2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)含解析

1、2020年高考数学一诊试卷（理科）、选择题（共12小题）1.已知集合 A=1, 2, 3, 4, 5, B = x|x=2n, n CN,则 AAB=()C. 3, 4D. 2, 3, 4, 5A. 2, 3B. 2, 42.已知复数k512-i母则|z尸（B. 5C. 13D.3.已知非零向量相总给定P： ?入R,使得I力+b卜|也| M b I，则P是C.充要条件B .必要不充分条件A .充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.若2sin1-产工57T1 a” 2廿-unrrtana=B. 3C. - 4D. - 35.已知双曲线b2=匕o）的一条渐近线过点（B.V3c. Vs2, -

2、1）,则它的离心率是6.已知集合一gn Ilir，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（c.DD.107.已知函数b、c的大小关系为（a=f (0.20.2) , b= f (log34),A . a> b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b> c> a绘制相应的散点图,8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,如图所示:年份羊只数量(万只)1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断:羊只数量与草场植被指数成减函数关系;若利用这五组数据得到的两变量间的相关

3、系数为|门，去掉第一年数据后得到的相关系数为则|ri|v|r2|;可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是()。个士科怙桁打B. 1A. 0C. 2D. 39 .已知圆锥的顶点为A,高和底面的半径相等,BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且/ABD = 60。，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为(B.D.10 .已知函数f (x)=sin wx (sin cox+coscox)(3>0),若函数(x)的图象与直线y=1在(0,兀)上有3个不同的交点，则 3的范围是B.(T2' 4C.D.(l为抛物线的准线，P为11

4、.已知点M (- 4, - 2),抛物线x2=4y, F为抛物线的焦点,抛物线上一点，过 P做PQ，l,点Q为垂足，过P作抛物线的切线1i, 1i与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为()A,B. 2乃C,近？D, 512 .对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间a, b? D (av b)满足f(x)是a,b上的单调函数，且 f (x)在区间a, b上的值域也为a, b,小则称函数f (x)为区间a, b上的“保值函数”，a, b为“保值区间”.根据此定义给出下列命题:函数f (x) =x2-2x是0, 1上的“保值函数”；若函数g (x) = |2x-1|是a, b上的“保值

5、函数"，则 a+b=1;对于函数 h (x) =x2ex存在区间0, m,且 m C (得，1),使函数 h (x)为0, m 上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为()A.B.C.D.二、填空题 2ht x<1013 .已知函数:,贝U f (f (1 口吕泛)=-14 .已知向量7,4满足面=SL向量？，耳夹角为120。，且 G+S)±b,则向量E岳15 .大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ,侧棱 AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面

6、ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到/B' C' D' =109。28' 16''.已知一个房中BB' = 5j£AB = 2jG,tan54。44' 08” =&,则此镰房的表面积是 .16 .在 ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边，已知 a=7, b= 5, c= 3,点I是 ABC的内心，则IB=.三、解答

7、题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .在等差数列an中，a1 = - 8, a2= 3a4.(I)求数列an的通项公式;(n)设 bnn(14+an)(nCN*) , Tn为数列bn的前n项和，若1Vl 求n的值.n 1518 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点 P在面ABCD内的射影为A, PA = AB=1,点A到平面PBC的距离为YU,且直线 AC与PB垂直.3(I)在棱PD上找一点E,使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.治沙，改善生态环境,2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表

8、，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值(风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好， 数值为0表示该插针处没有被风蚀)通过一段时间的观测,应的频率分布直方图.I. I1 工(I)根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率;治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值(所测数据均不为整数)，并绘制了相(n)若一个插钎的风蚀值小于30,则该数据要标记“ *： 否则不标记.根据以上直方图，完成列联表:标记不标记合计坡腰坡顶 合计并判断是否有95

9、%的把握认为数据标记“ * ”与沙丘上插钎所布设的位置有关?(山)坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为工1和其如 若算-|>20cm,则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算X和工鼻(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附：阵虫晅二公.(a+b) (c+d.) (i+c) (b+d)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820 .已知点F为椭圆号参=1 (a>b>0)的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,

