量子力学期末考试知识点+计算题证明题

1、1 .你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。（简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之 间的量广跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr的量r理论虽然能成功的说明氢原/光谱的规律 性，但对于复杂原光谱，甚至对于氮原广光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困 难是人们尚未认识到电广的自旋问题），时于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理 论中虽然借助于对应原理得到了 些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法：其次， Bohr理论只能处理简单的

2、周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论 体系上来看，Bohr理论提出的原f能量不连续概念和角动量量夕化条件等，与经典力学不相容 的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。2 .什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当定频率的光照射到金属上时，有大量电r从金属表面逸出的现象称为光电效应：光电效应的规律：a.对于定的金属材料做成的电极，有个确定的临界频率外,当照射光频率时，无论光的强度有多大，不会观测到光电r从电极上逸出：b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关：C.当入射光频率/时，不管光多微弱，只要光照，几乎立刻

3、比io-'观测到光电小 爱因斯坦认为：（1）电磁波能量被集中在光r身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、次性地吸收光广能量，所以对应弛豫时间应很 短，是瞬间完成的。（2）所有同频率光具有相同能量，光强则对应于光r的数目，光强越大，光子数目越 多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3）光千能量与其频率成正比，频率越 高，时应光广能量越大，所以光电效应也容易发生，光能量小于逸出功时，则无法激发光电 子。3 .简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答：对于般情况，如果也和y2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加:（q, q是复数）也是这个体系的个可能状态。这

4、就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒处于态心和k的线性叠加态-时，粒是既处于态心,又处于态匕。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统-o量J'力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的 不确定性。4 .什么是定态？定态有什么性质？答：体系处于某个波函数少任，/） = exp凶/句所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化：（2） 任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能 测量值的概率分布也不随时间变化。5 .简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在

5、个波函数上得出另个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微 观粒广的力学量。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学 量的算符F由经典衣示式F（f,p）中将D换为算符P而得出的，即：户=穴巨力=F（r,-i/V）o量子力学中的一个基本假定：如果算符/表示力学量F,那么 当体系处于户的本征态。时，力学量F有确定值，这个值就是户在。中的本征值。6 .经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒r某力学量的几率 分布：（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另状态，而微观粒广 在空间出现的

6、几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大倍不影响粒广 在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；7 .能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。答：不一定，如果由, -2对应的能量本征值相等，则=0% +。2-2还是能量的本征态，否则，如果i，y2对应的能量本征值不相等，则,=%矽+。2%2不是能量的本征 态8 .什么地表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同龙象之间的变换是种幺正变换。 在不同衣象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。9 .简述量子力学的五个

7、基本假设.答：（1）微观体系的状态被个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函 数股应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符及示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典农示中的将动量）换为算符一访得出。及示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数勿用算符户的本征函数展开（户外=4必”，户仍=/必）：% =则在态中m测量力学量f得到结果为4的几率为得到结果在范围内的几率是卜小：（4）体系的状态波函数满足薛定谤方程：法丝=方犷，方是体系的哈密顿算符。（5）在全同 Ot粒/组成的体系中，两全同粒f相互调换不

8、改变体系的状态（全同性原理）。10 .波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒广定在空间出现，所 以在整个空间中发现粒广是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒广在整个 空间中出现的概率即|必2对.整个空间的积分应该等于1.即JM（x,y,z,味4=1式中积分表 示对整个空间积分。这个条件我们称为归化条件。满足归化条件的波函数称为归化波函 数0波函数一旦归化，归化常数将不随时间变化。11 .量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象?答：所谓量广化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。般来说，这不是

9、量子力学的特有 效应.经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚 态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量广化并不对应能量量r化。有时量广化 用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应°12 .什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？答：含有算符F的方程F（pin = Fm（pm称为F的本质方程，Fm为门的个本质值。而（pm则为 户的属于本征值外的本征函数。如果算符多代表个力学量，上述概念的物理意义如下：当 体系处于门的本征态9m时，测量F的数值时确定的，恒等于"”。当体系处于任意态时，单次 测量F的值必等于

