高数练习题及答案

1、(1)(2)(3)(5)高等数学（下）模拟试卷填空题（每空3分，共15分）z函数已知函数交换积分次序,arctan -y的定义域为zx,则 x 2 2y0 dy y2 f(x, y)dx已知L是连接（0,1） ,（1,0）两点的直线段，则L（x y）ds已知微分方程y 2y 3y 0,则其通解为、选择题（每空3分，共15分）(1)A.设直线L为2xL平行于3y 2z 1 0y 10z 3 0,平面B. L在上为4x 2y z 2 0,则(C. L垂直于D. L与）斜交(2)设是由方程xyz收y2z2J2确定，则在点（1,0, D处的dzA dx dyB dx >/2dyC V2dx 侦d

2、y,222、（3）已知 是由曲面4z 25（x y ）及平面z 5所围成的闭区域，将D.dx(x2)/2dy)dv在柱面坐标系下化成三次积分为（A.2d022 35r dr dzC.02 3 .r dr00B. 0r3dr5dz0D.2r2dr5dz0(4)a已知骞级数55 dz2r,则其收敛半径 可（A.（5）微分方程yB. 1xC-X3y 2y 3x 2e的特解1C. 2D.得分阅卷人求过直线2、3、A.y的形式为yB (ax b)xexC.(ax b)xceD (ax b) cxex计算题（每题8分，共48分）x 2且平行于直线L2 ：2zz1的平面方程22 、已知 z f(xy ,x

3、y),设 D (x, y)x4,利用极坐标求x2dxdyD2x,24、求函数f(x，y) e (x y 2y)的极值x t sint5、计算曲线积分L(2xy 3sinx)dx (x2寸网，其中l为摆线y 1 cost从点O(0,0»UA( ,2)的一段弧xv6、求微分方程xy y xe满足yx 11的特解四.解答题(共22分)2 .2y与上x 2xzdydz yzdzdx z dxdy1、利用高斯公式计算，其中 由圆锥面z Vx半球面z 2 x22y所围成的立体表面的外侧(10)(2、(1)判别级数n 11)n 1 3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)在 x(1

4、，求哥级数n n1 的和函数(6)高等数学(下)模拟试卷二.填空题(每空3分，共15分)(1)(2)z函数已知函数4x ln(1 x xy z e2y_22、:y)的定义域为,则在(2,1) 处的全微分dz(3)交换积分次序,edx1In xf(x, y)dy)已知L是抛物线，2x上点O(0,0)与点B(1,1)之间的段弧，则Lyds .(5)已知微分方程y 2y0,则其通解为.选择题(每空3分，共15分)(1)设直线A.(2)A.(3)设zyz2xy zB.3zf(x, y)是由方程微分方程y00，平面z3 3xyzyz2b. z xy为x y z 1 0,则L与的夹角为(C. 3D.);3

5、a确定，则 xxz2c. xy zD.xy2z xy2x5 y 6 y xe的特解y的形式为y)；2xA. (ax b)e2xB (ax b)xeC (ax b) ce2x(4)已知是由球面三次积分为(2a所围成的闭区域，将D (ax b) cxe2xdv在球面坐标系下化成2 sin0r2drB. 002dardrC. 0rdrD.sina 2 Ir dr0(5)已知哥级数2n 11 2n,则其收敛半径I冈I (1A. 2B.C. 2D. -2得分阅卷人.计算题(每题8分，共48分)5、求过 A(0,2,4)且与两平面1: x2z1 和 2: y 3z2平行的直线方程6、已知 z f(sin

6、xcosy,ex y),求7、设D (x,y)y2 1,0 y得分8、x,利用极坐标计算求函数f (x，y)arctan dxdyxL为沿上半圆周9、(x利用格林公式计算a)x2 5y2 6x 10yJexsiny 2y)dx6的极值.(excosy 2网，其中,“一ry6、求修分方程(x 1)2a , y32的通解0、从 A(2a,0)到 0(0,0)的弧段.四.解答题(共22分)1、(1) ( 6)判别级数 敛；n 1on (1) 2 sin n 13的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收(2) ( 4 )在区间(1,1)内求哥级数n1 n的和函数.2、(12 )利2z x2xdydz

