(浙江专用)2020版高考数学数列的综合应用讲义(含解析)

1、第2课时数列的综合应用题型一 数列和解析几何的综合问题师生共研例1 (2004 浙江)已知 OBC勺三个顶点坐标分别为 Q0,0) , B(1,0) , qo,2)，设R为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，R为线段OP的中点，对于每一个正整数n, R+3为线段PnPn + 1 的中点，令 Pn 的坐标为(Xn, yn) , Hn = gyn+ yn+1 + yn+2.(1)求 ai, a2, a3 及 an 的值； yn*(2)求证：yn+4= 1, nC N;右记bn= y4n+4 y4n, n N ,求证：bn是等比数列.13(1)斛 因为 y1 = y2=y4=1, y3= 2, 丫

2、5=4，所以 a= 82= a3 = 2,yn + yn+ 1又由题意可知yn+3=-,所以 a+1 = 2yn+1 + yn+2+ yn+31yn+ yn + 11=2yn + yn + 1 + yn +2= an)所以a为常数列，*=2yn + 1 + yn+2+2所以 a=a1=2, nCN.(2)证明将等式 2yn+ yn+1 + yn+2= 2 两边除以 2 得4yn+2-= 1.yn + 1 + yn+ 2又因为yn + 4=2，所以 yn+4=1 yn, nCN.(3)证明 因为 bn+1 =y4n+8y4n+4丫4n +4141=-4(y14n+ 4y4n) = bn,16I、

3、，一， 1， ，1 一，所以b是首项为一公比为一彳的等比数列.思维升华利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数 列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目.跟踪训练1 (2016 浙江)如图，点列A, B分别在某锐角的两边上， 且| AA+1| =| A+1A + 2| , AWA+2, nCN Si+1 Si= 2c( b a)( n+ 1) + (2a b) (b a) n (2 a b) =c( b a), | BB+1| =|B+1B+2| , BwB+2, nCN*(pwQ表示点 P与 Q不重合).若 dn=|AB| , &为 ARR+1 的面积，

4、则()A. S是等差数列C. dn是等差数列答案 ABI机国2 & 曰"|B. S2是等差数列D. d2是等差数列解析 作AC, AG, AC,，AG垂直于直线 BB,垂足分别为 C, C2, C,，G,则 AG/A>C>/-/ AC. 1 AA+1| = | A+A+2| ,| CG+1| = | C+C+2.设| AC| =a, | AC =b, | B国=c,则| AG| =2b-a,，| AG| = (n 1) b ( n 2) a ( n>3),1 1.$=2c( n-1)b-(n-2) a =2c( ba)n + (2 ab),命题点1可求通项的

5、裂项放缩例2已知数列a满足工=4+：且a1 = 4(nCN*).an+12an 2(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn=a2an,且 &为bn的前 n 项和，证明：12< S<15.(1)解由an+1由 S1 = 4 得1 = -7,S14所以数列314,公比为2的等比数列.1所以ST11 aJ2门+1即 an= 2'nT13.n+ 12(2)证明bn= an-an =3 22n+1-3 2，3 . 2 n+，一.，、6 设an的刖n项的和为Sn,求证：-1 -5又 Sn+ 1 Sn= bn+ 1 = F+2丁2>° ?2 - 3故&

6、是关于n的递增数列, 故 Sn> S1 = b1 = a2 a1 = 12._ c k + 1,23 , 2当 k>2 时，bk=ak-ak= -T+i-y一 k+1- k3 , 23 2< 2k+1-3 2k+1-4 = 2k+1-3 2k-23 2k<2k+1-3 2k-3 =32k3 21"+1-3，故当 n>2 时，S= bi+戾+5+ bn=12 + b2+b3+ bn<12+3 口-23T3 +-口 + +2n-3-2n+13=15-2 <15.又 n=1 时，S=12<15,综上有 12W&<15.命题点2可

7、求通项构造放缩(2018 湖州调研)已知数列an满足2Sn*an+1 = , n e N.3 ana2；(2)求1 ，一 ,-的通项公式;21Sn解由条件可知a2=而(2)解an+ 1 =2an3 an'得，=2W-2，又J”所以an1是首项为|,公比为3的等比数歹u,则 1T = 3Xan1所以an=|+1.证明由(2)可得an =1_13n JT32 +2+22 2所以s-.1+ + 2.52 n136=51 6 故&%1-成立.另一方面an =1 3 2<3 n1十12Sn= a+a2+a3+ an<2+2+5 1346 8 86539一9+ 34+2 n 2

