弹性大变形的余能原理

1、 中 国 科 学 G 辑 物 理 学 力学 天 文 学 第 36 卷 e i s n L v n o 的余 能原 理 未 曾利 用 力 矩 平 衡条件 . 6 结论 大变 形 的 余 能 . 原 理 是 很 容 易 建 立 的 且( l ( 1 式 具 有 和 小位 移情 况 一 样 的 结 构 形 式 l 4 . l ( i 位 移 梯度 可 以 由 基 面 力 唯 一 确 定 尤 其 是 对 各 向 同性 材 料 由(10 式 可 . 确 定 其 旋 转 部 分 位 移 梯 度 可 以被 分 解 为变 形 和 旋 转 两 部 分 它 们 由 (2 3 式 分 别 . 与 余 能 的两 部

2、分相 关 , (i 当 把 基 面 力 作 为基 本 未 知 量 来确 定 弹性 系 统 的状 态 时 一 , , , (i 余 能 不 是 一 个 与 微 元 旋 转 无 关 的 函 数 . 部分 见( 2 式 2 , , 它 包 含 一 个 与 微元 转 动 有 关 的 . v (i 实例 表 明 本 文 给 出 的 大 变 形 余能 原 理 是 可 行 的 ( v 基 面 力 的优越 性 不 仅 表 现 在 将 繁 冗 公 式 的推 导 简 化 【5 . 4 度 阵 简 洁 的 表达式 也 表 现 在 建 立 大 变 形 余 能 原 理 方 面 , , 1 6 、 给 出 有限 元刚 参

3、 考 文 献 M n H el i ger E . D er a l m i A sat d r M a h朗止 ig e n n Z e c e ssenscb剐氏e n Wi , , 1 9 1 4 : 4 2 ( 6 . s R i e s E o r e n n a v . d e r K o n t u a E n y e lo l d ia d e r c n i x e t sc en i 毗 ma h : 2 1 2 9 e L 叭恤s h zu K j u Z o b v L M . ecom P】 nt 甲 e n h 眯 别 e 咖s M. T n o 、 r ia o

4、乞 t i e h T , 1 7 9 0 4 3 , s 州 a石。n a l t h e o re m . 石n te e a t e d ef m 旧t o n J M a t a n d P i ls i o i h h r o f erg y t eo r m i f n i e la t e i J A h e n i 比 s i t . y c p lM e h y , 1 s , 1 9 5 3 , 3 一 13 5 , : 9 6 5 3 2 8 2 6 一828 l a n o i n m et o d s i h n J a e la d e it s y s ai t

5、o 助 d Pl t e i O X f rd : P e嗯 别田旧 ” . y e m nta , 1 9 6 8 . t a t 守 p n n c iP le o f eo m P le : 2 2 8 y o rk in I w k M a比 吐以 石 a 1 M e k a 止 a b n o n . l a t o r o e last eity P k ad n a ia r h y f i e i r i e n i 一 2 32 eo m P l e e m n ta 甲 e r n h e n J e n gy i t n n o l Kn i r e t W e 工 O

6、n t e P r n iP l o f s t tio n a r h ic a y , 1 9 7 3 , : 2 5 4 4 2 JA PPI M at h o g d en R W . 6 9 0 留山 r P c o C eo r y of e l st e i a i 诊 Siam . : 一 4 34 in n o n 一 i l n e r a e la s t o s a t i e s M a h t b m a P A n te o n v a r a o na l th e r it o e m o i s In e u a t e s asso ia e q l i

7、c td P ro c C 即 叮 b P b il S o c 七 S o 11 c , 1 9 7 5 7 7 一 6 15 . W w it h , 1 9 7 7 o g d en R i田p lie a o i t n s. M at h a tio n r la d o n h t e in ve r ion of e la tie st ss d ef s s o e he r n a d t i e r m r , 8 , 1 9 0 8 1 2 8 9 l0 郭 仲 衡 非 线性 弹性 理 论 北 京: 科 学 出 版 社 A U 5 N g l a i r u . , e

8、lass ie 目 e la t c lty J S tr c t s i U M e h c . . . 1 : 3 1 3 一 32 4 一24 0 s tr 伪 50 口e ne w en e r n a 1 9 d eo , m : 8 P l e n ta J e m 刀 e 澎 e n r y t e 正m s f r t e r te P ro ble m s in fi j t h o a e g o h 面n 8 0 6 2 一9 1 G a o Q G o a D Y , en i i r S t a o g G G e o m e t e 00 曲 nean ty : P

9、 o t t a i r , , ene r ,y g eo m P 】 e e m nt r a y e n er g y n a d t e g a P f n c ti on h u . u a r 1 A PP I t M D . Y P b t a 1 9 8 9 7 4 : ( 3 4 8 7 恤比 c o 1 m P le 山e n t田甲 en e 飞y P r n iP le a d 肠 a t t c r ic n l y h o y . in f n te e lastieity M ec R sea C o ii r h e m e m n ts. In t J E n

10、 g S ei 、 1 9 7 2 , , 1 9 9 2 6 : 3 一37 ub e e k B M . A n ew v i i r t a a ona P l n i r I C P le f r f n it e la t e d isP la e o i e s j c , Fr e s d a i e j : 1 0 7 4 5 e V G a o 1 7 1 Y C 一 76 3 . A n e w d ese r P t on o f s t ss s t te a a P o in t w i i i a t e r h t ea o n s . A r h v e o f