7、 ydzdx zdxdy填空题用(Wjy2(0斯公式计算z 1)的下侧高等数学(下)模拟试卷三(每空3分，共15分)为抛物面1、函数y arcsin(x 3)的定义域为lim2、n(n 2)23n23n 2 =3、已知y4、定积分2ln(1 X),在x 1处的微分dy120062、1 (x sin x x )dxdy5、求由方程.57 cy 2y X 3x0所确定的隐函数的导数 dx.选择题(每空3分，共15分)1、X(A)(C)2是函数2XX2 ：可去无穷1 x dx13x 2的间断点(B)而(D)振荡2、积分(A)(C) 03、函数0 1(B)(D) 1Xy eX2(A)单调增加;1在(，

8、0内的单调性是 (B)单调减少；(C)单调增加且单调减少;(D)可能增加；可能减少。4、1sintdtX 的一阶导数为(A) sinx(B)sinx(C)cosxr5、向量a(A) 3(D)rcosx三.计算题(1、求极限2、求极限3、已知y 四.计算题(1、已知V2、计算积分1, 1,k与 b(B) -13小题，每题X 3、x lim(-；)X 2x 1limX 0ln2， 2, 1相互垂直则k(Q 4(D) 26分，共18分)x sin x3XXcosedy ,求dx4小题，每题6分，共2d 2y1 t ,求 dx22x cos xdx24分)x的定义域为3、计算积分1arctanxdxo

9、4、计算积分012x2dx五.解答题（3小题，共28分）1、（8 ）求函数 y 3x 4x1的凹凸区间及拐点。f（x）2、（8）设3、（ 1）求由y1xx-71 e22x及y20 Mxx所围图形的面积;1)dx(6)（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。（6）高等数学（下）模拟试卷四填空题（每空3分，共15分）, y1、函数,1 x22、0 e xdx,a 03、已知y sin(2x D，在x0.5处的微分dy1 sin x , 2 dx4、定积分 11 X =.5、函数y 3x4 4x31的凸区间是选择题(每空3分，共15分)X2 11、X 1是函数y X 1的 间断点(A)可去(B)跳

10、跃IX ax t mo Hx(C)无穷(D)振荡什 a 0, f (0) 0, f (0) 2(A)1(B) a(C)-1(D) a3、在0, 2 内函数y x s1nx是。(A)单调增加；(B)单调减少；(C)单调增加且单调减少；(D)可能增加；可能减少。rrr r4、已知向量a4， 3,4与向量b2, 2,1则2 b为(A) 6(B) -6(0 1(D) -35、已知函数f(x)可导，且f(x0) 为极值,dyf (x)y e ，则 dxx x)(A) 三.计算题(f (Xo)e(B) f (Xo)(C) 0(D) f (x0)1、求极限3小题，每题6分，共18分)1 klim(1- kx

11、)x2、lim求极限x 01.2 ,sin t 出cosx2x sin x3、四.已知y 计算题e(每题x,求dx6分，共24分)1、dyxy0所确定的隐函数y f(x)的导数dx2、计算积分3、计算积分arcsin xdxsin3 x sin5 xdxo4、计算积分dx, a 3a2 x2五.解答题（3小题，共28分）3atrr3at2,c、y 21、2、3、（8）已知 1 t ,求在t 2处的切线方程和法线方程。 1ln a ln b 1（8 ）求证当a b 0时，a a bb3（1）求由y义及' 0,x 2所围图形的面积；（6） （2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。（6 ）

12、高等数学（下）模拟试卷五一. 填学题叫也3分，共21分）1 .函数y的定义域为。222 .已知函数z ex y ,贝u dz 。z3 ,已知 z exy,则 x（1,0） 。2 2 2d4 .设L为x y 1上点1，0至ij 1，0的上半弧段，则Le In xldx f（x, y）dy5 .交换积分顺序10'力（1）n6 .级数n 1 n 是绝对收敛还是条件收敛？ 7 .微分方程y sin x的通解为.选择题（每空3分，共15分）1 .函数z f x，y在点x0, y0的全微分存在是f x，y在该点连续的（）条件。A.充分非必要B .必要非充分C .充分必要 D .既非充分，也非必要2