10、它的本征值之。13 .算符运算与一般代数运算有什么异同之处?答：（1）相同点：都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）不同点：a.算符乘积 般不满足代数乘法运算的交换律，即户6工6户；b.算符乘积定义=运算次序由后至前，不能随意变换。14 .什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？QU答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定一=0,则体系可以处 dt于定态。当粒广被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做 束缚态。束缚态是离散的。例如维谐振广就属于束缚定态，具有量r化能级。但束缚态不 定是定态。例如限制在维箱/中的粒/，

11、最股的可能态是以系列分立的定态叠加而成的 波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然股情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非 束缚态。15 . （1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3） 归一化波函数是否可以含有任意相因子（6是实常数）？（4）已知F为一个算符，当F满 足如下的两式时，a. E+ = E,b.尸”=/+，问何为厄米算符，何为幺正算符？（5）证明厄 米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因为在量子力学中，粒:具有波粒二象

12、性，粒子的坐标和动量不可能同时具有 确定值。（2）不改变：根据Born对波函数的统计解释，描写体系呈广状态的波函数是概率 波，由于粒子必定要在空间中的某点出现，所以粒广在空间各点出现的概率总和等于1,因 而粒广在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为=i,如果m对整个空间积分等于1,则卜1"，对整个空间积分也等于1.即用任意相因 f ei3 （6是实常数）去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归化。 （4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算符；（5）证明：以4表示F的本 征值，”衣示所属的本征函数，则户犷=/犷因为F是厄密算

13、符，于是有2fy/y/dx = y/y/dx.由此可得之=下，即%为实数。16 .薛定谭方程应该满足哪些条件？答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果必 和匕都是方程的姐，那么心和匕的线性叠加 =C附+C2%也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果和*2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加:W = CW+C" （q，C2是复数）也是这个体系的个可能状态：（3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、 能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒广的部分状态所满足，而不能被各 种的状态所满足。17 .量子力学中的力学量用什么算

14、符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形 式？答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示 力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实 数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。18 .简述力学量算符的性质？答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本 征态彼此正交。即小（3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成完备 集，即材3=工%3。II19 .在什么情况下两个算符相互对易？答：如果两个算符/和c有组共同本征函数外，而且外组成完全系，则算符户和e对 易。2

15、0 .请写出测不准关系？答：设算符/和e的对易关系为：户，。=it,则测不准关系式为： （AF）'.（AG）'> ,如果万不为零，则尸和6的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大 于一正数。21 .量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学 的守恒量定义有什么不同，并举例说明？答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量：量/体 系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变：量广力学中的守恒量与经 典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a,量广体系的守恒量并不-定 取确定值，及

16、体系的状态并不定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒f,动量是守恒 量，但自由粒广的状态并不定是动量的本征态（平而波），在般情况下是,个波包：b.量 广体系的各守恒量并不定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒/，/的三个分量都守 恒，但由于（不对易，股说来它们并不能同时取确定值（角动量/=0的态除外）。22 .定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：%式中蜷黄£黑。£ 一 £ m 23 .什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在 外界

17、（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。24 .什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量广数和磁量 数的选择定则是：A/ = ±1; A/h = 0,± 1 o25 .谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？答：乌伦贝克和高斯密特提出了电广自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电广具有自旋角动量A 1s ,它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：s.=&#

18、177;-力：b,每个电广具有自旋磁矩 .2它和它的自旋角动量S的关系式是：后s=彳号，式中e是电子的电荷，是电G的质量。农明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K射出的处于S态的氢原f束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢*F -也配丝cosG 一原具有磁矩，设9沿Z方向：U =-应B = -MBcos3. =-而=法侬如初在空间可 取任何方向，-应连续变化，照片上应是连续带，但实验结果只有两条，说明应是空间量子化的，只有两个取向cos9 = ±l,对s态，二°,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有

