勾股定理的证明方法

1、【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c, 再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等,即aA2+bA2+4*(ab/2)=cA2+4*(ab/2),整理得到：aA2+bA2=cA2o【证法2】以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点 在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. Rt A HAE 也 Rt A EBF, / Z

2、AHE = ZBEF. / ZAEH + ZAHE = 90o, /. ZAEH + ZBEF = 90o. / ZHEF = 180o-90o= 90o. 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于cO. /RtAGDH空 Rt AHAE,/.ZHGD=ZEHA./ZHGD+ZGHD= 90o,/ZEHA+ZGHD= 90o.乂: ZGHE = 90o,/. ZDHA = 90o+ 90o= 180o.A ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b42.A(a+b)A2=cA2+4*(ab/2), aA2+bA2=cA2。【证法3】以a、b为直角边(b>a)

3、,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个 直角三角形的面积等于ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.:Rt A DAH 也 Rt A ABE,/ ZHDA = ZEAB.ZHAD + ZHAD = 90o,/ ZEAB + ZHAD = 90o,ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于M2. EF = FG =GH =HE = b-a ,ZHEF = 90o.，EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于(b-a)A2./ (b-a)A2+4*(ab/2)=cA2,，aA2+bA2=cA2。【证法4】以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于

4、ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在 一条直线上.Rt A EAD g Rt A CBE,/ ZADE = ZBEC./ ZAED + ZADE = 90o,/ ZAED + ZBEC = 90o./ ZDEC = 180o-90o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于cA2/2.又: ZDAE = 90o, ZEBC = 90o,/. ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b-2/2(a+b)A2/2=2*ab/2+cA2/2,aA2+bA2=cA2【证法5】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为 c.把

5、它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上过C作AC的 延长线交DF于点P.:D、E、F在一条直线上，且RtAGEFgRt AEBD,/. ZEGF = ZBED,/ ZEGF + ZGEF = 90° ,/ ZBED + ZGEF = 90° ,(/. ZBEG =180o-90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG是一个边长为c的正方形./. ZABC + ZCBE = 90o.Rt A ABC g Rt AEBD,/ ZABC = ZEBD./. ZEBD + ZCBE = 90o.即？ ZCBD= 90o.XV ZBDE

6、 = 90o, ZBCP = 90o, BC = BD = a.BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 aA2+bA2=S+2*ab/2cA2=S+2*ab/2/ aA2+bA2=cA2o【证法6】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a. b (b>a), 斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、 A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC,交AC于点P.过点B作BM_LPQ,垂足为M；再过点F作FN_LPQ,垂足为N.ZBCA = 90o, QPBC,/ ZMPC = 90o

7、,BM±PQ,/ ZBMP = 90o,/ BCPM 是一个矩形，即NMBC = 90o. / ZQBM + ZMBA = ZQBA = 90o,ZABC + ZMBA = ZMBC = 90o, /. ZQBM = ZABC, 乂: ZBMP = 90o, ZBCA = 90o, BQ = BA = c, / RtABMQ 0 Rt A BCA.同理可证 RtAQNF 0 Rt A AEF.从而将问题转化为【证法4】E【证法7】做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、 B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL_LDE,交AB于点M,交DE于点 L

8、. / AF = AC, AB = AD,ZFAB = ZGAD,/. A FAB g A GAD,A FAB的面积等于a a加，A GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积=aA2.同理可证，矩形MLEB的面积=bA2.正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积/. aA2+bA2=cA2o【证法8】(利用相似三角形性质证明)如图，在RtA ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长 为c,过点C作CD_LAB,垂足是D.在A ADC和 ACB中，ZADC = ZACB = 90o,ZCAD = ZBAC,A?A ADC s A AC

9、B.AD ： AC = AC : AB,B|J?ACa2=AD*AB.同理可证，ACDB s AACB,从而有 BCA2=BD*AB./. ACA2+BCA2=(AD+BD)*AB=ABA2, B|J?aA2+bA2=cA2o证法9做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜 边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作A F±AC, AF交GT于F, AF交DT于R.过B作BP±AF,垂足为P.过D作DE与 CB的延长线垂直，垂足为E, DE交AF于H. / ZBAD = 90o, ZPAC = 90o,/. Z

10、DAH = ZBAC.乂ZDHA = 90o, ZBCA = 90o,AD = AB = c,/ RtADHA g Rt A BCA., DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 Rt A APB 丝 Rt A BCA,即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a.?Rt A DGT g Rt BCA , RtADHA g Rt A BCA./. Rt A DGT 0 Rt A DHA ./. DH = DG = a, ZGDT = ZHDA .又； ZDGT = 90o, ZDHF = 90o,ZGDH = ZGDT + Z