13、 .平面1:x 2y z 10与2：2x y z 20的夹角为（）。A. 6 B , 4 C.2 D , 3 (x 5)n3 .哥级数n 1 n 的收敛域为()。A.4,6 B . 4,6 c . 4,6 d , 4,6yi(x)4.设 y1（x）,y2（x）是微分方程 y p（x）yq（x）y 0的两特解且y2（x）常数，则下）是其通解（c1，c2为任意常数）A.C.yCiYi (x) y2 (x)yVi (x)y2 (x)yi(x) c2 y2(x)g yi(x)C2 y2(x)5.zzdv在直角坐标系下化为三次积分为）,其中为 x 3, x 0, y 3, y 0 ,D.A.30,z0d

14、x333所围的闭区域。3dy 0zdz03dx 0 dy3zdz03dx03dy 0 zdz° dx ° dy 3 zdz.计算下列各题（共21分，每题7分）1、已知 1n z ezxy 02、求过点（1,0,2）且平行直线的直线方程。3、（x利用极坐标计算 D一象限的区域。y2)d22,其中d为由x y 4y 0及y x所围的在第四.求解下列各题（共20分,第1题8分,第2题12分）1、利用格林公式计算曲线积分(y2 ex)dx(2xy25x sin y)dy,其中L为圆域D :22x y 4的边界曲线，取逆时针方向。2、判别下列级数的敛散性：（1）n1 1n 1、n2

15、n1/五、求解下列各题1、求函数f(x, y)23分,第2y2 3x1、2题各8分， 第 3题7分）3y 1的极值。2、求方程dydxxe 心、, 满足y2的特解。3、求方程2yX8y 2e的通解。高等数学（下）模拟试卷六、填空题：（每题3分，共21分.）2,已知函数z ln( xy),则x 2,1 一一 22L2ds3.已知 z sin x y ,则 dz4 .设L为y x 1上点（1，°）到0，1的直线段，则11-xRR2 r222dx f（x y ）dy5 .将00化为极坐标系下的二重积分（1）n26 .级数n 1 n是绝对收敛还是条件收敛?7 .微分方程y 2x的通解为 、选

16、择题：（每题3分，共15分1 .函数z f x，y的偏导数在点 x0, yo连续是其全微分存在的（）条件。A.必要非充分，B .充分， C .充分必要， D .既非充分，也非必要,x y 2 z 2l :2 .直线 110与平面：x 2y z d dr000的夹角为（）。A. 6 B , 3 C3.哥级数n x Tn2 n 13n的收敛域为A. ( 3,3) B , 3,3C* .、4 .设y(x)是微分方程y2 D . 4)。.(3,3 D 3,3)p(x)yq(x)y f (x)的特解，y（x）是方程p(x)y q(x)y f(x)的通解。*,d . y (x) y(x)p(x)y q(x

17、)y0的通解，则下列 a. y(x) b . y(x)是方程y* , 、* ,、y (x) c . y (x)5.球体。A.C .z2dv在柱面坐标系下化为三次积分为2RR 2d rdr z dz0002222)，其中为x y z R的上半2R r 2d rdr z dz0002RJr2 r2 2d rdr z dz0005的平面方程。y 0及x 1所围的闭区域。三、计算下列各题（共18分，每题6分）1、已知 z3 3xyz 5,求 x，y2、求过点（1,0,2）且平行于平面2x y 3z（x2 y2）dxdy3、计算D,其中d为y x、四、求解下列各题(共25分，第1题7分，第2题8分，第3

