(完整版)可靠性试题

1、练习一1 .设导弹的可靠度为0.85,两枚导弹在射击目标时不是互相统计独立，第一枚未击中第二枚也击不中的概率为0.2，然而第一枚击中，第二枚击中的概率不变，仍旧是0.85,试问两枚 导弹至少有一枚击中的概率？解：P(A) 085 P(B|A) 0.2P(B|A) 085 P(B|A) 08 P(B|A) 015至少有一枚击中的概率是：P(AB) P(AB) P(BA)注意本题指的是第一枚未击中情况下，第二枚的击中概率会有变化 ，如果第一枚击中话则第二枚射击无影响，所以A,B和AB是统计独立的，故有：P(AB) P(A) P(B) 085 085 0.7225P(AB) P(A) P(B) 08

2、5 085 01275但A和B是统计相关的P(AB) P(A)P(B|A) 0,15 080.12所以至少击中一枚的概率为它们之和=0.972 .试验一种产品，有98%勺判断有缺陷的产品，而4%勺概率将好产品认为是有缺陷的，如果对一批试验产品有3% 勺次品率，问一个产品归为次品而真正是次品的概率是多少？解：D表示产品是有缺陷的事件P(C|D) =0.04C表示将产品归为有缺陷事件那么 P(D)=0.03 P(C|D)=0.98用贝叶斯定理来计算P(D|C)P(D|C)P(D)P(C|D)P(C|D)P(D) P(C|D)P(D)(0.03)(0.98)(0.98)(0.03) (0.04)(0

3、.97)0.43练习二2.1 设有一批零件共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问恰好有一件次品的概率是 多少？解：S= "从100件中任取50件”共有多少种抽法，即C500 每一种抽法就是一个事件，即得到总的样品空间数。50! (100 50)!B= "任取50件，其中恰好有1件次品”，由多少基本事件?显然，任抽的50件恰好有一件次品，必须从95件合格品中抽出49件合格品，共有C99种取法，而从5件次品中取1件次品共有c5种抽法，所以，b事件的数目为C59 c；,而它占总的样品空间的比例即为所求的概率2.2解:ET95!pB证明:c940c550C100MTTF0

4、 tdF (t)0 tdR(t)tR(t)0° R(t)dto Rdt549!(95 49)!15.3%100!50!(100 50)!R(t)dt设t 0 tf (t)dt是一个有限数，则lim t tf (t)dt 0对于任何的T 0 ,有0 TR(T) T t f(t)dt T tf (t)dtlim TR(T) 0lim tR(t) 0* ,、2.2 证明：MTTF lim R (S) s 0解：由终值定理有下列等式：_ * _lim R(t) lim S R (S) ts 0ttMTTF lim R(t)dt lim S £ R(t)dtt 0s0另外证明可按拉氏

5、变换定义得到：Sim0 S* _R (S) 小、 lim R (S)S s 0MTTF R(t)dt0_ *stR (S) R(t) e dt0*R (0) R(t)dt MTTF 02.3有100台仪表工作到1000小时有10台发生故障，工作到2000小时，总共有22台发生故障求此仪表的分别在1000小时与2000小时的可靠度及累积失效概率？, ,N Nf(t)100 10解:t=1000 小时 n=(1000)=10,R(1000) -90%N100t=2000小时，n(2000) 22,R(2000)累积失效概率即不可靠度为N n(2000)N100 22 78%100n(t) 10F(

6、1000)=10%F(2000)=22 %2.4有一台设备上的零件在使用了2000小时期间更换两次，这零件通常失效率较低，取入=0.1 X 103小时，求这台设备发生二次故障概率？设备工作是否正常解:因入 t=0.1 X 10-3 X 2000=0.2按泊松分布在2000小时内二次故障概率(t)0 t t1f(2) e 1o.2 (0.2)0 01642!设备工作是不正常2.5设有N=100个产品，从t=0开始运行，在50小时内无故障，在5051小时内发生1个故障, 在5152小时内发生3个故障，求该产品在50及51小时的故障率？解:(50)0.01/小时100 12.6(51) 0030/小