8、 46 8 213<65+9<13n>3,&="卫,65 13'21因此S<石，n C N .13所以51 -2 n 213WS<行命题点3不可求通项裂项放缩12例 4(2018 杭州模拟)设数列an满足 ai = K，an+i = an+2(n C N*). 3n*(1)证明：an<an+1<1( n C N)；(2)证明：an>n ( n N*).2n+ 1证明(1)方法一 易知an>0,2、an所以 &+1= d+ -2>an, n2akakHk+1*即 ak+1 = akH- -2<ak

9、H2-, ke N) k k所以1一止k2,ke N*,所以，当n>3时，1 1 n J 1 1 n 1 an- a1 k=1ak ak+1 a1 k=k =2 =>3_ 1+ <；>3k=k k 11=3 1 + k=2k- 11由题意，得二=anan+1an+n工 1an an+ n=3 1 + 1- =>1,所以 an<1.n- 1 n- 1又 a1=1<1, a2=4<1, 39所以 d<1(nC Nj ,所以 &<an+1<1(nC N).2方法二 易知 an>0,所以 an+1 = an+n2>a

10、n, n即11a1a21_a1+ 12，a2a3 a2+ 21 11anan+1an + n '累加得,a1an+111/+2 + , , +a1 + 1a2+ 2a + n2 <7+ 22+ n2<1 +1, +1X2=2n-1 n1n'11即 3 a3<2n，所以 an+1<1.*所以 a<an+1<1(nC N).(2)方法当n= 1时,11、a = 2x 1 + 1 =3，显然成立.2 ak . 由 an<1,知 ak+1 = ak+ q<ak+ kk2所以&>旧a-,ak1所以 &+1= &

11、+p>ak+k2akk2k2+ 1 ak+1 = ak+ /+ 1 ' akak+1，1所以一一ak1ak+1 k7 + 1所以，当n>2时,11 1an01nLk=回ak+11a1n<3 n2+1Mk k+13- n 11- - =3 3 k=1k k+132n+ 1n ，即an>2n+ 1行(nN)-方法当n>2时a1=72 +an+101+11or? +-2>-71 + n 11X2+ +2X3n 1 n1= 1-?即 3 - ->1 - an nnan>,2n+ 1又n=1时,a1 = 3，2X1+ 1=3,所以日(nN)-命题点

12、4不可求通项构造放缩例5(2018 浙江模拟训练冲刺卷 )已知数列an满足a=0, an+1 =2 .an + an + 1an+1'nC N*.求证:an+1>an, nCN；(2)求证:an>2n- 1 -1, nC N*；求证:n>2 时，anW2n 3.2.an+ an+ 11证明(1) ; an+1=.+1=an+orr1an+ 1 + 1 = an +1 +'an+ 1'.(an + 1+1)(an+1)=(an+1) +1>0 ,故an+l+ 1与3n+ 1同号.又 ai 1 = 1>0,1.an+L an=n >0,*

13、故 an+1>an, nC N.1*(2) - a<+1 +1 = ak + 1+ k N ,ak+ 1.( ak+1+ 1)2=( ak+ 1)2+ J 1 2+2>(ak+ 1)2+ 2, ke N*,当 n>2 时，(&+1) =(an+1) (ani+1) +( an 1 +1) (an-2+1) + ( a?+1) (a+ 1)2 +(a1+1)2>2(n1) + 1 = 2n 1.又 an+1>0,故当 n>2 时，an + 1>y2n- 1,即当 n>2 时，d>R2n 1 - 1.又当 n= 1 时，a>

14、>/2x 1- 1 1 = 0 所以 白 > 2n 1 1, n C N.(3)由(2)知 ak+1 ak= -kC N , ak+1J2k1所以当 n>2 时，an=& + (a2a1)+(a3a2)+ + (a 1 an 2)+ (an an 1)即当n>2时，&wi +当 n>3 时， f=j<7fWn3 242n3 2n-3 + 2n-5所以当n>3时，an< 1 + (3-1) +辟木)+ + (3 曲5) =，2n3.又 a2=1< ,2X2 3,所以 n>2 时，aw ：2n 3.思维升华数列与不等式的综

15、合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明 不等式、求不等式中参数的取值范围、 求数列中的最大（小）项、比较数列中项的大小等问题.数列的条件可能是等差数列、等比数列，甚至是一个递推公式等，求解方法既要用到不等式知识（如比较法、放缩法、基本不等式法等 ），又要用到数列的基础知识.跟踪训练2（2016 浙江）设数列an满足an + 1<1, nC N.*ne N ；| an| <2(1)证明:| an| >2n 1(| ai| -2)3 n 一*(2)右 | an| w 2 , n N ,证明:证明 （1）由an an+ 1an|,| an | | an+11 1*