18、题10分) / 2/I (x y)dx (x Siny)dy2,0 0、1、计算曲线积分L,其中L为圆周V V2x x上点(0，0)到(1，。的一段弧。Axdydz ydzdx zdxdy是由2、利用高斯公式计算曲面积分：，其中22z 0,z 3,xy所围区域的整个表面的外侧。nF五、求解下列各题3、判别下列级数的敛散性：(2) 4n sin 市n 1321分，每题7分)-2132f(x,y) 3x 6x y 2y 11、求函数3的极值。dy x y e12、求方程dx满足y x 01的特解。3、求方程y 5y 6y (x 1)ex的通解。高等数学(下)模拟试卷七填空题(每空3分，共24分)1

19、z . 22.221 .二元函数 (x y川25 x y的定义域为 2 12 .一阶差分方程见1 3yt 5的通解为y3 . z x的全微分dz4 . 丫取xdy 0的通解为y zz arctan 一 5 .设x ,则x 6 .微分方程y dx 2.累次积分 0 y 5 y 0的通解为222dxdy7.若区域 D (X，y) |x y 4 ,则 d nn 0 2的和s=选择题：(每题3分，共15分)1. f x，y在点a，b处两个偏导数存在是(A)充分而非必要(C)充分必要f x，y在点(B)(D)a，b处连续的必要而非充分 既非充分也非必要条件、xf (x, y)dy0改变积分次序为(A)0

20、1dy ° f (x, y)dx(B)1lx0dy 0 f(x, y)dx1y20dy 0 f(x,y)dxI C)3,下列函数中， 是微分方程y 5y 6y（A） y （ax b）e3x23x（C）y x （ax b）e4.下列级数中，收敛的级数是 (D)xe110dy y2 f (x,y)dx3x的特解形式（a、(B)(D)(A)1(B)nn 1 2n 13)n, 2n(C)n 1 225.设x得分阅卷人(A) zx(ax3xaeb为常数)3xb)e(D)(1)n1 n4z，则 x(B)六x(C) z 2(D)三、求解下列各题（每题7分，共1.z u 2 ln v,而 u设x一

21、,vy3x 4y21分)z3n2.判断级数n 1 n2的收敛性3.计算四、区域计算下列各题1.， y求微分方程（每题10分，共40分）1 I.y ln xx的通解.2.3.I计算二重积分 求函数f （x, y）4.求哥级数n 1D3ynx2ndxdy2，其中D为x,2y 1所围x y dxdy，其中D是由直线y2x 6x 12 y 5的极值.x,x 1及x轴围成的平面区域.n4的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案、填空题：（每空3分，共15分）(x,y)|x y 0,x y 05、xy G e C 2e2、3x3、4dx0-'x1 f (x, y)dyx2二、选择题：（每空3分，

22、共15分） 三、计算题（每题8分，共48分）1.C2. D3.C4 A5. D1、解：A(1,2,3) si 1,0, 1 S2 2,1,12、3、4.解:y解:解:S1 S2平面方程为2令u xyi 3j3y z 2f1f1f22xy2xyx2dxdyDfx(x,y)fy(x, y)cos2 drdD e2x(2x e2x(2 y2y22)4y01)2 cos一2x2fxx(x, y) e (4x 4y8y4),Q A 2e 0, AC B24e22 3r dr0得驻点fxy(x,y) e极小值为Pf(i,"x(4y4),2xfyy(x,y) 2e1)5 解：P 2xy 3sin

23、x,曲线积分与路径无关积分路线选择：L1 : yey2xL(2xy3sin x)dx(x20,x 从 0 ey)dyL1L2 :,丫从0PdxQdy0 3sin xdxL220(Pdx Qdyey)dy,y6.解：1, Q x通解为P(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC.1dx x -dxx dxCxdx C1(x x1)exC代入y1(x x1)ex 1四、解答题02xzdydz2yzdzdx z dxdy(2z z 2z)dv zdv1、解:6方法一:原式=04 cos sin d方法二:原式=1rdr0zdz2、解:Un(1)令1)nlimnUn 1Un1)n 1n3n绝对收敛。(2)

