浅谈中学数学中最值的求解-毕业论文最终定稿

1、安服用殷昌大承ANSHUN UNIVERSITY本科生毕业论文(设计)(20092013 年)系 别：数学与计算机科学系专业班级： 数学与应用数学2009级学生姓名： 陈 华 学号：200902014062指导教师：李 俊 职称： 讲师起讫日期：2012.9.12013.4.19安顺学院本科生毕业论文（设计）原创性中明本人郑重中明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文（设计）不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由

2、本 人承担。作者签名：日期：本科生毕业论文（设计）版权使用授权书本科生毕业论文（设计）作者完全了解学校有关保留、本科生毕业论文（设 计）的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版, 允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本本科 生毕业论文（设计）。作者签名：日期：日期:导师签名:浅谈中学数学中最值的求解I专业：数学与应用数学学号：200902014062姓名：陈华指导教师：李俊最值的求解问题贯穿于我们整个中学数学的始终，它遍及代数、三角及解 析几何各科之中，几乎每一个章节都

3、会或多或少的牵扯到最值问题，加之最值 问题又与我们的实际生活联系密切，在生活生产实践中也有广泛的应用。不仅 如此，最值问题就像一条纽带，将中学数学知识联系在一起，而且研究最值问 题能够开发我们的思维，锻炼我们的能力和提高我们的数学素养，在函数，解 析几何，圆锥曲线，向量问题中均离不开最值问题的讨论，可以说最值问题就 是数学的生命线，研究最值问题具有很大的实际意义。因此，本文主要围绕以 上几个方面，对求解最值问题的一些基本的和常用的方法进行初步的探讨，以 及对解题思路和方法进行简单的归纳总结，以方便初学者更好的掌握。关键词：最值归纳求解中学数学ABSTRACTIntroduction to th

4、e most value in the middleschool mathematics to solveThe most value throughout the entire middle school mathematics has always been, throughout the algebra, trigonometry, solid geometry, and analytic geometrysubjects into almost every chapter involve the most value can be more or less, combined with

5、 the most value problemvery close contact with our real life, widely used in the production practice, for this reason, the most value problem has always been all kinds of hot exam, only that, like the main line of the most value, secondary mathematics knowledge intogether, study the most value to de

6、velop students thinking, the ability to exercise the students at the function, analytic geometry, solid geometry, conic sections, vector problem can not be separated from the discussion of the most value problem, we can say the most value problem is the mathematicalthe lifeline of most value problem

7、 of great practical significance. Therefore, we focused on the above aspects, a preliminary study of solving some of the problems of most value and commonly used method, given the regular examination of the kinds of questions, and problem-solving ideas and methods are summarized, in order to facilit

8、ate early scholars better grasp.Keywords: most values are summarized solving middle school mathematics目录第一章引言 1第二章最值求解的方法归类 22.1 判别式法2.2.2 配方法4.2.3 函数单调性法5.2.4 三角函数法5.2.5 换元法7.2.6 数形结合法8.2.7 均值不等式法 9.2.8 导数法9.2.9 观察法1.0结束语 11参考文献 12致谢 13第一章第一章引言第二章最企求解的方法归类第一章引言最值求解问题之所以历来被中、高考所青睐，不单是因为它与我们实际生活 的密切相

9、关，更是因为求解最值能够开发我们的思维，对于认识事物本质能力的培养有着重大的现实意义1 0在中学数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角 函数，二次函数，指数函数，对数函数，幕函数）、不等式、向量、解析几何、 圆锥曲线中都能找到最值问题，求解最值问题的方法很多，但是我们必须掌握的 方法主要有以下几种：均值不等式法、单调性法、配方法、换元法、三角函数法, 数形结合法，导数法，判别式法，观察法，问题多，方法也多是求解最值问题的 重点和难点，本文主要对最值问题的常用方法和一般技能进行简单的归类整理。-1 -第二章 最值求解的方法归类第二章最值求解的方法归类2.1判别式法一、判别式法求值域的理论依据。X