16、故2n2Tm - w 乃 n N ,所以| a1| an| a1| 闻|a2|8|23+| an-11| an|<1,n>2.因此 | &| >2n 1(| a1 2) , n= 1 时也成立.(2)任取n C N ,由(1)知，对于任意 me N , m> n,| an| am| an| an+1| an+ 1| an+2|2n2m2n+| am 1 | am|m122mw 2门 + 2。+1 + 2m-1 V故 | an| < nr回2m1m . 2n=2 +从而对于任意 m> n,均有|由m的任意性得| an| W2.否则，存在me N*,有a

17、n02,取正整数mo10g342n02一且 R0>n。,m02 n010g342n02,与式矛盾.综上，对于任意nC N*,均有 | an| <2.课时作业.基础保分练1 .设 a>3,数列an中，a1 = a,2 anan+1 = nCN.2an3'r、一一 an+ 1(1)求证：an>3,且<1 an(2)当a<4时，证明:1 anW 3 + 5nn.证明(1). an+1 3=2 an 3=2an 32an 33-，2 an 2又: an2 an3an 29+4+1 =22an 3 23an+1 2 anan-2 29+ 4一>0,.3一

18、 3日口.an+1 - 2与 an 2问3.2= a-2, a>3,3a1-2>0,''' an 2>0.2an 3T0，2 an 2an+1>3,an>3.an+1an2an 31 <1 2-3an(2) a+i 3=2an32an3 'an+1 3 an 3an 32an 3由知 3<an< a1=a, 3<anW 4,设 an-3= t ,则 0<t < 1.an-32t+31 _12+3 5an+1 3、“ m a2- 3 a3 3 a4 3an 31 n-i二当n>2时,-.-.-

19、 -<-ai 3 a2 3 a3 3an-1 35An 31 n-i -,ai-35'an 3< ( ai 3) - - n1 < - n1,55an<3+ ! n i.5又当n= i时，a=aW4满足上式,ian<3+ 5n-r 成立.2. (20i8 温州市适应性考试)数列an , bn的每一项都是正数,ai=8, bi=i6,且 an,bnan+i成等差数列，bn, an+i, bn+i成等比数列，n=i,2,3 ,求a2, b2的值，并求数列an, bn的通项公式；(2)证明：对一切正整数 n,有：+;<|.ai i a2 i a3 ia i

20、 7(i)解 由 2bi = ai + a2,可得 a2= 2bi ai = 24.2(2一a2由 a2=bib2)可得 b2= = 36.bi因为an, bn, an + i成等差数列，所以 2bn= an+ an+i.因为tn, an+i, bn+i成等比数列，所以 ch+ i = bnbn+ i ,因为数列an, bn的每一项都是正数，所以d+i= bnbn+i,于是当n>2时，an = bn ibn.将，代入式，可得2bn = 4bnI + Jbn+i ,因此数列正是首项为4,公差为2的等差数列， 所以 /bi= /b + ( n- i) d=2n+ 2,于是 bn= 4( n+

21、 i)2.由式，可得当n>2时，an=，bn ibn = 4n2 -4 n+ i 2 = 4n( n + i).当n= i时，ai = 8,满足该式子，所以对一切正整数n,都有an = 4n(n+i).i i ii 2(2)证明由题意知，所证明的不等式为 7+23+47+ 4n2+4n_<7,18首先证明1,2 114n2+ 4n 1 7 n n + 1(n>2).12 114n2+ 4n 1 7 n n+ 112? 4n2+ 4n 1 <7n2 + 7n? 7n2 + 7n<8n2+8n- 2? n2+n 2>0? (n 1) ( n+2)>0 ,所

22、以当n>2时，1 , 1 , , 17+23+ +4n2+4n-112 11117+7 2 3 + nnr1 2 11= 7+7 2n+1,1 2当 n= 1 时，7<7.综上所述，对一切正整数n,有+ +7<!a 1a2 1 as 1an 1 7 1*3.已知数列an满足 a1=1, an+1 = -(n N).2an 十 11(1)证明：数列an 2为递减数列；5*（2）记&为数列| a+1 &|的前n项和，证明：$<w（nCN）.3证明（1）由题意知an>0,1 an + 1 21 an 21 <1 2an +1221所以数列an 2为