10、最小值为1.(I )求椭圆的标准方程;(n)若 M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM/直线BN,直线AN、BM的斜率分别为k1和k2,求证：k1？ k2=e2-1 (e为椭圆的离心率).21 .已知函数 f (式)=-氢Lnx-1X2 史/(aR H a* 0).(I)当2=21时，求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程;(n)讨论函数f (x)的单调性与单调区间;(出)若 y=f (x)有两个极值点 Xi, X2,证明：f (xi) +f (X2)<9-lna.请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-4:坐标系与参数方程22

11、.在平面直角坐标系xOy中，直线t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为p二4口三(U 不)，曲线C2的直角坐标方程为4-工” .(I )若直线l与曲线Ci交于M、N两点，求线段 MN的长度；(n)若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求获率市的取值 范围.选彳4- 4-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) = |x - 1|+|2x+2|, g (x) = |x+2| 一 |x 2a|+a.(I)求不等式f (x) >4的解集；(n )对？X1 CR, ?x2CR,使得f (xi) > g (x2)成立，求a的

12、取值范围.一、选择题：共12小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 .已知集合 A=1, 2, 3, 4, 5, B = x|x=2n, n CN,则 AAB=（）A. 2, 3B. 2, 4C. 3, 4D. 2, 3, 4, 5【分析】利用交集定义直接求解.解：.集合 A = 1 , 2, 3, 4, 5,B= x|x=2n, n N,AA B = 2, 4.故选：B.2 .已知复数z=zr-2,则|z尸（）A. VsB. 5C. 13D.【分析】利用复数的运算法则求出z,再求其模长即可.解：因为复数 工干什2=+2一（2+D +2=1+2i；1 |

13、z|=Tm=|x/；故选：A.3.已知非零向量a ,总 给定p： ?入R,使得彳三入工，中17+E |=|7 | + |b I ,则p是q的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量吊同向共线，进而判断出关系.解：由q可得向量a, E同向共线，1- q? p,反之不成立.，p是q的必要不充分条件.1-产工4.若 2sin5n 7冗 1 口" 2 廿F 二 unrrA. 4B. 3C. - 4D. 一 3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tan a的值.解：若2 a5天7冗113口 22

14、sin1212 aUnrT兀、C女）=2?sin62cos Q,esQ sinCL故 tan45.已知双曲线2 ab2A.B.VsD. 2V3【分析】根据题意可知（2, - 1）在y=-上x上，可得a2=4b2,即可得到离心率.2, - 1）在双曲线的渐近线y=x 上，则 a=2b,即 a2=4b2,解：由题可知（4兀 6H 9开11兀），从A中任选两个角，其正弦值相等故选：C.= lCa>0,匕>0）的一条渐近线过点（2, - 1）,则它的离心率是的概率是（_ 3【分析】基本事件总数D后= 10,利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个，由此能求出其正弦值相等的概率. r7

15、i4冗6n 9n HJT .解：集合4= 看，一一，一，士L,从A中任选两个角,D 3 D &D基本事件总数n = c3=10,sin=sin4KTVLn,sin"Lix，其正弦值相等包含的基本事件有4个,.其正弦值相等的概率为p=10 57.已知函数，且 a=f (0.20.2) , b= f (log34),c-f (lo gj S)b、c的大小关系为（A . a> b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b> c> a【分析】推导出 0V0.20.2V 0.20=1, log34>1,=-1,由此能比较三个数的大

16、小.解：.函数的减区间为（-°°,0),增区间为(0, +°0),c=f(lo 3)0< 0.20.2<0.20= 1 , 10g34>1,a= f (0.20.2) , b= f (1og34),b>c> a.绘制相应的散点图,8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,如图所示:年份12345羊只数量（万只）1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断:羊只数量与草场植被指数成减函数关系;若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|门，去掉第一年数据后得

17、到的相关系准确地得到当羊只数量为2万只时的草数为2,则1|v|r2|；可以利用回归直线方程,场植被指数;以上判断中正确的个数是（1小精羯加时千门争此.111箝I.<>J万只 一 ->"U.5I13A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可.解：对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以 错误;对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|ri,因为第一组数据（1.4, 1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为2,其相关性更强，所以|1|< |2|,正确；对于，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊

18、只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以 错误；综上知，正确的判断序号是，共1个. 故选：B.9.已知圆锥的顶点为 A,高和底面的半径相等, 周上的一点，且/ ABD = 60。，则异面直线A考B.隼【分析】建立直角坐标系.不妨设OB=1OA，底面DEB ,利用向量夹角公式即可得出 解：如图所示，建立直角坐标系.不妨设 因为高和底面的半径相等， OE=OB = C点D为底面圆周上的一点，且/ ABD =BE是底面圆的一条直径，点 D为底面圆AB与DE所成角的正弦值为（）C岑D- 3）.高和底面的半径相等，得 OE = OB = OA,OB=1.）A, OAL底面 DEB .60

19、6; ,，AB = AD = DB ;D为府的中点则 O (0, 0, 0),B (0, -1,0), D (1, 0, 0) , A (0,0, 1) , E (0, 1, 0),-1)，DE= (- 1, 1, 0),c0s<靛，DE>I AB | * | DE |，异面直线AM与PB所成角的大小为，异面直线AB与DE所成角的正弦值为 返210.已知函数f (x) = sin wx (sin cox+cossx) ( w>0),若函数f （x）的图象与直线y= 1在（0,兀）上有3个不同的交点，则 3的范围是A.(B.(D.( 7T【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化

20、简解析式,再把问题转化为sin （2罡）J3：一寺一”=乂4"三个根，借助于正弦函数的性质即可求解.sin+sin2 wx2解：因为函数f (x) = sin cox (sin cox+coscox) = -1- 11 - cos2wx)（2丁-7函数f （x）的图象与直线 y= 1在（0,兀）上有3个不同的交点;77=1有3个根;c八天sin (2 工)=. 有三个根; x (0,兀)； 兀.29F( 一故选：C.11.已知点M （- 4, - 2）,抛物线x2=4y, F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过 P做PQ，l,点Q为垂足，过P作抛物线的切线1i, 1

21、i与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为（）A. 1 42诋B. 2VsC. V17D. 5【分析】画出图形，设出 P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可.解：设P (m,工)，则过P的切线的斜率为：k=咎，Q (m, T) , kpQ=, kPQ 42m>k = - 1,根据抛物线的定义，|PF|=|PQ|.li为FQ的垂直平分线，|RF|=|RQ|,|QR|+|MR|的最小值为 |MF | =业-4-0 ) 2= 5,故选：D.12 .对于定义域为 D的函数y=f (x),如果存在区间a, b? D (av b)满足f (x)是a, b

22、上的单调函数，且 f (x)在区间a, b上的值域也为a, b,小则称函数f (x)为区间 a, b上的“保值函数”，a, b为“保值区间”.根据此定义给出下列命题： 函数f (x) =x2-2x是0, 1上的“保值函数”；若函数g (x) = |2x-1|是a, b上的“保值函数"，则 a+b=1;对于函数h (x) =x2ex存在区间0, m,且mC(', 1),使函数 h (x)为0, m 上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为()A.B.C.D.【分析】根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可.由g (x) = |2x- 1|的图象可知其为区间0, 1上的

23、“保值函数"，进而可得结论.有题意可得x2ex= x解得有两个根x1=0, T-k (y) >0, k (1) <0,由零点存在定理知存在02,构造函数k (x) = - ex,易知 x2=me 称，1)，使 x2ex=x 成立，进而可得结论.解：由“保值函数”定义可知f (x)为区间a, b上的“保值函数"，则f (x)在a, b上是单调函数且在区间a, b时其值于也为a, b,那么当函数f (x)为增函数时满足条件 x=f (x)在a, b上有两个不同的实数解 a, b 的函数f (x)就是“保值函数"，命题中f (x) =x2-2x,虽满足在0,