7、时 99已知压力阀门的失效率为(t)1-,试求该部件的累积失效分布F(t)和失效函数t 2f(t).解：F(t)=1-exp 2出1-F(t)=F(t)=1-exp =1-exp 1t 2t 2 2t 2ln(tln(t2)：2)ln 2exp(ln2)f(t)= R(t)2_ 2(t 2)2.7已知失效率服从下述关系(t) k(t ti) ttitete试求时间t系数的可靠度和失效密度函数,R(t)解：当t ti指数分布 ft ti, R(t)titexp 0 (x)dx t (x)dxtexp(ti) exp k(t t)dttiexp(ti) exp (t ti) exp k(t ti)

8、dttiexp(2 .t) exp k 2tiexp(expf(t) k(tkt) exp - (tk2t 2(t ti) t ti)eti)22k(t ti)222.8已知某部件的失效率入=i0 5/小时，试求:(a)i000小时部件可靠度？(b)如果有i000个这样的部件同时工作，问i000小时工作内有多少部件已经失效(c)部件在一个MTTF寸间的可靠度是多少？(d)如果已知部件工作了 i000小时，问继续工作i000小时的概率是多少？解：(a) R(i000)=i000 ii0000.99(b)tN n(t)(t) N n(t)_ 5 _i0 (i000 0) i000i0MTBF(c)

9、 R(MTTF)= e MTBF e i 0.368(d) 根据指数分布的无记忆性P(t tt i000,T t) P(i000)0.99证明无记忆性简单说明如下P(ttt)P(t t,t) P(t t)P(t)P(t)(t t)/e t t2.9进行汽车轴承的磨损实验，投试的样品为46,现将试验结果统计表如下区间(公里)故障数目0 w rnc 200001920000 & me 400001140000 & me 60000760000 < me 80000580000 & me 1000004100000< m0试求失效率函数，可靠度函数解(1)：首先按

10、时间求出系统各点的可靠度与不可靠度公里数(t)累积失效总数NfF(t)= Nf/NR(t)=1-F(t)20000190.4130.58740000300.6520.34860000370.8040.19680000420.9130.087100000461.0000.0f (t) N-N t46.20000Nf(t) Ns tN f-Ns0.20710 40.20710 41946一 一一 40.12010一一一 40.204101270.07610 40.21910 4716,一 40.05510,一 40.27810590.04410 40.50010 444解(2)摘自书(9)例：计算

11、公式:R(t)等h(ti)N(t) N(t t)第一组结果如下：R(20000) 27/46 0.58746 274h?(ti)0.207 10 446 (20000)f,(ti)27 1646 (20000)_40.120 10tN N(t)F?(t)R(t)f?(t) 104h?(t) 10420000190.4130.5870.2070.20740000300.6520.3480.1200.20460000370.8040.1960.0760.21980000420.9130.0870.0550.278100000461.0000.00.0440.500练习三3.1在某一系统中，对某一种

12、继电器，要求它必须动作2000次，如果随机地抽取 20只继电器作 动作次数试验，作到10000次都没有失效的，那么在90%的置信度条件下，母体可靠度的置 信下限是多少呢？解1:总的动作次数 =20 X 10000=200000;公200000n=工作周期数=100；2000因为无效的，所以,n=100; r=0=0.90.解2:在二项式可靠度表中，查n=179、r=0那一行和=0.90那一列的数值，得RL 0.9772t02000按零失效估计：R(t0)T0,n0.121050.9771解 3:Rl-! 0.9775 , F012.331 标1(2,200)3.2如果某产品的失效分布是指数分布