23、递减数列.(2)因为 a1= 1, a2 = ",31所以当n>3时，an-21<6,一,12所以<an<( n n 3)3312故6W&<.(n>2). 33,_, , | an + 2 an +1|因为-1| an+1 an|260 -(m 2) , 2an + 3 11''当n=1时，也满足上式,故 | an+1 an| w | a2一所以 S = | a2 a + | a3 a2| + | an+i an|1F1122 5<1a2-a1|6-<<3111<=<:*(nC N).*1 +

24、x4.(2018 金华十校调研)已知数列xn满足xnC (0,1)( nC N),函数f(x) =ln - 1 x在点(Of (xn)处的切线与x轴交点的横坐标为Xn+ 1.(1)证明：当 xC (0,1)时，f(x)>2x；(2)证明:3xn+1<xn；若X1 C (0，a) ， aC(0,1)求证：对任意的正整数 mn 2*(n N ).(2)由 f ' (x) =1 + x+ 1 -x- 1 -x2?， 一 ,.110gxi a+ logxn+ 1a+ +logxn+ma 2证明 (1)设 g(x) = ln(1 +x)ln(1 -x) - 2x,一2x2贝u g(x

25、)=-2,1 x故当xC (0,1)时，g' (x)>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增,所以 g(x)>g(0) =0,即 f(x)>2x.知曲线在点(xn, f ( xn)处的切线方程为y = y272(x-xn) +f (xn). 1 xn八入，2/、3xn+1 <2(2 xn) , ( xn 1) + Xn= xn.2令 y=0,有 xn+1=xn+2f (xn)( Xn 1),则 xn+1=；(xn1)ln 产"n+xn.由(1)及 x21<0 知, 21 一 xn，m),bo=logxia. 令 logxn+ka= bk(k= 1

26、,2,3 因为 Xn+k<Xn+k 1,且 ae(o,i),(o,i),所以 10g aXn+k>lQg aXn+k -1 ,从而有 bk= 1ogx a log 3 a xn+ ki Xn k11bk1< 1 332bk 2<-<kbo,所以 log%a+ 10gxi+ logxna=bo+ b1 + + bm<bo 1+ g 2+ ； m3333= 2bo 1 -1 m+133<2bo.n 2，11要证 1ogx a log x, a 1ogx axnxn 1xn m2 3一一 311 一只需证；bo< - 丁- 2,2231即证bo<

27、 -3即证 log xna<即证 xn<a3n 1332由(2)及 x1 C (o , a)可得 xnxn 1xn 23nX3n 1a综上即可证得.可技能提升练5.已知正项数列an满足 a1=3, a2+1 = an+2, nC N*.求证：(1)数列an是单调递减数列；1*(2)| an+1 2|<4|an2| , ne N；(3)| a-2|+2|a2 2|+3|a32|+ n| an2|<16, nCN*. 9证明 (1)由 an+1=an+2,彳导 an+2=an+1 + 2,两式相减，得 an+2 an+1 = an+1 an,即(an+2 - an + 1)

28、( an+2+ Hn+1) = Hn+1 an,因为 a>o,所以 an+2+an+1>o,所以 a+ 2 a+1与 an+1 an同号.由 a2 = a1 + 2=5,得 22=击，a2a1 = * 3<o,所以 a+i a<0,即 an+i<a'故数列an是递减数列.(2)由 an+ 1 = an + 2 ,得 an+ 1 4 = an 2 ,即(an + 1 + 2)( an+ 1 - 2) = an 2,”I an 2|所以 1 &+1 - 2| =-an+1 + 2由(ani+1 + 2)( an+1 - 2) = an- 2,知 an+

29、1 - 2 与 an一 2 叵I号,由 a1-2=3-2>0,知 an-2>0,即 an>2,故 an+1+2>4. .1*所以 g+L2|<41aL2|, nCN.(3)由(2)知，当n>2时，有|a22|a32|1a-2| = |a2|'x-x12| =厂,I an 2|1|an 1-2| 丁1 a1所以当n>22131. n时，有 | a1 一2| + 2| a一2| + 3| a3一2| + n| an-2|<1 +4 + 4+4nT,令 S= 1 + "/-I,4 44nt1 123 n则4s=4+1+43+ 4n，3c /1 111 n所以4$=1 + 4+才+7+厂一了I4 n 4=1 4n =1 二3-3X4n-16所以S<, 9故| a 2| +2| a22| + 3| st 2| + n| an-2|<16-,