19、磁矩，即自旋磁矩。自旋的特点：（D电r具有自旋角动量这特点纯粹是量J'特性，它不可能用经典力学来解 释。它是电广的本身的内禀属性，标志/电子还有个新自由度。（2）电:自旋与其它力学量 的根本区别为，般力学量可衣示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电坐标和动量无关， h不能表示为 iP ,它是电广内部状态的表征，是个新的自由度。（3）电:自旋值是5,而不是为的整数倍。（4）当 匕 而 了一而两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角八 八，、动量的共性，即满足同样的对易关系：S"S =筋。 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也

20、就是说，当力-0时，自旋效应消失。它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影 只取±力/2两个值。26 .什么是斯塔克效应？答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为Stark效应。27 .什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多 少？答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光 谱的精细结构：当n和1给定后，j可以取/ = /±/，（/ = 0除外），即具有相同的量子数 n, 1的能级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级

21、的简 并度为（2j+l）28 .什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在 外磁场中分裂为几条？答：把原子（光源）置于强磁场中，原广发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常 的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原广光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对 简单塞曼效应，没有外磁场时的条谱线在外磁场中分裂为三条。29 .什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒相互代换不引起物理状态的改变。 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利 不相容原理：不能有两个或两个以上的焚

22、米子处于同状态.30 .写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。八答：泡利矩阵：j =1116人方易关系为：ax（r = 2ia：自旋算符S= - 1%=S£S、e 即:= 2i4ri<0031 .请写出两个电子体系的波函数。答：按空间态和自旋态组合可有四种反对称态:.空间态对称自旋态反对称,空间态反对称自旋态对称,2 % 伍 K 伉)+% 伍圾(n )川 Zi (1 % - Zi(2)z_i (1)L 2222ZiO)Zi(2)W 外缶W (马)一外伍W C Z-i (1 )人 727 T22。)忆+2如L 2222其中方

23、例G）=纥例（弓）：用外（弓）=纥%伍）。32 .请简述微扰论的基本思想.答：将复杂的体系的哈密顿量宜分成白。与两部分。声3是可求出精确解的，而,可 行成育。的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得 到接近问题真实的近似解。确定后时，先确定走°,再用育二方一自。确定立33 .什么是玻色子和费米子？答：由电九 质上 中子这些自旋为5的粒子以及自旋为5的奇数倍的粒广组成的全同粒; 体系的波函数是反对称的，这类粒打假从费米（Fermi）-狄拉克（Dirac）统计，称为费米子，由光广（自旋为1）以及其它自旋为零，或光整数倍的粒广所组成的全同粒子体系的波函数是

24、对称的，这类粒子服从玻色（Bose）爱因斯坦统计，称为玻色子。34 .什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。答：粒子在其能量E小于势垒高度U。时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道效应的应用：1.扫描隧道显微镜（STM）是电J'隧道效应的重要应用之 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学和 生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。2.隧道二极管是种利 用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之-o由于隧道效应而使其伏安特性曲线 出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。隧道二级管

25、是低频放大器、低频噪声 振荡器和超高速开关电路中的重要器件。35 .厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有哪些性质？答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符；b.当且仅当两厄米算符A和 B对易时，它们之积才为厄米算符。因为（4启）="不=而。只有在4,可=0 时，BA = AB,才有，启）=久后，即人后仍为厄米算符；C.无论厄米算符3、方是否对易，算符1 2八人人人1/A人人人、因为A6 + A4）及五（AB 84）必为厄米算符-(AB-BA =-1+1 彳方=b = L(ab-ba2iv， 2i 2i 2iv7 2/vd.任何算符总可分解为6

26、= 6_ +底。令d = -（d+o. 6. =，伍一61,则4和6_ 2/2/均为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：厄米算符的平均值是实数；在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符：厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合 后使它正交归化：厄米算符的本征函数系具有完备性：厄米算符的本征函数系具有封闭 型。36 .简单讨论一下相对论情形和非相对论情形下的德布洛意关系式。2答：对于非相对论情形：£k =, P =;2%相对论情形：E1 = p2c2 +nvc4