10、2 X 4例1:求函数y J的值域。x x 1像这种分子、分母的最高次为 2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。2解：由y 4得：x2 x 1(y-1 ) x2+(1-y)x+y=0上式中显然yw1,故式是关于x的一元二次方程2(1 y) 4y(y 1)1 一令 0,解得 y 1,又y 13v2y 4的值域为1,1x2 x 13为什么可以这样做？即为什么学0,解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、当 x=1 时，y=? (0)反过来当 y=0 时，x=? (1)当 x=2 时，y=? ( 2) 当 y=2 时，x=? (2)33以上y的取值，对应x的值都可以取到，

11、为什么？2 -(因为将y=0和y=代入万程，万程的学0)32、当 y=-1 时，x=?当 y=2 时，x=?以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？(因为将y的值代入方程式中 0即(y-2) 20.yC R但事实上，当y=3时，可解得x=1,而x=1时，原函数没意义。问题出在哪 里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式(x-1),因此原函数可以化简为y 3x-(x 1),用反函数法可求得y 3,又x*1代入可得yx 1W2,故可求得原函数的值域为 y y R,y 2,且y 3。因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做

12、，应先约分，再用反函数法求其值域。特 别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x*1,故y*2。x 5,例3:求函数y2x 5(x 3,5)的值域。3x2 2x 1此函数为分子、分母的最高次为 2次的分式函数，且分子分母无公因式，可 不可以用判别式法来求值域呢？,x 52由 y -2得：3yx +(2y-1)x+y+5=03x2 2x 11)当3y=0,即y=0时，可解得x=5 ,故y可以取到02)当 3yw0 时，令 =(2y-1)2 4X3y (y+5) 0解得:由1)、2)可得原函数的值域为上面求得的值域对不对呢？显然y= = 在所求得的值域范围内，但当173y= 士时，

13、可求得x=2 3,5 ,故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判17别式法求值域。此题可用导数法求得原函数在区间3, 5内单调递增，故函数的定义域为117,0 0综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域1：D分子分母的最高次为二次的分式函数；2)分子分母无公约数；3)未限定自变量的取值范围。最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二 步一定要看变形后的二次项(x2项)系数是否含有y,若含有y,则要分二次项 系数为零和不为零两种情况进行讨论。2.2配方法这种方法主要用于解决形如F(x) af2(x) bf(x) c的二次函数值域问题, 以及可以转化

14、为二次函数的函数的最值问题，是求最值问题中最基本的方法， 往往很多求最值问题可以转化成配方法求最值，但是利用此种方法求解最值时 需要注意以下几点：一是要注意函数的定义域；二是要注意对称轴与定义域的 相对位置关系；三是注意函数是否过某个特殊点；找到之后可以减少讨论，使问题变得简单3 o下面举个简单的例子来介绍配方法的具体操作过程。例4：已知函数y ( mx n )2 ( m-x n) 2(n C R,nwO),求函数y的最小值3分析：联系二次函数的形式，我们可以将函数表达式按mx m-x配方,转化为关于变量mx m-x的一个二次函数。解：y=(mx n)2+(m-x n)2=( mx m-x)2

15、-2n( mx m-x)+2 n2-2, k=mx m-x,f(k尸k 2-2nk+2n2-2，v k2, .,.f( k)=k2-2nk+2n2-2=(k-n) 2+n2-2 的定义域2, 却, .抛物线 y=f(k) 的对称轴为k=n,.当 n2 时,y min =f(n)=n 2-2.在这里，就必须注意对称轴与函数定义域的位置关系，当定义域在对称轴的左边时，由于此时函数为减函数，所以是在靠近对称轴处取得最小值；而当定 义域在对称轴的右边时，函数为增函数，因此是在远离对称轴处取得最大值。2.3 函数的单调性法这种方法需要先判明函数给定区间上的单调性，然后根据单调性来求解函数 的最值。例5:

16、已知函数f(x)定义域为R,对任意的Xi,X2CR都有4 :f(x i+X2)=f(x i)+f(x 2)且 x0 时 f(x)0,f(1)=-2,试判断在区间卜3,3 上f(x)是否有最大值和最小值？并说明理由。解： 令 Xi=X2=0，则 f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)f(0)=0, 令 xi=x, x 2=-x 则有f(x)+f(-x)= f(0) 即 f(x)+f(-x)=0, f(x)= -f(-x), 因此 f(x)为奇函数.设 Xi,x 2 e R,且 Xi0, f(x 2)-f(X l)=f(x 2)+f(-X l)=f(x 2-X l)0, f(x 2)0 ,从而函

