向量的方向余弦及投影

1、向量的方向余弦及投影 第七章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的方向余弦及投影四、方向角和方向余弦五、向量在轴上的投影向量的方向余弦及投影空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 四、向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的方向余弦及投影非零向量非零向量 的的方向角方向角：

2、a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的方向余弦及投影xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 向量的方向余弦及投影0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxza

3、aaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量的方向余弦及投影1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a(,)| | |yxxaaaaaaaa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为向量的方向余弦及投影例1 已知两点A（2,2, ）,B(1,3,0),求向量 的模，方向余弦和方向角。解：2AB (1,3,0)(2,2,2)( 1,1,2)ABOBOA 1 1 242AB 112cos,cos,cos222 213,.334 向量的方向余弦及投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂

4、直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.OA为OA在轴u上的分向量O A e , 为向量OA在u轴上的投影五 向量在轴上的投影向量的方向余弦及投影n向量投影的性质(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub);(a)u= (a)u , (Prju (a)= Prju (a).向量的方向余弦及投影AAB6OA4Axy 例7 设点位于第I卦限，其向径的模 ，且向径与 轴、 轴的夹角依次为和，3求点的坐标。222222 ,coscoscos134121cos1()(),2241Acos.2 OA6A解=，=由关系式得由点在第一卦限，知121于是（，）（3，32，3），222也就是点的坐标。向量的方向余弦及投影OM OMOAOA,OAOMPrjOAa 例8 设立方体的一条对角线为，一条棱为，且求在方向上的投影OMMOA= ,1cos3PrjOAcos.3OAOMaOA 解记则则向量的方向余弦及投影向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向