数列的概念与简单表示法（课堂PPT）

1、12三角形数三角形数1, 3, 6, 10, . 正方形数正方形数1, 4, 9, 16, 观察下列图形：观察下列图形：思考思考1 1：这些数有什么规律吗？：这些数有什么规律吗？31，2，3，4，5， n， . （1） 1， ， ， ， ， ，. （2）n1213141511，1.4，1.41，1.414， . （3） 1，1，1，1， . （5）10，9，8，7，6，5，4. （4）3，3，3，3. （6）思考思考2 2：这些数的共同特点是什么：这些数的共同特点是什么? ?按照一定顺序排列的一列数按照一定顺序排列的一列数4 按照一定按照一定顺序顺序排列的排列的一列数一列数叫叫数列数列。数列中

2、的数列中的每一个数每一个数叫做这个数列的叫做这个数列的项项。 数列中的每一项都和它的序号有关，数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的排第一位的数称为这个数列的第第1项（首项）项（首项），排第二位的数称为这个数列的排第二位的数称为这个数列的第第2项项，排第排第n位的数称为这个数列的位的数称为这个数列的第第n项项.1 1、数列定义、数列定义2 2、数列的项：、数列的项： 5如：如： 数列（数列（4） 10，9，8，7，6，5，4 。 数列（数列（4） 4，5，6，7，8，9，10。如：数列（如：数列（5） 1，1，1，1，。1.相同的一组数按不同的顺序排列时相同的一组数按不同的

3、顺序排列时,是否为同一数列是否为同一数列?2.一个数列的数可以重复吗一个数列的数可以重复吗?3 3、数列的一般形式、数列的一般形式 a1, ,a2, ,a3, , an, ,上面数列可简记为上面数列可简记为 an ，其中其中an是数列的是数列的第第n项项62）根据数列）根据数列项的大小项的大小分：分：递增数列递增数列：从第：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列递减数列：从第：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列项起，每一项都小于它的前一项的数列常数数列常数数列：各项相等的数列。：各项相等的数列。摆动数列摆动数列：从第：从第2项起，有些项大于它的

4、前一项，项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列有穷数列有穷数列：项数有限的数列：项数有限的数列. 例如数列例如数列1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。是有穷数列。是有穷数列无穷数列无穷数列：项数无限的数列：项数无限的数列. 例如数列例如数列1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，是无穷数列是无穷数列1）根据数列）根据数列项数的多少项数的多少分：分：1nnaa （）1nnaa （）1nnaa （）4 4、数列的分类、数列的分类练习练习 P28 P28 观察观察7 这说明：数列的项这说明：数列的项an是序号是序号n的函数的函数. 所以

5、：所以：数列数列可以看成以正整数集可以看成以正整数集N*（或它的有（或它的有限子集限子集1，2，3，4，,n）为定义域的）为定义域的函数函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如如果果f(i) (i=1,2,3,)有意义，那可得到一个数列有意义，那可得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n), 即即数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数。，5141312111 2 3 4 5 项项an序号序号n5 5、数列与函数的关系、数列与函数的关系86 6

6、、数列的通项公式、数列的通项公式 如果数列如果数列 an 的的第第n项项与与n之间的之间的关系关系可以可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的这个数列的通项公式通项公式。1nan 1nna （）1， ， ， ， ，.21314151如数列：如数列：通项公式为通项公式为又如数列：又如数列：1，1，1，1， . 通项公式为通项公式为9(1)(2)1nnannann1na 根据下面数列根据下面数列 的通项公式，写出的通项公式，写出它的前它的前4项：项：10 关于数列的通项公式关于数列的通项公式 3 3、数列的通项公式不一定是一个式子数列的通项公式不一定是

7、一个式子,也可以是分段函数也可以是分段函数. 1 1、不是每一个数列都能写出其通项公式不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列（如数列5） 1，1.4,1.41,1.414,2 2、数列的数列的通项公式不唯一通项公式不唯一 如：如： 1, 1, 1, 1, 可写成可写成( 1)nna 121,12 ,nnkkNank kN 或或4 4、数列、数列通项公式的作用通项公式的作用： 求数列中任意一项求数列中任意一项； 检验某数是否是该数列中的一项检验某数是否是该数列中的一项。11例例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的写出下面数列的一个通项公式，使它的 前前4项分别是下列各数：项分别是下列各数

8、： 1 2 , 4 , 6 , 8;2 4 9 1 6 2 5111( 3 )12344 2 0 2 0 （ ）（ ） ， ，；， ，；（ ） ，。练习：练习：P31 1, 42nan 2) 1( nan11( 1)nnan 1) 1(1nna观察数列通项公式的关键是探求第观察数列通项公式的关键是探求第n项项an与与项数项数n的关系的关系12数列数列 2，4，6，8，10，其通项公式是：其通项公式是：nan2图象为：图象为：an1098765432 0 1 2 3 4 5 n122436k2k列表为列表为:图象为直线上的无数个孤立点图象为直线上的无数个孤立点13例例2、图中的三角形称为谢宾斯基

9、（图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三）三角形，在下图角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。公式，并在直角坐标系中画出它的图象。14an30272421181512963o 1 2 3 4 5 n13nna图象为曲线图象为曲线上的无数个上的无数个孤立点孤立点151, 3, 6, 10, . 提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？首项为首项为1,从第从第2项起项起,第第n项等于第项等于第n-1项加上项加上

10、n.也就是也就是a1=1,an=an-1+n(n1)16 已知数列已知数列 an 的首项（或前几项），且的首项（或前几项），且任一项任一项an与它的前一项与它的前一项an-1（或前几项）间的（或前几项）间的关系可用一个式子来表示，那么这个式子就关系可用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的叫做这个数列的递推公式递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式也是数列的一种表示方法。7 7、数列的递推公式、数列的递推公式如数列如数列1，3，6，10的递推公式可表示为的递推公式可表示为 a1=1,an=an-1+n(n1)17解析式法列表法图象法1.通项公式通项公式2.递推公式递推公式一群

11、孤立的点一群孤立的点8 8、数列的表示方法、数列的表示方法18例例3 、设数列设数列 满足满足 写出这个数列的前写出这个数列的前5项。项。 na111111naaann解：由题意可知解：由题意可知5811351123112111453423121aaaaaaaaa练习：练习：P31 练习练习T219补充补充1：写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式 , 4 , 3 , 2 , 11 , 1 , 1 , 1 , 12 ,41,31,21, 15 , 1 , 1, 1 , 13 , 4, 3 , 2, 14 ,41,31,21, 16 , 0 , 2 , 0 , 27 ,9999,9

12、99,99, 98 nan1 12na , 1 , 1, 1 , 13 nna13 nann114 nan15 nann1161 1171nna 1108nna20小结小结： 本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有：1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数数列的定义：按照一定顺序排列的一列数2、数列的一般形式数列的一般形式: 简记为简记为,321naaaa na3、数列与函数：数列实质是特殊的函数（离散函数）；数列与函数：数列实质是特殊的函数（离散函数）；4、数列的分类数列的分类: 有穷数列、无穷数列有穷数列、无穷数列;递增数列、递减递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列。数列、常数列、摆动数列。5、数列的表示方法：数列的表示方法： （1）解析式法（通项公式法、递推公式法）解析式法（通项公式法、递推公式法） （2）列表