名师指点解题技巧二面角的计算方法选讲

1、名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法，供同学们学习参考。、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有:定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；三垂线法：如图1，C是二面角：- AB - -的面一：内的一个点，CO _平面：于0,只需作 0D丄AB于D，连接CD，用三垂线定理可证明/ CDO就是 所求二面角的平面角。，使 垂直于二面角的棱，则垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面与二面角的两个面

2、的交线所成的角就是该二面角的平面角。例1如图2,在四棱锥 V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形平面VAD丄底面ABCD .(1) 证明AB丄平面VAD ;(2) 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.解：(1)证明：平面V A D_平面 ABCD二 A B_平面 VA D IABCDAB_ A DA B 二平面 ABCD AD二平面VAD平面(2)解：取 VD的中点E，连结AF , BE , VAD是正三形，四边形 ABCD为正方形,由勾股定理可知，BD = AB2 AD2 二 AB2 VA2 二VB, AE 丄 VD , BE 丄 VD ,/ AEB就是所求二面角的

3、平面角又在 Rt ABE 中，/ BAE=90 , AE= AD= AB2 2AE 3即得所求二面角的大小为arctan2.3例2 如图3, AB丄平面 BCD , DC丄CB, AD与平面BCD 成 30。的角，且 AB=BC.(1)求AD与平面ABC所成的角的大小;(2)求二面角 C-AD-B的大小;（3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。解：（1） T AB丄平面BCD ,/ ADB 就是 AD与平面 BCD所成的角，即/ ADB=30 °且 CD丄AB ,又/ DC 丄 BC, ABDBCuB, CD丄平面ABC , AD与平面ABC所成的角为/ DAC ,设 AB=BC

4、=a,贝U AC=2a , BD=acot30 °= 3a ,AD=2a, CD =t' BD2 - BC2 二 2a, tan/ DAC= AC = 2a . DAC =45°,Cd 2a即，AD与平面ABC所成的角为45°.作CE丄BD于E,取AD的中点F,连CF,/ AB 丄面 BCD , AB 二面ABD ,面ABD丄面BCD ,又面 ABDi 面 BCD=BD , CE 面 BCD,CE 丄 BD , CE 丄面 ABD ,又 AC=BC= 2a , AF=FD , AD 丄 EF ,有三垂线定理的逆定理可知，/ cfe就是所求二面角的平面角.计

5、算可知,CE =BC CD =_!a , AD 二.AC2 CD2 =2a, CF =1 AD = a ,BDCEsin ZCFE =CF/Z CFE=arcsin故，所求的二面角为品 arcs in 3略例3如图4, P是边长为1的正六边形 ABCDEF所在平 面外一点，PAT, P在平面ABC内的射影为BF的中点O.(1) 证明PA丄BF ；(2) 求面APB与面DPB所成二面角的大小。解：(1)在正六边形ABCDEF中，厶ABF为等腰三角 形， P在平面ABC内的射影为 0, P0丄平面ABF , A0为PA在平面ABF内的射影；又 0为BF中点， ABF为等腰三角形，A0 丄 BF ,

6、有三垂线定理可知,PA丄BF.(2)v 0为BF中点，ABCDEF是正六边形 ， A、0、D共线，且直线 AD丄BF,/ P0丄平面 ABF, BF 二面ABF,由三垂线定理可知，AD丄PB,过0在平面PBF内作 0H丄PB于H,连AH、DH ,贝U PB丄平面 AHD,所以乙AHD为 所求二面角平面角。又正六边形 ABCDEF的边长为1,/ A0DO2在 :AH0 中，0HA0OH 一 217,221 ,在:dho 中，斷®0=0°3-_2 21从而，tan . AHD =tan(. AHO . DHO )=17'212212_7. 21 x 2 21 21621

7、9故，所求的二面角为丄16阿二-arcta n、面积射影法:如图5,二面角:.J -为锐二面角, ABC在半平面:内， ABC在平面内的射影A1B1C1，那么面角一 :的大小二应满足cost - S出BCffls例4如图6,矩形ABCD中,AB=6,BC= 2 3,沿对角线BD将 ABC折起，使点A移至点P且P在平面BCD内的射影为 O,且O在DC上.(1) 求证:PD丄PC;(2) 求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；(3) 求CD与平面PBD所成的角的正弦值.解：(1)证明：T PC在面BCD内的射影为 OC,且OC丄BC ,由三垂线定理可知，BC丄PC,又T PB=6, BC= 2 3