13、，如果随机抽取80只产品进行250小时寿命试验，发现78只是可靠的，有2只失效，若以90%勺置信度推算失效率入的置信上限U解：因为R 1 F e t ,1所以ln Rt利用二项式可靠度表，查n=80、r=2那一行和=0.90那一列的数值，为Rl0.9348Rl-1(r 1)7-) F 2(r 1),2(n r) (n r)3.4解:u 250ln(0.9348)0.0674225000002697 .设某批产品符合指数分布，从该批中随机地抽取20件，进行无替换寿命试验，试验到11件失效停止试验，它们的试验失效时间为t(1)=7, t(2)=12, t(3)=15, t(4)=24,t(5)=2

14、5 , t(6)=48 , t=53 , t(8)=56 , t(9)=72 , t(10)=95 , t(11)=110 ,求置信度95%,入的双边置信区间和单边置信上限？入的双边置信区间：2/2(2r)i2 /2(2r)2r (r,n)2r (r,n)r (r,n)t(i) (n r)t(r) RL ! 0.9348,31 右 Fo.i(6,156)78将其代入上式,当t=250小时,得到=7+12+15+24+25+48+53+56+72+95+(20-10)x110 =1507.查表：2/2(2r)2.025(22)36.781i2 /2(2r)2.975(22)10.982求得入的双

15、边置信区间:10.9822 15070.003636.7812 15070.0122入的单边置信上限:P(0Jjrl) 12r (r,n)查表:i2 (2r)晨(22) 33.924求得入的单边置信上限:至典0.01132 15073.5抽五个产品进行定时截尾的可靠性寿命试验，截尾时间定为 100小时，已知在试验期间产品试验结果如下：t1 50小时，和12 70小时产品失效，t3 30小时有一产品停止试验，计算该产品的点平均寿命值解：总试验时间Tn50 70 30 (5 3) 100 350 小时350点平均寿命MTTF= 350 175小时 23.6 设产品的寿命服从指数分布，抽其10个产品

16、进行无替换定时截尾试验已观察到二次失效，第一次在ti 250小时，第二次t2400小时，在置信度为0.95下，为满足平均寿命的单侧置彳t下限为 1000小时，还需继续进行无失效试验多少小时？解：设还需继续进行无失效试验时间t总试验时间 Sn t1 t2 (n 2) (t2 t)无替换定时截尾试验平均寿命的单侧置信下限：2Sn1000 M 2 (250 400 8(400 t)L 2.05(2r 2)黑t = (100012.59)/2 250 4008400 306小时3.7 设某批产品符合指数分布，从该批中随机地抽取10件，进行无替换寿命试验试验到300hr停止试验，在停止t佥前只知道有5件

17、失效，它们的试验失效时间为 t(1)=35,t(2)=85, t(3)=150, t(4)=230, t(5)=250(小时)求置信度 90烁 0 ,入的置信区间？解:T(n,r) 2 (35 85 150 230 250 5 300)450022281，5(h)11281.5 3.8某飞机油箱增压泵1 (2r)0.9(10)15.9870.00355/h7次故障，若为指数43个，每个观察300小时，观察过程中共发生分布，求该泵的平均寿命，300个小时时的可靠度及 90%ig信度下平均寿命的双侧置信区间。解：为N , to,有试验，平均寿命为43 30071842.8 小时;故300小时时的可

18、靠度为R(300) exp 300/1842.80.85；90初信度下平均寿命的双侧置信限:2T2-xa(2r 2)22 43 3002X0.05 (16)25800 981小时,26.302Tx12 a(2r)22 43 3002 八X0.95 (14)258003927小时。6.573.9某仪表运行一年中共发生5次故障，经调查，用户平均每年使用 500小时，试确定其保用期。解：90%巴握能够达到的L 9 2T2 365 24 1 F°.1(2,60) 30所以在90%i信度下，抽样数 30是可以保证可靠度不小于RL1 1 2 F0 1(4,58)0.876529.3.12某火箭发