17、数y=2sinx+3的最大值为2 1+3,即为5。a cos x ba sin x b2.4.3 对形如 y=或(y=)的函数ccosx dsinx d基本思路：可利用分离常数法或I cosx I 1去求解。例8:求函数y=2 cosx的最大值。2 cosx解：由原函数变形得到y=4 (2 cosx)=-1. 2 cosx 2 cosx-1 cosx 1, 1 2- cosx 3,ymax=3例 9:求函数 f (x) sin xcosx sin x cosx 的最值。解：设 sinx cosx t ,则 22 t J2,22t (sinx cosx)2sin xcosxsinxcosx L因

18、此，f(x)t112(t)-1t1(t1)2122f(x)maxf(x)min12.1 2 2(2) - ( 2 1)1 22(1)12.5 换元法2.5.1 三角代换我们可利用三角代换巧妙地求解某些函数的最值。并且在作代换时，可根据 不同的函数解析式作相应的代换。例如：x2+y2 = a2 (a0),可令 x sin ,y cos ;又如：x2 y2 a2(a0),可令 x sin , y cos , (0 a); 对 x2 y2 1 ,我们可令9x sec , y tg 寺寺 。例10：求函数y &行q的最值。解：设 x sin2 ,贝U Ji x =cos y sin cosV2sin(

19、一)C J2,j24x 0 , ,取x最小值0时，y=1.故 ymin 1，ymax2 .2.5.2 直接代换例 11 : 求函数 f(x) sin xcosx sin x cosx 的最值 10。解：设sinxcosx t ,贝U 72 t v12,22t (sinx cosx)2sinxcosx sinxcosx J2-11 -12-(t 1)2 121 2 21 -2t 1因此，f(x)(t) t2f(x)max (2) %、2 1)2f(x)min 1此处，虽然f (x)不是x的二次函数，但是通过换元之后可以转化为t的二次函数，再按照二次函数求解最值的方法求其最值。但应注意换元后新变量

20、的取值 范围，对不在定义域范围的部分应当剔除。小结：由于事物的质和量是由多种因素综合决定的，改变其中的每一因素都 可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用多种换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解 题的规律和技巧，强化思维训练，这对提高我们分析问题、解决问题的能力将是 十分有益的，并且能全面提高学生素质，培养和提高我们的创造能力。因此，我 们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高数学综合能力13。2.6 数形结合法这种方法是将抽象的函数解析式赋予一定的几何意义，把数量之间的关系 用几何图形展现出来，既而实现数与图信息的整合与转化，换句话

21、说就是把代 数的问题用几何的方法来解决，使得问题的求解变得简便，在解决最值问题时, 这种方法的作用是非常巨大的，我们来看一下下面的例子。例12:已知实数x,y满足等式x2 y2 6x 6y 12 0,求丫x的最值。图1解：如图1,如果把等式看成圆的一般式，那么就有点(x,y)在圆(x 3)2 (y 3)2 6上，那么？表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象 x限，若过原点作圆的两切线 OA OB (A, B为切点)，则？的最值分别是直线OA xOB的余率.解：设二K即 y=kx,.LjkL 展。 x.1 k2整理为：k2 6k 1 0 ,解得k 3 22, . .()3 2 2.xx2 y

22、2 2x 1的最小值min 3 2、.2,(上)max xx例 13:求函数 zx2y2 2x 1解：原式可转化为求z J(x 1)2 y2(x 1)2 y的最小值，所以它等 价于“求动点P(x,y)到A(-1,0),B(1,0) 距离之和的最小值”，即 PA PB的最 小伯。PA PB |AB ,当且仅当P在线段AB上时，等号成立。故PA |PB的最小值为AB| 2.即原函数的最小值为2。其实利用数形结合法求解最值的实质，就是要我们将代数问题几何化，使 得许多抽象的问题变得直观和形象起来，解决起来得心应手，确为一种好的最 值求解方法。2.7 均值不等式法利用均值(基本)不等式求最值是历年高考