27、 ；所以当4 «c时，即得到非相对论情形下的公式:由于能量只有相对变化AE才有意义（即能量的绝对值在物理上是没有意义的，它依赖于“零能量值”的选取），/q = AE = £2 - 4可将常数项6抵消，此时相对论形式的关系退化为非相对论情形：u = ?, 4就是非相对论粒毛的动能.德布洛意频率本身不是个可观测 h量，因此只有镌布洛意波长具有物理意义。37 .为什么物侦的波动性在宏观尺度不显现？答：由于九= /?/，原因是普朗克常数太小（/? = 6.6*10-乂，5）,而宏观尺度的运动动量太大，导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为 =J而后，要减小宏观尺度运动的动量

28、，必须减小动能E,但从物理上考虑E不可能减小到比热运动能量钻7更小，所以必须减 小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大的 物质波波长从而引起可以观察到的物理效应。38 .相对论粒子德布洛意波对应的相速度，群速度分别是多少？（相速度匕,=2 =，代表相at kdco位传播的速度0波包是指波动在有限空间中分布.群速度,二/对应波包运动的速度）辞由德布洛意关系台痔工所以：波小于E me2 mnc22 加u = =.。，所以3=“，h h /zl-（v/c）2一CD iTCin.AT 力C2则相速度：=- = O2万目又因为:dco 所以，群速度：匕,= dk

29、k 禅-（机）22加（产 V八即在相对论情形下粒广运动速度也对应于波包的群速度。39 .自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少？答：力G=竺1_,。="-,则群速度：V = = （对应的才是粒用运动的速度）。2m 2mdk m而相速度：v = =（不是粒子运动速度）.k 2m40 .什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系?答：希尔伯特空间是定义在复数域上的个有限维或无限维的完备矢量空间。波函数时应于希 尔伯特空间中的态矢。41 .试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验揭示了粒子的波动性质？答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量分立、光场量广化的概念，从

30、实验上揭 示了光的粒f性质。电杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实 验从实验上揭示了微粒的波动性质。16、证明角动量算符乙、£v、工满足如下对易关系乙,£=戒八也,£/=痴x、L,Lx = ihLy.<i>角动昆麻符的表达式向动量w符的定义为x(-济刃它的三个分量为 2,=应-3，=一伏号-二z”-以一, %力(才Z =勿一应=7M在鬓子力学中,我们经常要用到用动殳平方算符.其定义为它在H向坐标系中的表达式为,蜷7守+唱-吟力由于这个友达式中含有关于坐标xj:二的偏导数的交叉项,因此在求解本征值方程时.法用分滴变量法.为此,我们

31、引入球坐标系卜.的表达式,它在许多情形卜是比较方便的，球坐标和葛珀坐标的关系】丁=/sin 0cos0= /-sin 6sin ° ,<二=rcosdr2 =+ cos0 = r/r tan 巾=y! x(2) dt,3则一 »sin 0cos0=sin 6sin(dxdj- cos0dzdear一 cos6cos0de i=cossin(/>dy r更一Lsme dz rdtp1 sin (p r sm 6” _ 1 cos力 / 5m 6弛=。dzhi” d dr d所以。仃一=dr dxdrdx d0 dx %八 ，。1-。sin 0 d=sm 6cos(

32、p+ -COS0COS0* 7-d0 /-sin 6 d(p色二包变上+曳士 = sm asm乒+ Los. df9 dydf 6。d6 5, d(pdr ra型叱士dd / sin 6 d42=2金+ 空 2+竺 £=皿62_%62 de dz dr dz d6 dz d(p dr r d6代回到表达式中,有2f = -/力八111 6sin 0cos6- /*sin2 6sin " rcossin 6sin 0- drr d6dr八 a >> cos6 d-rcos 6sin <p- rcos6/, d6 /-sin 6 哪=/力(sm(P+ cot6