24、s(x)nnxn 1 nxXS1（X）3r cosdrsin drd dlimnx0、(x)dxx nnxdxs(x)(1x)21,1)、填空题：(x, y)|10r(1n 13nS1(x)r2)dr3n 121(1 x)2高等数学（下）模拟试卷二参考答案（每空3分，共15分）24x,0 x2-2_ 2y 12、e dx 2e dy3、10dyeey-1(55 1)4、125、(C1 C2x)ex、选择题：（每空3分，共15分）1. A 2. B3.、计算题（每题8分，共48分）B 4.D5. A1、解：a（0,2,4）n11,0,2 n2 0,1, 32、解:sn1 n2直线方程为sinxc

25、os yf1z 41ex ycos xcos y f2 e1010收敛， 45f (x,y)dx8269zuz vu yv yf1 ( sin xsin y)f2 ex yD: 00 r 13、解：4,，y . ,arctan士 dxdy r drdDXD04 d1rdr064fx(x,y) 2x 6 04.解：fy(x,y) 10y 10 0 得驻点(3, 1)A fxx(x,y) 2, B fxy(x,y) 0, C fyy(x,y) 102Q A 2 0, AC B 20 0 极小值为 f(3, 1)8xx5 解：P e sin y 2y, Q e cosy 2P x八 Q xe cos

26、y 2,e cosy,有yx2B A(2a,0), 0A: y 0,x从0 2a4,Q P、，LPdx Qdy OAPdx Qdy D ( -)dxdy D 2dxdy原式=P6.解：通解为y四、解答题123(x 1) (x 1)2dx C (x 1)3(x 1)2 Ci- un 1 lim/ /、n 1 c n n uUn ( 1) 2 sin n1、解：(1)令32n 1 sinFGnlim3n2n sin 3nc n2 s1n3ns(x)收敛，n xn 1cn3n绝对收敛s(x)s(x)x0 s(x)dxs(0)ln(1 x)2、解：构造曲面 1 : z 1,上侧dxx 1 dx686C

27、84632xdydz ydzdx zdxdy2xdydzydzdx zdxdy(21 1)dv 4dv12401rdr012 dz10(1r2)rdr 242xdydz1ydzdxzdxdydxdyDxy高等数学（下）模拟试卷三参考答案.填空题：（每空3分，共15分）1.1X1且x 0 ； 2. a ； 3. 2dx ；选择题:计算题:（每空3分,共15分）0,-0,4.0 ; 5.3 或 31.A;2.D;3.A;4. A;5.C.2.3.四.1.3.4.1.lxm01012kxisin t2dtkkx曳e dx计算题:eyy2.原式原式原式cosx3- x1lnsin -1、 x .1si

28、n 一 xlim.2sin cos x)( sin x) 23x2xy 0xarcsin xxarcsin x1 cos-x2;x30 (sin x)23a d(3a2lnsin 11x cot一 x0,ydydxy eyx-1 dx2 xarcsin x ,1 x21 x2cos x dxx2) 302.3a2 x22、1=2d(1 xx2)_32 (sin x)2 d sin, 3a2 x23_ (sin x)2d sin x2'3a3a2 3a13 _45解答题4132.设 f (x)Inx, xb,a,a3. (1)-16a 12a5,y02 ,lnIn b3 . 2x dx，

29、切线：4x 3y 12a 01,法线：3x-4y+6a=01(a2 1b),b a - a2lna lnb 1 a b bVy(2)、2y3dy24y35y64 25.填空题：1. 2 x选择题:1.C ； 2.limxlim2.高等数学（下）(每空3分,14 ； 2. 3 ； 3.(每空3分,D ； 3. B ;12x模拟试卷四参考答案共15分）2 dx； 4. 3 共15分)4. B；5.；5.Co3.四.dydx1.12x32x12xcosx3x21xcose12 djyt ,dx2limx1 21x62 5y42x 33万22x-2x( 2)12x5e232 x2sin 二 lim 2

