高等数学：第九章 2偏导数

1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法1、偏导数的定义、偏导数的定义第四节第四节 偏导数偏导数00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求求导导xf 求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求求导导yf 这仍然是一元函

2、数求导问题这仍然是一元函数求导问题偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 一般地 设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ), 2 , 1(ni 例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求

3、求证证 zyzxxzyx2ln1 .例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解2、偏导数的计算、偏导数的计算偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求； 计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代 入 f (x ,y ) ； 计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理3、 4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具 体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余体求导时要弄

4、清是对哪个变量求导，其余 均视为均视为常量，常量，-重要的是区分清函数的类型重要的是区分清函数的类型.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例1 1 解解).0, 0(),0, 0(,),(2yxffxyyxfz求设例解解二、偏导数存在与连续的关系二、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在

5、某点可导一元函数中在某点可导 连续连续多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续三、偏导数的几何意义三、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义: :),(00yxfx0yy 0M在点xTM0 x 偏导数偏导数 就是曲面被平面就是曲面被平面所截得的曲线所截得的曲线处的切线处的切线对对轴的斜率轴的斜率.),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导

6、混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .例例 6 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 例例 7 7 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数. 问题问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数求求设设yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域

7、D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等例例 9 9 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu问题问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？21,pp21,QQ),(),(21222111ppfQppfQ)(ln)(ln11111111pQQppQE1Q1p1p1Q0011E)(ln)(ln21122112pQQppQE1Q2p2p1Q2221,EE定义定义：设有两种商品，其价格分别为，需求量分别为. 有需求函数当价格发生变化时，需求量 将随之发生变化，则有如下偏弹性：-表示为关于自身价格的直接价格偏弹性. 其经济解释为：当价格 增加1%时，需求量将减少 ； ；同理对于有类似的经济解释. 五、偏弹性五、偏弹性-表示为关于相关价格的交叉价格偏弹性. 其经济解释为：当价格 增加1%时，需求量将减少0012E通常是递减函数通常是递减函数 通常需求量 受到多