8、 , PC= 2. 6,而 PD= 2.3 , DC= 62 2 2二 PD PC =36=DC 2，二 PD丄PC.1 (2) PBD 在面 BCD 内的射影为 OBD，且 S ?BD6 2、,3=6、.3S OBD =S.pBD 'S.BOC-=6' 32.3 OC .2设 OC=x,则 0D=6-x ,-BD-DO2= BC2 -CO2,2 2二 24 -x =12 - 6 -x，二 x = 4.S bod = 6 3 - 4、； 32、3,设二面角P-DB-C的大小为V，则COST2 J3 _ 16”31故，所求二面角为 arccos-.31、空间向量法：I、先用传统方

9、法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。例5如图7,直二面角D-AB-E中，四边形 ABCD是边长为2的正方形，AE = EB ,F为CE上的点，且BF丄平面ACE .(1) 求证：AE丄平面BCE;(2) 求二面角B-AC-E的大小；(3) 求点D到平面ACE的距离。解：(1 )二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CB丄AB , CB丄平面EAB，进而可得，CB丄AE ,又 BF丄平面 ACE , AE丄BF,而 BC 平面 BCE, BF 平面 BCE,且 BCP!bF=F, AE 丄平面 BCE.(2)连结BD交AC于点0,连结OF，由于ABCD为正方形，所以 0B丄AC

10、 ,又因为BF丄平面ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OF丄AC,/ BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作Ax丄AB,以A为原点，分别以 Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立 如图7的空间直角坐标系，易知 AEB为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), 0 ( 0, 1 , 1),B(0, 2, 0),C(0,2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),设 F ( m, n, t ), / C、E、F 三点共线，CF= .；,CE,即卩 j m, n-2, t-2 - 1, -1,-2 ,2 - ,2-2 ），入 0,2,2 = o,3故点F的坐标为I,/-,13 8

11、3 丿Ogycos. BOF 启 OBOBm=，n= 2-，t=22，即点F坐标为（,齐 7=0,即 U 2-2故，所求的二面角为arccos上33口、2的夹角，再根据法II、直接求出平面：和的法向量;、旦，利用向量的夹角公式求T I向量口、2分别相对于二面角：的方向确定出二面角： _1 一 -的大小。一般地，当法向T I量口、2都是从二面角-1 - -的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角-1 - -的大TTTT个从二面角一 :的外部向内部穿行时，二面角小就是口、2的夹角的补角；当法向量 “论一个从二面角:-I- :的内部向外部穿行，另一 :-I -的大小就是口、2的夹角。-A1B1C1

12、D1 中，E, P 分别是 BCAA 的=a, AB = 2 a例6 （2006年四川卷）如图8，在长方体abcd 中点，M,N分别是AE,CD1的中点，AD二AA1（I）求证：MN/ 面 ADD 1 A,;（n）求二面角 P AE - D的大小。（川）求三棱锥 P - DEN 的体积。解：以D为原点，DA , DC , DD 1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系,则A a,0,0 ,B a,2a,0 ,C 0,2a,0 , A a,0, a , D! 0,0, a E,P,M,N 分别是 BCAD. AECD.的中点3a14,a,0 , N 0, a,a 丿I 2丿- E a,2

13、a,0 , P a,0, a , M i2 2(1)mn"*工 a,0,?.42取n二0,1,0，显然又 MN-4而 MN 二面 ADD*(2)显然,的一个法向量,n - 面 ADD1A MN - MN / 面 ADDiAm1 h0,0,1是平面 abcd的一个法向量；设=：x, y, z是平面pae则 T AE = O且二AP 巾而 AP a ,TE a,2a,0 .I 2 丿 I 2 丿a-a X 2ay =0.2x az 二 0,可取莓2丄1,I 2丿cos mi ,m2、刃21又法向量m二0,0,1是从二面角P - AE - D的外部向内部穿行的，法向量m2= 12, ,1 I是从二面角P - AE - D的内部向外部穿行的242故，所求二面角为 arccos.21(3)设 rd =X1,y1,Z1 为平面 DEN 的法向量，贝UDE,n1 _ DNa a又 DE ,2a,0 , DN =0,a,12丿 I &#