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文档简介

1、均值不等式是不等式的重要内容之一，常常用来求函数的最值。在应用其求最值的时候必须注意成立的条件，否则就会走入种种误区从而导致解题错误。关键词：均值不等式；注意；问题不等式是历年高考中必不可少的内容,而均值不等式是不等式中的重要内容之一。均值不等式常常用来求函数的最值。在应用均值不等式时，需注意同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）和或积为定值；（3）具有等号成立的条件；（即一正二定三等）。忽视以上条件必然导致解题的错误。现举例加以说明： 一、忽视了均值不等式成立的前提条件，导致解题错误 例1 求函数y= 的最值 错解 当x=0时，y=0 当x0时，y= = (即当x= 时) y =

2、,y没有最小值 分析 x0时，x可能大于零，也可能小于零，则x, 可能同正，也可能同负，而此解法只考虑了x大于零的情况，即忽视了均值不等式成立的前提条件各项均为正数，从而导致解题错误。 正解 当x=0时，y=0 当x0时， = = = 当且仅当 = 即x= 2时等号成立 y = - y = 二、忽视了均值不等式定值的选取，造成解题 用均值不等式求函数的最值时要注意构造出定值关系，首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值，然后构造出相应积（和）的定值。若未构造出定值来，则容易造成解题的错误。同时还应记住，若和为定值，则积有最大值，若积为定值，则和有最小值。例2 求函数y=x+ (x大于零)的最

3、小值 错解 x+ 2 =2 当且仅当x= 即当x=2时上式中等号成立 x+ 2 =4 当x=2时，y =4 分析 x = 不是定值，所以不能直接应用均值不等式。 正解 为了利用均值不等式，就要出现定植，所以要先进行适当的“凑，配”： y=x+ = + + 3 =3 当且仅当 = 即当x=2 时，y =3 三、忽视了等号成立的条件，导致解题错误 例3 求函数y= 的最小值 错解 y= = + + 2 y 2 故此函数的最小值为2 分析 + 2中的等号要成立，必须满足 = 即x +4=1,即x= 3，没有实数解，故不能取得最小值2。 正解 解法一： y= = + = + - + 4 (x=0时等号成立) 又 - - （x=0时等号成立） y 4- = （x=0时等号成立） y = 解法二：设y= + - (a1) 由均值不等式及函数的单调性得： y2 - 2 - 当且仅当 = 且 2时等号成立，由于当x=0，a=4时上面不等

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