7 算出图2.1所示二维蜂房格子的几何结构因子。解：A原子和B原子不等效，看作一个基元，原胞中包含这两个原子，取基 矢如右图，并定为ai = ax-a 3a 2 x 1 ay22根据aibj =2兀乐得bi -b2 -2 二 2 .3x a 3a4- - 3：., y二 4 3,: 3 31- y =( x - - y)3a

29、22倒格矢可写为iGh = h1b1h2 b2=hi2二2.3二x (2h2 -h1)y3a原胞中两原子位矢di =0, a - 、/3d2 = - x ay26几何结构因子一G d；S-' fje =f|(1e2-(hi h2)二3)2.8 已知三斜品系的晶体中，三个基矢为,2和a3 ,现测知该晶体的某一晶面法 线与三基矢夹角为a, P和¥。试求该晶面的面指数。解：2.9 证明六角晶体的介电常数张量为&_L0解：对于六角晶体，绕六重轴的转动操作可写为0nc o s331一 s i n-3此操作为对称操作，可使得ij =、mn im - jn -'mn*/0&

30、lt;0由上式得00®_L00 L2.10 对于一个三主轴方向周期分别为a,b和c的正交简单晶格，当入射X射线与100方向（其重复周期为a） 一致时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大? 什么样的X射线波长才能观察到极大？2.11 对一双原子线，设AB键长为a/2,取ABAB- AB排列，原子A, B的形状因 子分别是fA, fB ,入射X射线束垂直于原子线(1)证明干涉条件为n?3= acose ,其中曰为衍射束与原子线的夹角；(2)倒格矢G=hb, h为整数，证明 h为奇数时衍射束的强度正比于 2 2fA - fb| , h为偶数时衍射束的强度正比于|fA + fb ；(3)说明f

31、A = fB时会出现什么现象。解：(1)第三章能带论IVx =彳-12一 m2I3 .1电子在周期场中的势能函数 b2 -(x -na 2 na-b<x<na+b0, n -1 a b_x_na-b其中a =4b , &为常数(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个近代的宽度解：(1)画出势能曲线如下图势能为周期函数，平均势能可以是在一个周期求平均得到的结果一 x2 dx_12b1 b 122V V (x)dxm b4b s 4b2m24b |L221 3b xx312. 2=-m b(2)晶体的第一个禁带宽度 鸟g =2M ,

32、第二个禁带宽度82g =2V2 ,其中Vi,V2分别是势能函数V(x)的傅立叶展开系数1 2b-i.x1 b 1-ixV1 =V xe a dxm (b - x )e a dx42. 2=m ' b1 2bV2 =汨 2bV xe.4二-i- -xa4b 2b4b21 b 1222-i-xdxm (b - x )e a dx4b2禁带宽度分别为82. 2为m ' b3L3.2设有二维正方晶格，其晶格势场为V(x, y) - -4U cos(2二x/a)cos(2二y/a)按弱周期场近似，求出布里渊区角处(n/a,n/a)的能隙解：品格势场可以变形为乏 x/二:x ij ，沁V(

33、x, y) = -U (e a e a )(e a e a )将上式展开得2 一22 -2 i(x y)i.(x_y)i(/.y)i (/_y)V(x, y) = -U (e a e a e a e a )在二维品格空间中r = xi? y?倒格矢2IT c cG =J(hi?+b2?)bib 为整数a势能函数的泰勒展开式为V = " VGeiG rG和前面得到的势能形式对比，可知V 二VG eiG1,1r VG eiGl,-r -VG 丁/ VGei'rGi,iGi, 1G1,iG _L 工其他倒格矢对应的项都为零，只有Gii = (?+?) , Gi=2L(i?),a，

34、aGAi = - (-i?+?), G=(-i?-?)对应的项存在， a， aVG=VG=VG=VG- -UGi,iGi, iG JJG 工 i所以在布里渊区角处(n/ai/a)的能隙为%=2VgW =2U3.4考虑品格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令Gc为平行于晶格c轴的最短倒格矢。(D证明对于六角密堆积结构，晶体势场 V(r)的傅里叶分量V(Gc)为零。(2) V(2Gc)是否也为零？(3)为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？(4)为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？解：(i)简单六角的基矢为一一 a _.3a .a =a及，a2 =一父