23、的热点内容之一，也是重点。但 在利用均值不等式求最值时必须具前提条件，具体可概括为“一正、二定、三 相等”。当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定 积”的技巧，使其具备，下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧14。21 一例14: 求函数f (x) =x+2x+的取值。x解：由题目易知函数定义域为IW-1 ,- f(x)=x 2+2x+1-1= 1 2(x 1)21，.二当 2(x 1)2 -,x 2x 1 x 1x 1即 x 11 时，有 ymin l-32 1。322需要指出的是，在利用均值不等式法求解时，必须注意应用大前提，即所谓 “一正、二定、三相等”，如若

24、找不出使等号成立的x的值，那么此方法就无效, 应改用其他方法。2.8导数法设函数f(x)在a,b上连续且在(a,b)上可导，则f(x)在a,b上的最大值和 最小值应在f(x)在(a,b)内的各极值和两端点值中寻找。例15:已知P (x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的动点,o为原点,且op2当x=2时 取得极小值，求op2的最小值。解:op 2=x2+y2= x 2+( x 2-2x-1) 2=x4-4x 3+3x2+4x+1令 c= x 4-4x 3+3x2+4x+1，贝Uf(x)=4x 3-12x2+6x+4=4(x-2)(x- 1 )(x- _J3),22令 f(x)=0 得:x=2,

25、 1, 1 热22表一：x321 n(1 V3 1 底)2，21 3d)22(2,+ 8)22f(x)-0+0-0+f(x)J极小值极大值J极小值因为f(x)的定义域为(-8, +8),所以所求最小值为两个极小值中较小的那一个，比较f( L_3.)=H_6ilf(2)=5,得出f(x)的最小值即op2的最小值，为 2411 6 3 042.9观察法在有些时候，我们遇到的函数可能会比较简单，这时只需将已知函数的解析 式作适当变形后，就可以很容易地观察出函数的最值，此谓之观察法，它比较适 用于一些简单的函数，这里简单的提一下。如：函数 y 4x2 8x 6 (x 0,3)。.此函数可化为：y 4(

26、x 1)2 2可明显观察得出：当x=3时，ymax 16；当x=1时，ymin 2。结束语结束语本文主要从常用的判别式法，配方法，函数单调性法，三角函数法，换元法, 数形结合法，均值不等式，导数法以及观察法等对最值问题的求解进行了探讨， 每种方法不是万能的也不是绝对的，在遇到较复杂的问题时，我们要将几种方法 结合起来用，做到具体问题具体分析，同时，在解题时还应注意一些小细节，以 免出现错误。如在例2中，由于在求解的过程中历经了平方的变形，从而使 x的取值范围 扩大了，因此在利用判别式法求出y的范围后，还得结合函数的定义域，将扩大的 部分剔除（可将端点值代入检验），以免求出的最值不在原函数的取值

27、范围之内， 造成错解。利用配方法求最值时要注意以下几点：一是要注意函数的定义域；二是注意 对称轴与定义域的相对位置关系；三是注意函数是否过某个特殊点，找到之后可 以减少讨论，使问题变得简单15。在利用换元法求解最值时，应注意换元后新变量的取值范围，对不在定义域 范围的部分应当剔除。在运用重要不等式求函数的最值时一定要注意不等式成立 的条件，包括等号成立的条件。还有在利用均值不等式求最值时，一定要注意其前提条件：“一正、二定、三相等” 16 0当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备。如若找不出使等号成立的x的值，则此法无效，应改用其他方法。总之，无论哪种方法都有自己的妙处，同时也有自己的局限 性，要善于灵 活掌握，就需要把握住题目的特点与每一种方法的特点。遇到题目，要学会分析 题目，从而抓准解决问题的关键。-13 -参考文献参考文献1 丁一，张建.中学教材全解m.陕西人民教育出版社，2007:198-204.2张剑，王莉.中学第二教材m.延边大学出版社，2007:67-73.3 刘建中，均值不等式在求函数