30、-2 x 0 3x2x sin e )x x 3e cote3.4.2.2 .一x d sin xx arctan x2_x sin x sin x-dx 2 1 x222xdx2.x sin x2ln(1 x )12 02xcosxIn 222sin x202 v 2 cost 、. 2 costdtsin 2t2_22五.解答题y 12x3 12x2,y 36x2 24x,2x1 0,x2 2为拐点2322 ,0、2,为凹区间，0,- 4为1. 33凸区间2.f(x1)1一,xx1x ,x1 ex,(2)1exdx21dx(2 ) xln exln(1ex) 0 lnx2(2)ln(1 e

31、)2ln 2(2 )dx43. (1)、dx 4310高等数学（下）模拟试卷五参考答案、填空题：（每空3分，共21分） 22221、（x,y）x y,y 02、2xex y dx 2yex ydy, 3、0,4、2 ,1 e5、0dy eyf（x,y）dx 6、条件收敛，7、y8sx c （c为常数）,、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、A, 2、D , 3、A, 4、D , 5、B、解：1、令 F(x, y,z) ln z ez xy iz Fx yzFzZz 1 ze4z Fy xz yFz1 zez72、所求直线方程的方向向量可取为1，2，32则直线方程为:y2drP(x,y)

32、y2ex,Q(x, y)2xy5x2 Siny,c Q2y, x2y 5原式Q P( )dxdy d x y202、（1）此级数为交错级数1 八lim 0因n n1,2,故原级数收敛(2)此级数为正项级数(n 1)23n11lim 3-1n n23因3n2-五、解：1、由 fx(x,y) 3x 34故原级数收敛60, fy(x,y) 3 y 0 得驻点(1,3),( 1,3)2在(i,3)处 A fxx(1,3) 6,B fxy(1,3) 0,C fyy(1,3) 2因AC B0,所以在此处无极值5在(1,3)处 Afxx( 1,3)6,Bfxy( 1,3) 0,Cfyy(2因AC B 0,A

33、 0,所以有极大值x dx1dx通解y e e dx cef( 1,3)315211,3)83、原式四、解：1、令xe x ce x6y x 0 c 2特解为y (x 2)e x843、 D其对应的齐次方程的特征方程为有两不相等的实根r12,r2r2 2r 8 0所以对应的齐次方程的通解为2xc1e4xc2e(C1,C2 为常数)2）设其特解y(x) aex5aex将其代入原方程得2ex,a*y (x) 故特解2 x-e53）原方程的通解为2x c1e4xc2e1、高等数学(下)模拟试卷六参考答案填空题：（每空3分，共21分）(x,y)x 1 y1C,2222、2,3、2xcos(x y )d

34、x 2ycos(xy2)dy.2,2, 5、选择题：、解：2d01 L 20 f(r )rdr0, 6、绝对收敛,（每空3分，共15分）2、7、B ,y3、常数），5、D1、令 F(x, y,z)z3 3xyzFx2、3、四、解:Fzyz2z xyxz-2 z xy所求平面方程的法向量可取为则平面方程为：2（x 1） y原式131dx0(x262,1,33(z 2)y2)dyP(x,y)1、令y,Q(x, y)(x.、P sin y), y原式 0(x2 0)dx10(1 siny)dy7 5cos1 一 32、令 P x,Q y,R原式( x2-R)dvz3dv3、此级数为交错级数1lim0

35、因 n ln n故原级数收敛五、解：3limn此级数为正项级数n 1-4 Sin-1/3n 144n sin 3n1、由fx(x, y)6x在（1,0）处 因ACB2fxx(1,0)0,A在（1,4）处 因ACB2fxx(°, 1,4)2、通解y 1 ln(n 51) (n4fy(x,y)2,3)故原级数发散4y y20 得驻点（1,0），（1,4)6, Bfxy (1,0)0,Cfyy(1,0) 4所以有极小值6,B fxy（0,所以在此处无极值1dxdxdx cef(1,0)1,4)0,Cf yy(51,4)4x(x c)ec 1,x特解为y （x 1）e3、1）对应的齐次方程的特征方程为所以对应的齐次方程的通解为*x2）设其特解y （x） （ax b）e5r2x cec2e03x有两不相等的实根r1（G,c