35、+P, a3=c?22六角密堆积每个基元中有2个原子，坐标分别为(0,0,0)和(JJ),2 2 2而 Gc：212, V(GJ=£ Vj(Gc)e"Gcdj ,这两个原子的 Vj(GJ 相 cj同，所以-4( 2) (-3>? 3 ?把2).一V(Gc)=Vi(GJi e c 4 4 2 =M(Gc)i e' =0(2)六角密堆积中一一i4L?(.3a* .1? :?)V(2GJ =Vi(2GJ1 e c 44 2 = 2Vi(2GJ = 0(3)对于处于简单六角点阵上的二价原子，每个初基晶胞中一个二价原子，这样N个初基晶胞中共有2N个价电子，刚好可以填满第

36、一布里渊区的一个能带。故原则上可以成为绝缘体。(4)对于处于六角密堆积点阵上的单价原子， 每个初基晶胞中有两个单价原子， 这样N个初基晶胞中共有2N个价电子，而第一布里渊区的一个能带可以填 4N 个电子，不可能成为绝缘体。第四章能带论II4.1 一维晶体的电子能带可以写成* =( 2/ma2)7/8 -co ka (1/8)co 2ka其中a为品格常数，试求(1)能带宽度；(2)电子速度(3)能带底部和顶部电 子的有效质量。解：(1) k=0是能带具有最小值 武0)=02 2k=n/a时，能带具有最大值名%)= J ma所以能带宽度为222ma(2)(3)电子在波矢k状态时的速度为1 d ；(

37、k)' . .1vk = =(s ika si i2ka) dk ma4电子的有效质量的倒数为211 d ；(k)1 ,122( c oka c o 2ka) m* 2 dk2 m2k=0时，有效质量 m*=2m2k=n/a时有效质重m* = m34.3在金属钿的倒带底，有效质量张量有如下形式«xx 00 '0%y %z0 a auzy zz /且ayz=4y,试求有效质量张量的各元素。解：设有效质量张量为* * 、mxxmxymxz*myxmyymyz*Ezxmzymzz J可以得m.,xx* lyx* Izxxy*yy* bym.'xz 、* xx*0yy

38、'工zyyz'工zz0、0*即mxx.lxx=1 ，*mxy -I yymxz工 zy*=0 5mxy& yzmxz zz = 0 ,*mvxa xx = 0 ,yx xx*myy ：- yy*+ myz« zy = 1，myyOt yz + myz zz = 0一一*mzx0t xx = 0 ,*mzyB yy + 仃仪 zy = 0 ,仃口 yz + 仃口 zz = 1由此可以解得* mxx1*一 ，mxy-：xx*=mxz = myx = mzx = 0 ,*azzmyy =2",、 yy- £ zz，、1 yz* mzzyy2-，-

39、yy -Jzz -yz* myz*二 mzyyza otyy zz2yz即有效质量张量为、£xx二 zz: yy ：. zz -Ot yz:yy:zz-2二 yz:yz2Ot Ot -Otyy zz yzotyy:yy:zz-二 yz第五章5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果晶格振动2: m M0 + = P 一 mM1-1-4mM2I im M_ 2 sin说明当两原子质量m = M时,结果回到一维单原子链情形 解：当m = M时2qa1 二 cos2qa5.3一维双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替的等于c和10c令原子质量相同，且最近邻距为 a/2,试求在q =0

40、和q =冗/a处的s(q)。解：一维双原子链示意图如下 c10c_._c 10c c n-1,1n-1,2n,1n,2n+1,1n+1,2只考虑最近邻作用，此双原子链的运动方程为mun,1 =10C(Un,2 Un,i)C(Un,2 -4,1)mUn,2 =c(un,1 -un,2)10C(Un 1,1 -un,2)取其解的形式为Um .Aei(qna-t) ,1代入运动方程可得(m- 2 -11c)A c(1 10eJqa)B =0c(1 10eiqa)A (m 2 -11c)B =0有解条件是下列行列式为零mw2 -11c c(1 +10eJqa)八 ha9=0c(1 +10e )mcc

41、-11c由此可以解得-2 =-11 -121 -40sin2(1qa)"一 m2q =0时有22cq =n/a时有20c5.7考虑一个全同原子组成的平面方格子，用 ui,m记第1歹I，第m行的原子垂直 于格平面的位移，每个原子质量为 M,最近邻原子的力常数为P0(1)证明运动方程为M(d2Ui,m/dt2) = U(U1 1,m U m -2Ui,m) (Ui,m 1 Ui,m-2Ui,m)(2)设解的形式为Ui,m =u(0)exp i(lqxa+mqya -切t),这里a是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的，如果 02M =2P(2-cosqxa-c0sqya),这就是问题的 色散关系。(3)证明独立解存在的q空间区域是一个边长为2n/a的正方形，这是平面方格 子的第一布里渊区。画出q=qx,而qy=0时，和qx = qy