11、TDH = ZHDA+ ZTDH = 90o, /. DGFH是一个边长为a的正方形?？ / GF = FH = a . TF±AF, TF = GTGF = b-a .TFPB是一个直角梯形，上底TF=b a,下底BP= b,高FP=a + (b-a).用数字表示面积的编号(如图)，则以C为边长的正方形的面积为.司 + S? +=5 俭 +1 b -a + 的一 口_ / 一 万 a621邑十$4=匕_瞪_a=兮_闻_1把代入，得/ =国十多十&2_星_$十鼠十与+/.【证法10设直角三角形两直角边的长分别为a、b (b>a),斜边的长为c.做三个边长 分别为a、b、

12、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条 直线上.用数字表示面积的编号(如图). / Z TBE = ZABH = 90o,/ ZTBH = ZABE.乂: ZBTH = ZBEA = 90o,BT = BE = b,/ RtAHBT 0 RtAABE./. HT = AE = a./. GH = GT-HT = b-a.义: ZGHF + ZBHT = 90o,ZDBC + ZBHT = ZTBH + ZBHT = 90o,/. ZGHF = ZDBC.DB = EB-ED = b-a,ZHGF = ZBDC = 90o,/ RtAHGF 也 Rt A BDC.即 S7=S

13、2.过 Q 作 QM_LAG,垂足是 M.由NBAQ = ZBEA = 90o,可知 ZABE=ZQAM,而 AB = AQ = c,所以 RtAABE Rt A QAM .又 RtAHBT gRtAABE,所以 RtAHBT / Rt A QAM .即 S8=S5.由 RtAABE 丝 RtAQAM, 乂得 QM = AE = a, NAQM = ZBAE. / ZAQM + ZFQM = 90o, ZBAE + ZCAR = 90o, NAQM = ZBAE,/ ZFQM = ZCAR.又.？NQMF = ZARC = 90o, QM = AR = a,/ Rt AQMF g Rt A A

14、RC.即 S4=S6.I Y =Si+Sa+S + Sg+W，/二邑+及，川二邑+斗+品,又二际=应，鼎=邑，5=又，：.以2+/=斯+禺+，3 +易+房二百十M十国十应十处【证法11（利用切割线定理证明）在RtAABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.如图，以B为圆 心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为NBCA = 90o,点C在。B上，所以AC是。B的切线.由切割线定理，得AC2 = AEADndB十赃iUB即i=七十 0 Kc - a)=，-a2 j即 b2=c2-a2, /+/ = 【证法12（利用多列米

15、定理证明）在RtAABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c （如图）.过点A 作ADCB,过点B作BDCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根 据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有. AB = DC = c, AD=BC/ AC = BD = b,',- AB2 =BC2+AC2f 即 1=/+，【证法13(作直角三角形的内切圆证明)在Rt A ABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.作Rt A ABC的内 切圆。O,切点分别为D、E、F (如图)，设。的半径为r.:AE = AF, BF = BD,

16、 CD = CE,/. AC+BC-AB= (AE+CE) + (BD+CD) - (AF-BF)=CE+CD= r + r = 2r,即 a+3 c = 2胃，-以 + b = 2尸+ c J. a +=2r -ie ?,BP+ 2ab =+rc l4-c2,一 ijjLBC = az ,2ab = 4M1Age s又 S3c = SLAOS 十 Sj150d 十 Saaoccr arbr- a 十小十cir222=21-1 2/ 4-<7 4-c： «r o=2= r?十星，4(r2 4-rc 1= 2ab,: “2 十卜2 十 2。b=2蝮小+c?， 二 a2 +b2 =

17、 c2 【证法14(利用反证法证明)如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长 为c,过点C作CD_LAB,垂足是D.假设/十 mJ,即假设工。2十3。2HH炉，则由AS2 =ABAB-AB'AD +BD)= ABADABBD可知 AC2 AB AD ,或者 BCAB8口，即 AD； AC沪AC； AB,或者 BD； BCrE在AABC和AACB中， ZA=ZA,若 AB： AC/AC： AB,则 /ABC 手/ACB.在ACDB和AACB中，ZB = ZB,若BD： BC#BC： AB,贝U /CDB/NACB.又 ZACB = 90°,/A

18、DC/ 90。，NCDB卉 90。.这与作法CD 1 AB矛盾-所以,AC2 +5C2 /£2的假设不能成立./十=已【证法15（辛卜松证明）GIF此主题相关图片如下:设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正 方形ABCD.?把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b) A2=aA2+2ab+bA2；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个 部分，则正方形ABCD的面4n7t g +办f=4 乂1以占+匕”积为2 =2ab + c" 2 + 合？ + 2ab = 2ab + c1,- >+*=".【证法16设直角三角形两直角边的长分别为a、b (b>a),斜边的长为c.做两个边长 分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一 条直线上.用数字表示面积的编号(如图).在E