24、 1上单调但值域为-1, 0,不是0, 1,故 为假命题.中由g (x) = |2x- 1|的图象可知其为区间0, 1上的“保值函数“故 为真命题，中 h (x) =x2ex则由 h' (x) =ex(x2+2x) > 0 在0, m成立，所以 h (x)为0,m上的增函数，再由 x2ex=x解得有两个根 x1 = 0,上一=承2,2构造函数k (x) =、-ex,易知k(4)>0, k (1) < 0,由零点存在定理知存在 x2=me(1, 1),使x2ex=x成立，故 为真命题，综上所有真命题的序号为，故选：D.二、填空题：共 4小题，每小题5分，共20分. 2h

25、,工<1313 .已知函数,则叼K)= 4 .(2/L x>l7q3 og【分析】先求出f(log2:)=Jo1T=W，从而f(f (12")=f亡)，由此能求出结果.“、尹，解：:函数f工)=、,、2/L x>l f(log2J口队了 =彳，333，f (f (1口总过)=f (万)=2xl=4.故答案为：4.14 .已知向量7,三满足向=血，向量曰夹角为120。，且(Z+S) ±b,则向量值后| =_yiii_【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得百|?而cosv，g>= - 2,及|口的值，而.+=|=J十1J 2展开可

26、求出其值.解：因为（+三），二所以（彳+三）？三=。，即法芯+工？=。，因为依=、4，向量W，三夹角为120° ,整理可得-吊2=1?肩cosW，W >= 2,即2=|口JL2?（一/），所以良|=2、历，所以|G+H = JH 2=1屈十行=加十2十2Y-2）=迎 故答案为：巫.15 .大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ,侧棱 AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，蜂 房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证

27、明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到/B' C' D' =109。28' 16''.已知一个房中 BB' = 5代，AB = 276 , tan54 ° 44' 08” = 眄，则此镰房的表面积是 216 血一O【分析】连接BD, B' D',则由题意 BD / B' D' , BD = B ' D'=啦，由OB' C'lD'为菱形，可求 OC'

28、; = 2?2= 6, B' C' = 3时，进而可求CC'|tan540 447 08可求S梯形BB CC ,即可计算得解 S表面积 的值.解：连接 BD, B' D',则由题意 BD/B' D' , BD = B' D' = 6/2,. OB' C D'为菱形，/ B' C' D' =109° 28' 16"，tan54 ° 44' 08'' =/2,.OC'2?匕 ,2x：362（上一 2八 ：6,-4&qu

29、ot; 44 0歹也B'C' =3/3,1- CCZ = BB z -C 2_优2=4仃, , S 梯形 BB CC = 2. = 27«, S表面积=6X 27/2+3xvx 6X 6血=216/2.J故答案为：216 2.a =7, b= 5, c= 3,点 I 是16 .在 ABC中，a, b, c分别为角 A, B, C所对的边，已知 ABC 的内心，则 IB=【分析】先利用正弦定理求得A以及cosC,进而得到si看，再在 BIC中，结合正弦定理即可求解结论.解：因为在 ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边,3C C j 同理可得：cosC=

30、 1 - 2sin2y? sin77= J-;（负值舍）； ./ BIC = 150在 BIC中,CBCginZBIC? IB =12故答案为：V?三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .在等差数列an中，a1=- 8, a2= 3a4.(I)求数列an的通项公式;(n)设 bnnC14+an)(nCN*) , Tn为数列bn的前n项和，若1rl 冬，求n的值.口 lb【分析】(I)等差数列an的公差设为d,由等差数列的通项公式，解方程可得公差d,进而得到所求通项公式;(n)求得b口nC2n+4) |n(n+2) n n+2,由数列的裂项相消求和,可得 心，解方程可得所求值

31、.解：(I)等差数列an的公差设为 d, ai=-8, a2= 3a4.,可得-8+d=3 (- 8+3d),解得d=2,贝U an = - 8+2 (n-1) =2n - 10;(n) bn=门(14+国口)=n(2n+4)Tn = 1 一+ + + 回 2 4 3 51,+n-117n+1 n+2 15 '化为 11n2 - 27n 68=0,解得n = 4 (17舍去).18 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点 P在面ABCD内的射影且直线 AC与PB垂直.为A, PA = AB=1,点A到平面PBC的距离为(I)在棱PD上找一点E,使直线PB与平面A