19、动机规定的全程工作时间为300秒，现对该发动机进行试验，试验无失效时间累计已达1.2X10E+4秒,试估算该发动机可靠性单侧置信下限(置信度=0.8.) 8760944.47小时x2(2r 2)xo.i(12)18.5595%把握能够达到的 ；2 8760834.3小时X0.05估计有一部分用户使用时间较长，可按平均数的1.5倍计算。以90哨信度考虑，则保用期944.47 /(500 1.5) 1.26年，约合15个月；以95%置信度考虑，则保用期944.48 (500 1.5) 1.11 年，约合 13 个月。3.10某设备只有成功与故障两种状态，现抽取100件试验到某一时刻t, 一直未发生

20、故障,试求可靠度95%1信度的单侧置信下限。解：t时刻r 0,有R： a1 n1 100现 n 100, a 0.05,Rla 0.050.97,即有 95%B信度，可靠度 R(t)不小于0.97。3.11 用30件进行100小时试验，故障数为零，问在90%!信度下，欲保证可靠度不小于 0.92, 此抽样数是否充分？若故障数为1,可保证的可靠度是多少？解：为定时截尾试验，当 r 0时，由(5.105)式，有Rl1 1 -Fa(2,2n)现 n 30, a 0.1Rl 10.9260.92。当 r 1 时,解：的近似单侧置信下限：LT*(n,0)ln工nln1的近似单侧置信上限:*T (n,0)

21、t0可靠性单侧置信下限：R(t0)to*T (n.0)R(300)300(0.2尸(0.2严25 0.960563.13某导弹主动段飞行时间为 备主动段飞行可靠性下限为解：L安ln5口0.15分钟，假定弹上某设备寿命服从指数分布，如果要求该设0.9试求设计师的平士寿命下限。?52.17分钟2.30263.14 在试验过程中无失效时,达到部件的可靠性下限在置信度为0.90时为0.86,试问至少要用多少样品做试验？解：设试验样品数为n,失效数r=0,部件的可靠性下限RL0.86,置信度10.90建立下列关系式：(RL)n 1n皿也史15ln RLln 0.863.15假定从一批雷管中随机抽取20只

22、进行试验，发现故障数等于零。假定这批雷管的可靠性服从二项分布。问：这批雷管的可靠性的95%置信下界是多大?解：n 20,0.05, r 0,按照公式，可行性 R的100(1) %的下置信界Rl为：当r 0时，公式如下Rl1 Pu1n所以得到95%的置信度下限为Rl1n(0.05)120 0.863.16 已知核电站柴油机启动试验共n=563次，失败x=3次，求置信度为0.90的启动失败概率的置信区间(Pl , Pu )和最佳估计值?.解：最佳估计值?- n 按照公式：pl 1 (n x 1)x 1F1 /22n 2x 2;2x 111Pu1 (n x)(x 1)Fi /22x 2;2n 2x

23、1 1代入并查表 F0.95(1 122;6) 3.67Pl 1 (563 3 1)/3Fo.952 563 2 3 2;2 3 1 0.0014pu1 (563 3)(3 1)F0.952 3 2;2 563 2 3 1 1 0.0137p(0.0014 p 0.0137) 0.903.17 商用核电站应急柴油发电机 5年内35次启动有4次失败，求置信度0.90时的启动失败概率的上下限，如果用定畴截尾指数分布估计试问误差有多少解：pl 1 (35 4 1)/4 F0.952 35 2 4 2;2 4 1 0.04Pu 1 (35 4)(41)F0.952 4 2;2 35 2 4 11 0.

