含绝对值的不等式解法练习题及答案

1、例1不等式|8-3x| > 0的解集是A B R8 8C x|x 丰-3D - 38 分析 V |8- 3x| > 0，二 8- 3x 丰 0，即 XH3答选C.例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是A 3B 2C 2D 5分析列出不等式解 根据题意得2v|x|w 5 从而5WxV 2或2v x< 5，其中最小整数为5,答选D 例3 不等式4 V |1 3x|w 7的解集为 分析利用所学知识对不等式实施同解变形解 原不等式可化为 4V |3x 1|< 7,即4 V3x 1 < 7或758< 3x 1V 4解之得5 Vx< 8或2<xV 1,即所求

2、不等式解集为33.58x| 2W xV 1 或 V xw 33例 4 已知集合 A = x|2 V |6 2x| V 5, x N，求 A.分析转化为解绝对值不等式解 v 2V |6 2x| V 5可化为2V |2x 6|V 5即-5V 2x- 6V 5,2x 6 > 2 或 2x 6 V 2 ,戸 1V 2x V 11,即2x > 8或 2x V 4,111解之得4 V xV或一V x V 2 22因为 x N，所以 A = 0 , 1 , 5 说明：注意元素的限制条件例5实数a, b满足abV 0，那么A . |a b|v |a|+ |b|B.|a+ b|> |a b|C

3、.|a+ b|v |a b|D.|a- b|v |a|+ |b|分析根据符号法则及绝对值的意义解 a、b 异号，|a+ b| v |a b| .答选C .例6 设不等式|x a|v b的解集为x| 1v xv 2，贝U a, b的值为A . a= 1, b= 3B. a= 1, b = 3C. a= 1, b = 31 3D . a=, b=-2 2分析解不等式后比较区间的端点.解由题意知，b> 0，原不等式的解集为x|a bv xv a+ b，由于解集又为x| 1 v xv 2所以比较可得.a b =1解之得a= 1a+ b = 22答选D.说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不

4、等式组.例7 解关于x的不等式|2x 1|v2m 1(m R) 分析分类讨论.1解 若2m K 0即mW?，则|2x 1|v 2m 1恒不成立，此时原不等 式的解集为；1右 2m 1 > 0即 m> ，则一(2m 1) v 2x 1 v 2m 1,所以 1 mv2xv m.1综上所述得：当mW-时原不等式解集为；21 、当m> -时，原不等式的解集为2x|1 mv xv m.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.例8解不等式上凶 > 丄.|x| + 22分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接 去分母.解 注意到分母|x| + 2 > 0

5、，所以原不等式转化为2(3- |x|) > |x| + 2,整理得44444|x| <，从而可以解得一W x <，解集为x| < x< 3333 3说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便.例9 解不等式|6 |2x+ 1|> 1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+ b|v c或|ax+ b|> c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6 |2x+ 1|> 1或 6 |2x+ 1|v 1 由得|2x+ 1|v 5，解之得一3 v xv 2;由得|2x+ 1|>7,解之得x>3或xv 4.从而得到原不

6、等式的解集为x|x v 4或一3 v xv 2或x > 3.说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.例10已知关于x的不等式|x+ 2|+ |x 3|v a的解集是非空集合，贝U实数a的 取值范围是.分析可以根据对|x+ 2|+ |x 3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一 当x < 2时，不等式化为一x 2 x + 3 v a即一2x+ 1 v a有解，而 2x + 1 > 5, a> 5.当一2v xw 3时，不等式化为 x + 2 x+ 3 v a即a> 5.当x> 3是，不等式化为 x + 2 + x 3v a即2x 1 v a有解，而2x

7、 1> 5, a > 5.综上所述：a> 5时不等式有解，从而解集非空.解法二|x+ 2|+ |x 3|表示数轴上的点到表示一2和3的两点的距离之和，显然最小值为3 ( 2) = 5.故可求a的取值范围为a>5.解法三 利用|m汁|n|> |m ± n得|x + 2|+ |x 3|> |(x+ 2) (x 3)|= 5.所以a> 5时不等式有解.说明：通过多种解法锻炼思维的发散性.例11 解不等式|x+ 1|> 2 x.分析一 对2 x的取值分类讨论解之.解法一原不等式等价于：2 x> 0x+ 1 > 2 x或x + 1 v

8、 x 22 xv 0或x Rx< 2由得 1 、x> 或 1<- 22x< 2即 11x> ，所以一< xW 2 ；2 2由得x > 2.1 、 1综合得x >.所以不等式的解集为x|x > 分析二利用绝对值的定义对|x + 1|进行分类讨论解之.解法二因为|x + 1| =x + 1, x>- 1x 1 , x<- 1原不等式等价于:x1> 0,x1< 0或x1> 2xx 1> 2 xX11 ；>由得1即x>x>22x< 1由得即x 1> 2所以不等式的解集为x|x >

9、; 1.2例 12 解不等式 |x- 5|- |2x + 3|< 1 .分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分3区间讨论，事实上，由于x= 5时，|x 5| = 0, x =- ?时|2x+ 3| = 0.3所以我们可以通过-3 , 5将x轴分成三段分别讨论.2EI1-K3解 当x< 3时，x 5< 0, 2x + 3< 0所以不等式转化为2(x 5) + (2x + 3)< 1，得 x< 7，所以 x< 7;3当一3 v x< 5时，同理不等式化为2(x 5) (2x + 3) v 1,11解之得x>丄，所以-vx< 5;3 3当x>5时，原不等式可化为x 5 (2x + 3) v 1 ,解之得x> 9,所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为x|x >丄或xv 7.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略.例 13 解不等式 |2x 1|> |2x 3|.分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a| > |b| a2 > b2解之，则更显得流畅，简捷.解原不等式同解于2 2(2x 1) > (2x 3)，即 4x2 4x + 1 >