32、CE平行，并说明理由;【分析】（I ）点 E为PD中点时，连结BD ,交AC于点O,则点。为BD的中点，从 而OE / PB,由此能证明 PB与平面ACE平行.（II）根据题意，PB, PA，底面ABCD,从而ACXPA,进而AC,平面PAB,由Vpacb = Va-pbc,解得 AC=1,由 OE/PB, ACXPB,得 OEAC,从而 ABXAC,由此 能求出二面角 B - AC - E的大小.解：（I ）点 E为PD中点时，直线 PB与平面ACE平行.证明：连结 BD,交AC于点O,则点。为BD的中点，,点E为PD中点，OE是 PDB的中位线，则 OE / PB,. OE?平面 ACE,

33、 PB?平面 ACE, PB与平面ACE平行.(n)根据题意， PB, PA,底面 ABCD , AC?底面ABCD ,则有 ACPA, PAAPB = P,，AC，平面 PAB,设 AC = x,Vp acb = Va pbc =解得AC = 1,由(I)知 OE/ PB, ACPB, . OEAC,AC,平面 PAB, AB?平面 PAB, /. AB± AC,如图，二面角为钝角，则 OE, AB所成角为二面角 B-AC-E的补角,ZPBA = , OE / PB, OE, AB 所成角为 4面角B - AC - E的大小为19 .甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为

34、了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值(风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好， 数值为0表示该插针处没有被风蚀)通过一段时间的观测,治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值(所测数据均不为整数)，并绘制了相应的频率分布直方图.30”的概率;(I)根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于(n)若一个插钎的风蚀值小

35、于30,则该数据要标记“ *： 否则不标记.根据以上直标记不标记合计方图，完成列联表:坡腰 坡顶 合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“ * ”与沙丘上插钎所布设的位置有关？(山)坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为工1和其工，若区-l>20cm,则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算冗1和工z (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附：K2=一必如2,一Ca+b) (c+d.) (a+c) (b+d)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(I)利用频

36、率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；(n)由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(in)计算K和我鼻，求出|万-卜?|,即可得出结论.解：(I)设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C,则 P (C) = 0.08+0.16+0.36= 0.6;(n)由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算 K2= .19。，工-3。.13。二?9工?。.尸=4>3.841, 50X50X50X50所以有95%的把握认为数据标记“ *”与沙丘上插钎所布设的位置有关；(出)计算直= 0.08x

37、 5+0.16 X 15+0.36x 25+0.24x 35+0.12x 45+0.04x 55 = 25.8 (cm),X2= 0.04 X 5+0.12 X 15+0.24 X 25+0.32 X 35+0.20 X 45+0.08 X 55=32.6 (cm),且|工1 叼=4.8<20,所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异.20 .已知点F为椭圆号1万=1 (a>b>0)的一个焦点，点 A为椭圆的右顶点，点 B为 椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆的标准方程；(n)若 M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM/直

38、线BN,直线AN、BM的斜 率分别为k1和k2,求证：k1？ k2=e2-1 (e为椭圆的离心率).【分析】(I)由题意可知，a+c= 3, a - c= 1,可求出a, c的值，再利用 b2 = a2 - c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；(n)设直线 AM的斜率为k,则直线BN的斜率也为k,所以直线 AM的方程为y= k (x-2),直线BN的方程为y= kx-V3,联立直线AM与椭圆方程求出点 M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点 N的坐标，再利用斜率公式分别求出 k1，k2,化简k1? k2=-三，从而得到 k1? k2= e2 - 1.解：(I )由题息可知，_，解得'

39、;T，-1C=1b2= a2 - c2= 3,22，椭圆的标准方程为：;43 1(n)由(I)可知，A (2, 0) , B (0,一日)，设直线AM的斜率为k,则直线BN的斜率也为k,故直线AM的方程为y=k (x-2),直线BN的方程为y= kx -聪,r 22 _由 & 一12 得：(3+4k2) x2T6k2x+16k2T2=0, |y=k(x-2).匚 _16k2-12 , r _8k2-6 L12k |一 2 工况一 中，一0 5r j 2，M 37芦 M 3+4上 237ks，评述-6-12 xM1. 埒),，92,My = 12 /曰 * . 2、 2cL -由 二得：