24、243定畤截尾指数分布估计0.05 (8)Pl 2 352.733700.0392n 0.95(10) pu2 3518.310.26270误差不大，但当x口时，定数截尾指数分布估计不适用10练习四1由两个相同指数分布元件组成的贮备系统，设转换开关的可靠度 Rsw,为了使贮备系统的可靠度高于二元件并联系统的可靠度，试问转换开关的可靠度 Rsw应为多少？svv解：并联系统的可靠度R/2 2R R2贮备系统的可靠度R RtRSWR按题要求：R*R1/2RtRswR 2R R2RSW1 RIn R2 系统由主系统（失效率1）,第一备用系统（失效率 2）和第二备用系统（失效率3）组成, 备用期间不失效

25、且转换开关完好，系统不维修，试求系统可靠度？t0 f12。2户3。2/3。t2 )dt2t解：Rsys(t)R1(t)f1(t1 )R2(t1 )R2(t t1 )dt10其中：f12(t)dR,2(t)/dttR2(t)电 0f1(t)R2(t)R2(t t)dt%(t)1e 1tR2(t)R(t) 1R2(t) e 2t R(t) e 3tR2(t)1t1tX) %(t)fl2(tl)R3(t tl)dtifi2(t)12 (e 一 te lt)121R123 (t)( 1e2e )121 21t t1t t、(e 2 e 系统由贮备系统和 一（G）表决分系统串联组成（如图），两个分系统工

26、彳相互独立，设转 3 换开关的可靠度为 RD1.单元1,2的寿命分布函数 Fi（t）1 e it,i 1,2.求系统的可) (e 1 e 3)123231八一一 *一一一一一一解 2：九23(9九f2(t)f3(t)? 2? 3s 1 s 2 s 31 2 3?11 2 3?1(21 )( 31 ) 靠度和平均寿命 1( 12 )( 32 ) S 21 2 3 ?1(13 )( 23)S 3f123(t) Ae 1tBe 2t Ce 3t)=?e 1t =?e 2t(21 )( 31 )( 12 )( 32 )?e3t(13)(23 )33解3：按公式：RS-i- ek 1 i 1 i k i

27、 k- )4试证明由高.X n 1X12 nX1(a)XX(b)X2 n2: 2/3 1-TJiI 2 解：RsRsiRs2 e1t(1Rdiit) 3e 22te32tMTTFRs(t)dte (1 2 2)t (1 Rdit)(3 2e 2t)032 3Rd1 12Rd1 112 213 212 213 23(1Rd1 1)2(1Rd1 1)12 213 2)，32(1Rd1 1)12 213 22n个相同部件组成的并串联系统(图(b)可靠度比串并联系统(图(a)可靠度Rs1(t)Rs2(t)证明:Rs111_2-2R(t) 1 2R(t) R2(t)2R2(t)2R(t)2_ 22Rs2

28、(t)1 1 R (t)2_4 1 1 2R (t) R (t) R2(t)2 R2(t)22(2 R(t)4 4R(t) R2(t)222R2(t)2 4R(t)2R2(t)2R2(t)21 R(t)2Rs1(t)Rs2(t)R2(t)2 1R(t)205 求图的路集，最小路集，割集，最小割集.ADABC EFC00C22 CBC3DBCFFDBDBCB CFABCEFC0C5BDFBDBC CF解： 用穷举法,最小路集：(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).用联络矩阵法：00AE000000C 0D00B0000F0CBF0ADB EFBD 0 C4BCCF BD

29、路集:(A,D),(ABC),(E,F,C),(A,D,B),(E,F,B,D).最小路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).最小割集：(A '+D' )(A' +B' +C)(E '+F' +C')(E' +F'+B' +D')=(A'+D' B'+D，C')(E '+F' +C' )(E' +F' +B' +D')=(A'E' +A'F' +A'C

30、'+D'B' E' +D'B' F'+ D'B'C +D'C' E' + D' C'F'+D'C' )(E '+F' +B' +D')=(A ' E' +A' F' +A' C' + D' B' E' + D' B' F' + D' C')(E' +F' +B' +D')=( A E&#

31、39; + A F' +A'B'C'+A'C'D'+ D'B'E' +D'B'F' + D C')=(A ' E' + A' F' + D' C' +A' B' C' + D' B' E' + D' B' F')6已知通讯网络的结构图求a, b两端之间的最小路集与割集。0X1X5X4X5X2X4X6CX10X2X6C2X1X2X6X5X20X3X1X5X3X6X4X