11、 A P P I M e e h c i P a P li ti , 2 X ( 3 , : 7 3 一 18 3 Y C , G o a T J . L Ga o : 3 7 4 出嗯 e n e o d f 刀a o i t n e o n ta c t o f a u r b r n o o b c t h w it h a g i r id w . d e e g I J S o i l d s S et U r t , 2 ( 洲 洲 , 3 1 9 Ga o Y C 一433 4 . y m P t t e a a ly sis o f t e n ou in a B o u ss

12、 o i n h l e r s A e n i SC I N CE I E N C H L 又A S 既 sq P ro b le m , M c e h r o f a k n d of i eo m P r ssi l r b r i n e b e u b e G Ph ysi s c es 叨i & A t n m s r o y o 第3 期 高玉 臣 : 弹 性 大变 形 的 余 能 原理 309 . as t il , m a er a J E l t ciy i t 7 1 高玉 臣 . 2001 , : 4 6 1 1 1 一 13 0 , 1 9 9 固体 力学

13、基础 . 北 京 : 中 国铁道 出 版社 附录 A. 1 基面 力 基 面 力 T 的 定 义 及 功 用 , , x 考虑 三 维 物 质 区 域 令 Q 表 示 一 物质 点 的 位 置 矢 径 . a rn in L g a g a 坐标 引 入 下 面 所 定 义的基矢 甘i= 。 _ a Q 二甲丁 · i ( 二 l, , 2 3 表 示 当 前 /或 a ( l 山 为 了描 述 点 Q 附件 的应力状态 图6 . , 作 一 平 行 六面 体 其边 分 别为 d 1 x Q I , , x d Z 3 x 达和d 场 见 , dT i表 示 作 用在 六 面 体 三

14、 个 正 面 的 力 令 , 护= 假 定 指 标 服从轮 换 规 律 3+ = l l , 1 一井 下 d护 , 时* . 。 (aZ x d l T x d 一 1 二3 . 一 图6 基面力 , “ il 护(= 被 称 为 Q 点 在坐标 系 x 中 的 基 面 力 户 独立 于 d i 但依 赖 于 坐 x i . 标系 考 虑法线 为 n 的任 意平 面 令 砂 为此 平 面上 的应 力 则 I 幻 7 , , , 2 3 , , 砂 . 一 上尹 a 肠 x a , n ( a 3 其 中 肠 坐标系 了 的基 容 肠 注意 = (Q l , Z Q 场 (a 4 an 二二

15、万 _ = 9 1 n 二 n i , ( a s d X . w w w s e i e h i n a e o m 中 国科 学 G 辑 物 理 学 力学 天 文 学 第 36 卷 那 么 (a 式 可 以写 为 3 丫= i 生r 肠 . , , ( 6 a ( 式 表 明基 面 力 能 够完全 表示 一 点 的应力状态 6 a , 为 了进 一步解释 基 面力 到 的含 义 令 了 表示 第 i个 坐 标 面 上 的应 力 根 据 式 (a2 T l= A . 得 、 . .了 、 了 a ,只 、 尹 尹 口、 ,. 其中 , = l + 必 , x 级 一; 卜 , 才 被 称 为

16、 基面积 , , . 在 (a 式 中 因 为 i 处 在 相同 的水 平 上 不 求 和 考虑 一 个 平 行 六 面 7 体 单 元 见 图 6 力矩平 衡 为 , T x i Q = . 0 、 . 了 , a l t n , , 八、 J . 产 当 势能给 定时 此条件 应 自动满 足 , . c au hy 应 力 口 和 第一 类 P o a 幻 r h o f 应力 T 与基面力 到 的 关系 为 c i f 一 一 . A 2 T 亩 , , i Q 一 T 命 。 界 、 .了 用基 面 力 厂 表 示的弹性 定律 , . 传统 的弹性 定律 给 出应 力 张量和 应变 张

17、量之 间的关 系 现在 我 们 给 出 一种 新的弹 . 性 定 律 直 接建 立 基 面 力 到 和 位 移 梯 度 叭 的关 系 为此 需要 首 先给 出变 形 前 单 位 体 积 , , 的 应 变能 函 数 W , 设其 为 G 既 n 应 变 G 的 函 数 即 W , 二w G ( . 令 p 和 Q 分 别 表示 一 物 质 点变形 前 和 变 形 后 的矢 径 和 变形后 的 基 矢 , u .“ 为位移 , i P 和 Q 分别 为变 形 前 、 为变形 梯 度 则 , 。 = Q 一 , , 。 = = 奥 必 叫 一 只 , (all 则G 比e n 应变 G 二 ( 告

18、 , 一 “p + p 。 · + 一 · ,p , p , , ( ·1 2 i 其中 尸 是 只 的 共扼基 因 此 w 是 u 的 函 数 , . a ( l 3 i W = W (u 为 了 得 到 到 的 一 般 表达 式 考虑 图 6 所 示 的 平行 六面 体 其六个 面 所作 用 的 力 分别 . i lx 为 dT i 和 - d T i ( 二 1 , 3 给 定 位 移 增 量 面 则 两 平 行 面 的 相 对 位移 为 d i 讯血 a x z . i= l ( 不 求和 , , , · 2 , , 2 3 ( 应力做 的功等 于应 变 能 的 增 加 则 , 次 两冷 w 卜 两外 价栩工 ld x . 。 4 其 中p 为变 形 前 的密 度 则 基面 力 为 1 v . , Z x d 3 = · i r x 奴山 d 时 l Z , a ( 4 1 S C I E N C E N I C H I N A S e . r G h P s y ie s , M e e h a n i e s & A s o r t n o m y 第 3期 :