对连带勒让德函数的讨论

1、第26卷第6期2010年6月 贵州师范学院学报Journa l o f G uizhou N or m a l Coll egeJun.2010对连带勒让德函数的讨论刘保童,吴玉林,刘启源(天水师范学院物理与信息科学学院,甘肃天水 741000摘要:在对数学物理方法中连带勒让德方程的解进行简要介绍的基础上,着重分析讨论了连带勒让德函数的施列夫利积分表示为定积分的问题,经过严密的数学推导,进一步论证了用变量 表示的连带勒让德函数的定积分表示方法 拉普拉斯积分。关键词:连带勒让德函数;施列夫利(Schl a fli积分;定积分;拉普拉斯方程中图分类号:O174.3 文献标识码:A 文章编号:167

2、4-7798(201006-0015-02D iscussi on on the associ ated L egendre functi onL I U Bao-tong,WU Yu-lin,L I U Q i-yuan(Schoo l o f P hys i cs and Infor m ation Science,T ianshui N or m a l College,T i anshui,741000China Abstrac t:The foca l po i nt o f th i s paper is how to express Sch l afli i ntegral o

3、f the asso ciated L egendre f unc tion i n t he for m of defi n ite i ntegra.l A fter br i e f i ntroducti on on the so l ution o f the assoc i ated L egendre equati on,t he expres s i on w it h var i ab l e on defi n ite i nteg ral of the assoc i a ted L egendre f uncti on-L ap l ace i ntegra l is

4、f u rt her proved.K ey word s:t he associated L egendre f unction;Schl afli i nteg ra;l de fi nite integ ra;l L aplace equa ti on在球坐标系中对亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程分离变量而得到连带勒让德方程1(1-x2d2d x2-2xdd x+l(l+1- m21-x2=0 (x=cos ,(1其中m,l,x可以是任何复数2,但在实际中最常见的是l和m都等于整数的情形,在数学物理方法中一般只讨论-1!x!1,l和m都等于整数的情况。方程(1有三个奇点:-1,1,而且都是正则

5、奇点2,3。因此这个方程属于超几何方程的类型,其解可用P符号表示为2(1-x2m2P1000l+m+1;1-x2-m-m-l+m.连带勒让德方程(1和自然边界条件(解在x =#1为有限构成本征值问题1,2,本征值是l(l +1,(l=0,1,2,本征函数则是连带勒让德函数P m l(x=(1-x2m2Pml(x (l%m%0, -1!x!1,(2式中Pml(x是P l(x的m阶导数。(2式的积分表示式为1,4P m l(x=(1-x2m22l12i(l+m!l!&C (z2-1l(z-xl+m+1d z,(3式中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路,这也叫做施列夫利(Sc h l a

6、 fli积分。回路积分式(3还可以进一步表示为定积分。取C为圆周:圆心在z=x,半径为x2-1(x #1。在C上的任一点z可表示为z=x+ x2-1e i! (-!。(4从而15*收稿日期:2010-05-15基金项目:甘肃省教育厅科研项目(0908B-1作者简介:刘保童(1965-,男,甘肃天水人,副教授,博士,主要从事数学物理方法、大学物理和数字信号处理的教学与研究工作。z -x =x 2-1e i !,(5d z =ix 2-1e i !d ! (- !.(6式中各个量的意义见图1所示。 图1 在复平面上选取的积分回路因为在连带勒让德方程中x 与 的关系为x =cos ,所以x !1。因

7、此,在这里,x 2-1<0,故|x 2-1|=1-x 2,由(5、(6式可以得如下关系z -x =|x 2-1|e i !=1-x 2e i !,(1-x 212=1-x 2=(z -x e,d z =i 1-x 2e i !d !.于是,(3式成为P m l(x =12 i (l+m !2l l !&C z -x ei !m(z 2-1l(z -x l+m+1d z=12 i (l+m !2ll !&C e -im !(z 2-1l(z -x l+1d z=12 i (l+m !2l !(- e -i m !(x +1-x 2e i !2-1l1-x 2e i !l+1

8、i1-x 2e i !d !=12 (l+m !l !(- e -i m !x 2+2x 1-x 2e i !+(1-x 2e i 2!-121-x 2e i !ld !=12 (l+m !l !(-e -i m !2x1-x 2e i !+(1-x 2(ei 2!-121-x 2ei !ld !=12 (l+m !l !(-e -i m !x +1-x 212(e i !-e -i !ld !=12 (l +m !l !( -e -im !x +i1-x 2sin !ld !.(7现在,令x =co s (0< < ,得到用变量 表示的连带勒让德函数的定积分表示式P ml(cos =12 (l +m !l !(-e -i m !co s +i sin sin !ld !.(8参考文献:1梁昆淼.数学物理方法(第三版M .北京:高等教育出版社,1998.2E W H obson .Spherical and e lli pso i dal har m onicsM .Ca m bridge U niversit y P ress ,1931.3K F R il ey ,M P Hobson ,S J Bence .M athe m atica l m et hods for phys i cs and e