32、6X30X-X2X3解：用联络矩阵法XiX5X3X6X4X3X2最小路集,(5,2),(4,6),(5,3,6),(4,3,2)最小割集：(1 ')(5 ' +2' )(4 ' +6' )(5 ' +3' +6' )(4 ' +3' +2')=(1' 5' +1' 2' )(4 ' +6' )(5 ' +3' +6' )(4 ' +3' +2')+2')=(1' 5' 4' +1&

33、#39; 5' 6' +1' 2' 4' +1' 2' 6' )(5 ' +3' +6' )(4 ' +3'=(1'5'4'+1' 5' 6' +1' 2' 4' 3' +1' 2' 6' )(4 '+3'+2')二(1 '5'4'+ 1 ' 5' 6' 3' + 1 ' 5' 6' 2

34、' +1' 2' 4'3'+1' 2'6')7 用全概率分解法写出系统可靠度公式.EyA- 一 B 二二 口一.F解： RsA1 (1 E)(1 1 (1 B)(1 F)C)D (1 A)FCD RS FCD (1 C)AED (1 F)AD(E BC EBC)试证明上述两种分解结果一致。8 用联络矩阵法求图系统的最小路集、最小割集及求系统可靠度 RARC0.8, RDRe0.7, Rb 0.64.解:系统的最小割集:0 0ABC B0 0000 D000 E00ADBD,CE,BE。ADBDCE BEC系统的最小路集:AD BD

35、 CE BE00c23)00000(A+ )(B+ )(C+E)(B+E)(AB+A + B+ ) (C B+C E+E B+E)A B C +A B E + B C+ E系统的可靠度P(ADBD CEBE)P(AD)P(BD)P(CE)P(BE)P(ABD)P(BDCE) P(BDE) P(CEB) P(ABDCE) P(AD)P(BD)P(CE)P(BE)P(ABD)P(ADCE) P(ADBE)P(ABDE) P(BDCE) P(ADCBE ) P(ABCDE )P(BDE) P(CEB)0.8 0.7 0.64 0.7 0.8 0.7 0.64 0.7 0.8 0.64 0.7 0.6

36、4P(ADCE) P(ABDCE)0.7 0.7 0.8 0.7 0.640.8 0.8 0.7 0.7 0.8 0.8 0.7 0.7 0.640.8722049考虑并联系统在两个部件都正常运行时，部件的失效率为,当只有一个部件工作时， 则部件接受的应力发生变化，系统的失效率增加到*、度：R(t) 2e t e 2e ( )t,证明这种条件下的并联系统的可靠解：设有两不同部件 a和b组成的并联系统，在两个部件正常运行时的失效率分别是b,当只有一个部件工作时，则部件接受的应力发生变化，它们的失效率增加到建立系统的状态转移马氏过程，并联系统共有以下状态两件正常a部件失效，b部件工作 b部件失效，

37、a部件工作 a, b两部件均失效马尔可夫转移图如下系统各状态的概率满足下列方程式组-Pi(t) dt-P2(t) dtP3(t) dt-P4(t) dtaPl(t)bR*bP2(t)Pi*bP2(t)*aP3(t)*aP3(t)求解上述方程组，且4Pi1,得到i 1P1(T)b)tP2(t)*bt*b)tB(t)b)tP4(t)*at*bt*a b )t _ ( a b )t _ ( a b )te e并联系统的可靠度Rp(t)P4(t)Rp(t)*bt* 一b)t a ( a b)t a ( ab)te e如果 a以及b,则得到通常两部件并联系统的可靠度计算公式:R(t) ebteb)t在两个部件相同情况, 则公式得到*2e)t_ t 2 tR(t) 2e t e练习五(ans)1.设有n根铁索所制成的吊桥，这些铁索中只允许折断一根，假定在全n根铁索 都安全无事场合时，各铁索的失效率0,而当有一根铁索断后，剩余各铁索失效率为1