40、(3+4* )耳-MkxOy=kK-A/3福 曲三送一篁n2， y旷9，3+4k2N 34-4k£砥 k 431-373.34k2 '3+4k2-12k(o2+4k Z V3(4k2-V3k+3)8k2-62(4/-3)3+43c21' ki? k2= e2 1.21.已知函数 f (k)=-(aCR 且 aw。).(I)当a= 2"1时，求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程;(n)讨论函数f (x)的单调性与单调区间；(出)若 y=f (x)有两个极值点 xi, x2,证明：f (xi) +f (x2)<9-lna.【分析】(I)因

41、为 a= 时，f' (x) = 23 -奴 R x? f' (1) = - 1,易求 f (1) I=24，从而可彳#曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)由题意可知 f' (x) =2百一-x= 一过(x>0),令-x2+2/x-a=0,通过对= 12-4a符号的分析，即可求得函数f (x)的单调性与单调区间；(山)依题意，f'(x)=_三_+2三_± =0有两个正根x1，x2,则= 12 - 4a> 0,x1+x2x=2 k/3,x1?x2=a>0, f(x1)+f(x2)=2爪(x+x2)- aln(x1

42、x2)(五七 +五/)21 c+1 = - alna+a+7,利用分析法， 若要 f (x1)+f (x2)<9 - lna,即要 alna - lna a+2> 0,(X0)= 0,且 g(x0)为(1,2)上的最小值，g(x0)=x0lnx0-x0 -lnx0+2= 3 -(x0构造函数g (x) = xlnx - lnx - x+2,通过对其导数的分析，存在x° e (1, 2),使得g/)，利用对勾函数的单调性即可证得结论成立.解：(I)因为a= 2值时，f(足二2诉一耳一寺工？卷,所以f' (x) = 2/3 -x,那么 f' ( 1) = 1,

43、 f (1) = 2/3,所以曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为：y- 2/3= - ( x- 1),即x+y-21 = 0,(n)由题意可知f (x)的定义域为(0, +8),因为 f' (x) = 2射-卫 x= X +2Vm a ,由-x2+2z3x- a= 0 可得：= 12- 4a XX>0,即 av3 时，有 x1 = t/j+a/3-a, x2 = xf3 -V, x>x2,又当 xC(0, 3)时，满足 x1>x2>0,所以有 xC (0, x2)和(x1, +8)时，(x) V0,即f (x)在区间(0, x2)和(x1,

44、+00)上为减函数.又x e ( X2, x1)时，f' ( x) > 0,即f (x)在区间(x2, x1)上为增函数.当 a<0 时，有 xi>0, x2< 0,贝U xC (0, xi)时，f' (x) >0, f (x)为增函数；xC (xi,+°°)时，f' ( x) v 0, f (x)为减函数；当a>3时，< 0, f' (x) & 0恒成立，所以f (x)在(0, +8)为减函数，综上所述，当a<0时，在(0, 3+后工)，f (x)为增函数；在(3工，+8), f (x

45、)为减函数；当0v av 3时，f (x)在区间(0,3- Jw-a)和(3+/-a, +°°)上为减函数，在(3 一日可，3+/三)，f (x)为增函数；=0有两个正根当a>3时，在(0, +00)上，f (x)为减函数.(出)因为y=f (x)有两个极值点xi, x2,则r (x)xi, x2,贝1= 124a>0, xi +x2= 2'/3, xi? x2=a>0,即 a C(0,3)，所以 f(xi)+f(x2)= 2fS(xi+x2)- aln(xix2)- 7j- (x J +2,)+i = - alna+a+7,若要 f (x1)+f(x2)< 9 Ina ,即要 alna - Ina a+2>0,构造函数 g (x) = xlnx - Inx x+2,贝U g(x) = i + lnx 一-i = Inx,且在(0, 3)上为增函数,又 g' (i) =- i<0, g' (2) = In2- - >0,所以存在x0 (i, 2),