33、cos d6；/ 八 八 八。 j 1 J dsin 0 dL =-/力。cos6sin Seos4+ rcos 6-cos(brcosddr r d6 rsm 6 d(pd1一 rsin 6cos(Pcqs6+rsin 0cos0-sindrr=-/ft(cos- cotsind6dIdL. - -z/(/3in26cos(/>sin + /-sin 0cos-cosdsm (p+*rd0八 ，cos0 d1八, 八d八 ，1 八+ /-sin 6cos0 zsrn 6sm 0cos0-rsin 6sin 0cos6cos(/>rsin 6 d(p力，d6+ 4黑箭一脸由此得 2

34、?=-一-2(sin 0)+ 1-岂TP,<sin 6 &636 sin 1 6 0(2)角动量算符的本征值方程我们先看£的本征俏方程-而23(0)= 邮解之得卜二4(=乙力H这里O是积分总数,也是归化常锐,利用波函数的中值性，行吸M 以少+ 2%)=>冲 G L；，1力所以丝=2加”方"、证明在与。的共同本征态九=1加> 中，算符L、工的平均值为0。推论2：厄米算符平方的平均值大于等于零V：和口7),若Q = d,即一二不贝lj *=Ji/A)2y/d3r =)d3rcoon十8十8f 八 人* " 2AG '=Aii/A /

35、d r = Ai/V J r > 0JOOOQ37、求一维谐振子处于基态有第一激发态时的能量、坐标几率分布和粒子的最可 儿位置。解：第一激发态波函数为：=1 ， 一一a广 2axe 2概率密度:%(x)=| %(刈=4a ' a'*' =xe a 14n=竺2入-2疝/产, ch “令 =0,得 x=O x = ±- dra由陷。)的表达式可知，4 = o,a=±s时，叫a)=o。显然不是最大几率的位置。可见光=是所求儿率最大的位置。38、求自由粒子的概率流密度并解释结果的意义。EE先看弘(X。= w(a) exp(zx - ff) + v(

36、j) exp(-zx) exp(-/ t) h力£=|w(a)exp(n:)+ v(.v) exp(- ly) exp(- it)由此可见，其能显值为固定值E，故此状态为定态。 £ £对丁人(Yj) = (x)exp(_i，f) + (x)exp(T_R)，显然有两个可能的能最值g和E . -nti-所以不是定态。X4 J y/3UJ) = M(x)exp(-/0 + w(x)exp(/),显然能审有个展取伯七和一七 方 力可以验证概率密度及概率流密度是否随时间变化。4、设一维势垒宽度为。，试由不确定性原理 计算粒子的动能的不确定大小。为了更为清晰地认识感道效应在

37、各种势 垒中的隧穿行为，我将从薛定洋方程出发，进 一步讨论此类问题。2 一维矩形势垒中粒子的隧道效应对于一维矩形势垒，其势场函数可以表示 为，如图1所示。具有一定能量E的粒子白(x<O?x>a)其中 /I：=新加。(0<x<a)其中，=悌(石口)方形势垒左方(1区)向右运动.粒子波函数所演足的葬定语方程是2.1 当E>时j在XVO的区域内，波度数 必=4*” +40-叼1在Ox<a的区域内,波函数必=CeS+D”“(1)在x>a的区域内，波函数 必=4/、4易看出此三个波国数右边第一项表示右行波，第二项是左行波，由于在x>a的区域内，无左行波，则为=0.利用波函数的连族性可得：在 x=o 处：4+4=c+d214 艮=k2 c一心 D（2）在x=a处；C产，+D皆，=4e”k2 C e'S k： D e* = k. A2 4（3）簿上式可存：4 %-* i5 （无+感）-应-不）'产。2电；-后）sill*B' =.,（才：_卜2）'/”一（,+0）-1 则透射系数为：Q = =这（4）14的 sin - ak2 十 %超反射系数为Im 画-后