(完整版)任意角与弧度制题型小结

1、任意角与弧度制【知识梳理】1 .按旋转方向分名称定义图形正角按方向旋转形成的角上一负角按方向旋转形成的角零角一条射线旋转形成的角02 .按角的终边位置(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几 ; (2)角的终边在上，则此角不属于任何一个象限.3 .所有与角a终边相同的角，连同角 a在内，可构成一个集合 S=,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与 的和.【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1) 75° ; (2)855 ° ; (3) - 510° .【类题通法

2、】象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.(2)根据终边相同的角的概念.把角转化到0。360。范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角.【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在 0°360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定 它是第几象限角.(1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) 120° .题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与a=- 1 910。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720。& 3 &

3、lt;360°的元素3写出来.(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.【类题通法】1.终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°(3)写出终边落在图中阴影部分 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a, B ,写出所有与a, §终边相同的(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.【对点训练】已知角a

4、的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a的取值范围.题型三、确定n及所在的象限n a【例3】 若a是第二象限角，则 2a , "2分别是第几象限的角?【类题通法】1. n a所在象限的判断方法确定n a终边所在的象限，先求出 n a的范围，再直接转化为终边相同的角即可.2.2所在象限的判断方法 n. . 、 . &已知角a所在象限，要确定角 一所在象限，有两种方法: na.(1)用不等式表不出角 酒的范围，然后对n的取值分情况讨论：被 n整除；被n除余1;被n除余2；被n除余n1.从而得出结论.(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域.从x

5、轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上 1,2,3,4.标号为几的区域，就是. 一 一 % .根据a终边所在的象限确定 一的终边所落在的区域.如此，一所在的象限就可以由标号区域 nn所在的象限直观地看出. . . 、 .a【对点训练】已知角 a为第三象限角，试确定角 2 a ,万是第几象限角.题型四轴线角与象限角1. 终边落在 x轴正半轴上角的集合 2. 终边落在x轴负半轴上角的集合 3. 终边落在y轴正半轴上角的集合 4. 终边落在 y轴负半轴上角的集合 5. 终边落在 x轴上角的集合 6. 终边落在 y轴上角的集合 7. 终边落在坐标轴上角的集合 8. 与终边关于原点对称(互

6、为反向延长线)，与的关系9. 与终边关于x轴对称，与的关系10. 与 终边关于丫轴对称， 与 的关系11. 第一象限角的范围： 12. 第二象限角的范围： 13. 第三象限角的范围： 14. 第四象限角的范围： 【知识梳理】1 .角度制与弧度制(1)角度制.定义：用度作为单位来度量角的单位制.1度的角：周角的 作为一个单位.(2)弧度制.定义：以 作为单位来度量角的单位制.1弧度的角：长度等于 的弧所对的圆心角.2 .任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 0.3 .角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l ,那么，角a的弧度数

7、的绝对值是|a|=；.4 .弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360° = rad2 兀 rad =180° =rad兀 rad =1 ° =rad = 0.017 45 rad1 rad =57.30 °5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0兀¥兀兀T兀222兀3-3兀45兀兀6.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 R弧长为l , a为其圆心角，则a为度数a为弧度数扇形的弧长l =l

8、=扇形的面积S=S=【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72 ° ; (2) 300° ; (3)2 ; (4) -2.9【类题通法】角度与弧度互化技巧兀180=弧度数，弧度数x18071在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad =180。是关键，由它可以得到：度数x【对点训练】已知 a 1= 570° ,“2 = 750° ,兀2=3.(1)将“1, a 2用弧度表不出来，并指出它们是第几象限角;(2)将§1, §2用角度表示出来，并在一720°0°范围内，找出

9、与它们有相同终边的所有角.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为 8 cm,圆心角为2,则扇形的面积为 .(2)已知一半径为 R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度? 面积是多少？【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略11(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S= 21r =-| a | r2(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是a为弧度.【对点训练】已知扇形的周长是30 cm,当它的半

10、径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型三、用弧度制表示角的集合【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一.(2)表示角的集合时，可先写出一周范围(如一兀兀，02兀)内的角，再加上 2kTt, kCZ. 终边在同一直线上的角的集合可以合并为x x= a + k兀，k e Z；终边在相互垂直的两 兀直线上的角的集合可以合并为xx=a+k-2，kez .在进行区间的合并时，一定要做到准确无误.【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y= x上的角的集合.其他重要例题1 .在下列各组中，终边不相同的一组是（）A . 600和 3000 B. 2300 和 9500 C. 10500和 300 D. 10000和 8002 .下列各角中，与 60°角终边相同的角是（）A. 60 B. 600 C. 1380 D, 3003 . A 2k （2k 1） ,k z ,B 44 ,则 A B 4 .若角a =2 014° ,则与角a具有相同终边的最小正角为 ，最大负角为 半期考试补救例1已知函数f x x2 2x 2 ,